1/1第一章勾股定理1．探索勾股定理（1）一、學(xué)情與教材分析1.學(xué)情分析八年級(jí)學(xué)生已經(jīng)具備一定的觀察、歸納、探索和推理的能力．在小學(xué)，他們已學(xué)習(xí)了一些幾何圖形面積的計(jì)算方法（包括割補(bǔ)法），但運(yùn)用面積法和割補(bǔ)思想解決問題的意識(shí)和能力還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠．部分學(xué)習(xí)過奧數(shù)的學(xué)生聽說過“勾三股四弦五”，但并沒有真正認(rèn)識(shí)什么是“勾股定理”．此外，學(xué)生普遍學(xué)習(xí)積極性較高，探究意識(shí)較強(qiáng)，課堂活動(dòng)參與較主動(dòng)，但合作交流能力和探究能力有待加強(qiáng)．2.教材分析本節(jié)課是義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)北師大版實(shí)驗(yàn)教科書八年級(jí)(上)第一章《勾股定理》第一節(jié)第1課時(shí).勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的一種美妙關(guān)系，將形與數(shù)密切聯(lián)系起來，在數(shù)學(xué)的發(fā)展和現(xiàn)實(shí)世界中有著廣泛的作用．本節(jié)是直角三角形相關(guān)知識(shí)的延續(xù)，同時(shí)也是學(xué)生認(rèn)識(shí)無理數(shù)的基礎(chǔ)，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)承前啟后的緊密相關(guān)性、連續(xù)性．此外，歷史上勾股定理的發(fā)現(xiàn)反映了人類杰出的智慧，其中蘊(yùn)涵著豐富的科學(xué)與人文價(jià)值．進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的說理和簡(jiǎn)單推理的意識(shí)及能力；進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的緊密聯(lián)系．二、教學(xué)目標(biāo)1.用數(shù)格子（或割、補(bǔ)、拼等）的辦法體驗(yàn)勾股定理的探索過程并理解勾股定理反映的直角三角形的三邊之間的數(shù)量關(guān)系，會(huì)初步運(yùn)用勾股定理進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算和實(shí)際運(yùn)用．2.讓學(xué)生經(jīng)歷“觀察—猜想—?dú)w納—驗(yàn)證”的數(shù)學(xué)思想，并體會(huì)數(shù)形結(jié)合和特殊到一般的思想方法．3.在探索勾股定理的過程中，體驗(yàn)獲得成功的快樂；通過介紹勾股定理在中國(guó)古代的研究，激發(fā)學(xué)生熱愛祖國(guó)，熱愛祖國(guó)悠久文化的思想，激勵(lì)學(xué)生發(fā)奮學(xué)習(xí)．三、教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：用面積法探索勾股定理，理解并掌握勾股定理．教學(xué)難點(diǎn)：計(jì)算以斜邊為邊長(zhǎng)的大正方形C面積及割補(bǔ)思想的理解與應(yīng)用．四、教法建議1.教學(xué)方法：引導(dǎo)—探究—發(fā)現(xiàn)法．選擇引導(dǎo)探索法，采用“問題情境→建立模型→解釋、應(yīng)用與拓展”的模式進(jìn)行教學(xué)．2.學(xué)習(xí)方法：自主探究與合作交流相結(jié)合．自主探索—合作交流的研討式學(xué)習(xí)，樂于創(chuàng)新—參與競(jìng)爭(zhēng)的積極性學(xué)習(xí)．五、教學(xué)設(shè)計(jì)（一）課前設(shè)計(jì)1.預(yù)習(xí)任務(wù)任務(wù)1：想一想?如果直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)度確定，那么直角三角形的斜邊的長(zhǎng)度能夠確定么？為什么？任務(wù)2：在紙上畫出若干個(gè)（至少三個(gè)），分別測(cè)量它們的三邊長(zhǎng)，并計(jì)算三邊長(zhǎng)平方的關(guān)系？（拍照上傳所畫的直角三角形、測(cè)量的結(jié)果、所得的結(jié)論）2.預(yù)習(xí)自測(cè)一、選擇題1．Rt△ABC中，斜邊BC=2，則AB2+AC2+BC2的值為（）A．8 B．4 C．6 D．無法計(jì)算答案：A解析：∵Rt△ABC中，BC為斜邊，∴AB2+AC2=BC2，∴AB2+AC2+BC2=2BC2=2×22=8．故選A．點(diǎn)撥：利用勾股定理將AB2+AC2轉(zhuǎn)化為BC2，再求值．2．如圖字母B所代表的正方形的面積是（）A．12 B．13 C．144 D．194答案：C解析：由題可知，在直角三角形中，斜邊的平方=169，一直角邊的平方=25，根據(jù)勾股定理知，另一直角邊平方=169﹣25=144，即字母B所代表的正方形的面積是144．故選C．點(diǎn)撥：由圖可知在直角三角形中，已知斜邊和一直角邊，求另一直角邊的平方，用勾股定理即可解答．二、填空題3．直角三角形兩條直角邊的長(zhǎng)分別為5、12，則斜邊為______．答案：13解析：根據(jù)勾股定理得，斜邊2=52+122=169=132，所以斜邊為13．點(diǎn)撥：直接根據(jù)勾股定理進(jìn)行計(jì)算．（二）課堂設(shè)計(jì)本節(jié)課設(shè)計(jì)了五個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：情境引入；第二環(huán)節(jié)：探究發(fā)現(xiàn)；第三環(huán)節(jié)：知識(shí)運(yùn)用；第四環(huán)節(jié)：隨堂檢測(cè)；第五環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)．第一環(huán)節(jié)：情境引入內(nèi)容：2002年世界數(shù)學(xué)家大會(huì)在我國(guó)北京召開，投影顯示本屆世界數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)：會(huì)標(biāo)中央的圖案是一個(gè)與“勾股定理”有關(guān)的圖形，數(shù)學(xué)家曾建議用“勾股定理”的圖來作為與“外星人”聯(lián)系的信號(hào)．今天我們就來一同探索勾股定理．（板書課題）（課件出示圖形）意圖：緊扣課題，自然引入，同時(shí)滲透愛國(guó)主義教育.效果：激發(fā)起學(xué)生的求知欲和愛國(guó)熱情.第二環(huán)節(jié)：探究發(fā)現(xiàn)1．探究活動(dòng)一：內(nèi)容：（1）投影顯示如下地板磚示意圖，讓學(xué)生初步觀察：

（2）引導(dǎo)學(xué)生從面積角度觀察圖形：?jiǎn)枺耗隳馨l(fā)現(xiàn)各圖中三個(gè)正方形的面積之間有何關(guān)系嗎？學(xué)生通過觀察，歸納發(fā)現(xiàn)：結(jié)論1以等腰直角三角形兩直角邊為邊長(zhǎng)的小正方形的面積的和，等于以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積．意圖：從觀察實(shí)際生活中常見的地板磚入手，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)就在我們身邊．通過對(duì)特殊情形的探究得到結(jié)論1，為探究活動(dòng)二作鋪墊.效果：1．探究活動(dòng)一讓學(xué)生獨(dú)立觀察，自主探究，培養(yǎng)獨(dú)立思考的習(xí)慣和能力；2．通過探索發(fā)現(xiàn)，讓學(xué)生得到成功體驗(yàn)，激發(fā)進(jìn)一步探究的熱情和愿望.2．探究活動(dòng)二：內(nèi)容：由結(jié)論1我們自然產(chǎn)生聯(lián)想：一般的直角三角形是否也具有該性質(zhì)呢？（1）觀察下面兩幅圖：（2）填表：A的面積（單位面積）B的面積（單位面積）C的面積（單位面積）左圖右圖（3）你是怎樣得到正方形C的面積的？與同伴交流．（學(xué)生可能會(huì)做出多種方法，教師應(yīng)給予充分肯定．）圖1圖2圖3學(xué)生的方法可能有：方法一：如圖1，將正方形C分割為四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形，．方法二：如圖2，在正方形C外補(bǔ)四個(gè)全等的直角三角形，形成大正方形，用大正方形的面積減去四個(gè)直角三角形的面積，．方法三：如圖3，正方形C中除去中間5個(gè)小正方形外，將周圍部分適當(dāng)拼接可成為正方形，如圖3中兩塊紅色（或兩塊綠色）部分可拼成一個(gè)小正方形，按此拼法，．（4）分析填表的數(shù)據(jù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？學(xué)生通過分析數(shù)據(jù)，歸納出：結(jié)論2以直角三角形兩直角邊為邊長(zhǎng)的小正方形的面積的和，等于以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積．意圖：探究活動(dòng)二意在讓學(xué)生通過觀察、計(jì)算、探討、歸納進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)一般直角三角形的性質(zhì)．由于正方形C的面積計(jì)算是一個(gè)難點(diǎn)，為此設(shè)計(jì)了一個(gè)交流環(huán)節(jié).效果：學(xué)生通過充分討論探究，在突破正方形C的面積計(jì)算這一難點(diǎn)后得出結(jié)論2.3．議一議：內(nèi)容：（1）你能用直角三角形的邊長(zhǎng)、、來表示上圖中正方形的面積嗎？（2）你能發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊長(zhǎng)度之間存在什么關(guān)系嗎？（3）分別以5厘米、12厘米為直角邊作出一個(gè)直角三角形，并測(cè)量斜邊的長(zhǎng)度．2中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律對(duì)這個(gè)三角形仍然成立嗎？勾股定理：如果直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為、，斜邊長(zhǎng)為，那么．即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．?dāng)?shù)學(xué)小史：勾股定理是我國(guó)最早發(fā)現(xiàn)的，中國(guó)古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長(zhǎng)的直角邊稱為股，斜邊稱為弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方稱為畢達(dá)哥拉斯定理）意圖：議一議意在讓學(xué)生在結(jié)論2的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊關(guān)系，得到勾股定理.效果：1．讓學(xué)生歸納表述結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力及語言表達(dá)能力.2．通過作圖培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐能力.第三環(huán)節(jié)：知識(shí)運(yùn)用內(nèi)容：例如圖所示，一棵大樹在一次強(qiáng)烈臺(tái)風(fēng)中于離地面10m處折斷倒下，樹頂落在離樹根24m處.大樹在折斷之前高多少？（教師板演解題過程）練習(xí)：1、基礎(chǔ)鞏固練習(xí)：（口答）求下列圖形中未知正方形的面積或未知邊的長(zhǎng)度：2、生活中的應(yīng)用：（P3隨堂練習(xí)2）小明媽媽買了一部29in（74cm）的電視機(jī).小明量了電視機(jī)的屏幕后，發(fā)現(xiàn)屏幕只有58cm長(zhǎng)和46cm寬，他覺得一定是售貨員搞錯(cuò)了．你同意他的想法嗎？你能解釋這是為什么嗎？意圖：練習(xí)第1題是勾股定理的直接運(yùn)用，意在鞏固基礎(chǔ)知識(shí)．效果：例題和練習(xí)第2題是實(shí)際應(yīng)用問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活，意在培養(yǎng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)”的意識(shí)．運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容.第四環(huán)節(jié)：隨堂檢測(cè)一、選擇題1.等腰三角形的腰長(zhǎng)為10，底長(zhǎng)為12，則其底邊上的高為（）A．13 B．8 C．25 D．64答案：B解析：作底邊上的高并設(shè)此高的長(zhǎng)度為x，根據(jù)勾股定理得：62+x2=102，解得：x=8．故選B．點(diǎn)撥：先作底邊上的高，由等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理即可求出此高的長(zhǎng)度．2.如圖所示：是一段樓梯，高BC是3m，斜邊AC是5m，如果在樓梯上鋪地毯，那么至少需要地毯（）A．5m B．6m C．7m D．8m答案：C解析：∵△ABC是直角三角形，BC=3m，AC=5m∴AB===4m，∴如果在樓梯上鋪地毯，那么至少需要地毯為AB+BC=7米．故選C．點(diǎn)撥：先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出AB的長(zhǎng)，再根據(jù)樓梯高為BC的高=3m，樓梯的寬的和即為AB的長(zhǎng)，再把AB、BC的長(zhǎng)相加即可．3.一直角三角形的三邊分別為2、3、x，那么以x為邊長(zhǎng)的正方形的面積為（）A．13 B．5 C．13或5 D．4答案：C解析：當(dāng)2和3都是直角邊時(shí)，則x2=4+9=13；當(dāng)3是斜邊時(shí)，則x2=9﹣4=5．故選C．點(diǎn)撥：以x為邊長(zhǎng)的正方形的面積即為x2．此題應(yīng)考慮兩種情況：2和3都是直角邊或3是斜邊，熟練運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算．二、填空題4.若直角三角形兩條直角邊分別是8，15，則斜邊長(zhǎng)為_______．答案：17解析：在直角三角形中，斜邊的平方等于兩條直角邊平方和，故斜邊長(zhǎng)==1，故答案為17．點(diǎn)撥：已知兩直角邊求斜邊可以根據(jù)勾股定理求解．5.在Rt△ABC中，∠C=90°，若a：b=3：4，c=20，則a=______，b=_______．答案：12；16解析：根據(jù)題意得：a=3k，b=4k，k＞0，∵c=20，∴根據(jù)勾股定理得：9k2+16k2=400，即k2=16，解得：k=4，則a=12，b=16．點(diǎn)撥：根據(jù)a與b的比值設(shè)出a與b，利用勾股定理列出關(guān)系式，即可求出a與b的值．三、解答題6.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=15，AC=20，CD是高．（1）求AB的長(zhǎng)；（2）求△ABC的面積；（3）求CD的長(zhǎng)．答案：（1）AB的長(zhǎng)是25；（2）△ABC的面積是150；（3）CD的長(zhǎng)是12．解析：（1）∵在△ABC中，∠ACB=90°，BC=15，AC=20，∴AB2=AC2+BC2，解得AB=25，所以AB的長(zhǎng)是25；（2）AC?BC=×20×15=150，所以△ABC的面積是150；（3）∵CD是邊AB上的高，∴AC?BC=AB?CD，解得CD=12．所以CD的長(zhǎng)是12．點(diǎn)撥：（1）根據(jù)勾股定理可求得AB的長(zhǎng)；（2）根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可求解；（3）根據(jù)三角形的面積相等即可求得CD的長(zhǎng)．第五環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)教師提問：1．這一節(jié)課我們一起學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)和思想方法？2．對(duì)這些內(nèi)容你有什么體會(huì)？請(qǐng)與你的同伴交流．在學(xué)生自由發(fā)言的基礎(chǔ)上，師生共同總結(jié)：知識(shí)：勾股定理：如果直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c，那么.方法：①觀察—探索—猜想—驗(yàn)證—?dú)w納—應(yīng)用；②面積法；③“割、補(bǔ)、拼、接”法.思想：①特殊—一般—特殊；②數(shù)形結(jié)合思想．意圖：鼓勵(lì)學(xué)生積極大膽發(fā)言，可增進(jìn)師生、生生之間的交流、互動(dòng)．效果：通過暢談收獲和體會(huì)，意在培養(yǎng)學(xué)生口頭表達(dá)和交流的能力，增強(qiáng)不斷反思總結(jié)的意識(shí).布置作業(yè)：1．教科書習(xí)題1.1，T1、2、4；2．閱讀P7《讀一讀》——漫談勾股世界；3．觀察下圖，探究圖中三角形的三邊長(zhǎng)是否滿足.意圖：課后作業(yè)設(shè)計(jì)包括了三個(gè)層面：作業(yè)1是為了鞏固基礎(chǔ)知識(shí)而設(shè)計(jì)；作業(yè)2是為了擴(kuò)展學(xué)生的知識(shí)面；作業(yè)3是為了拓廣知識(shí)，進(jìn)行課后探究而設(shè)計(jì)，通過此題可讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)勾股定理的前提條件．效果：學(xué)生進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)本課知識(shí)的理解和掌握．分層作業(yè)基礎(chǔ)型：一、選擇題1．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=15，則正方形ADEC和正方形BCFG的面積和為（）A．225 B．200 C．250 D．150答案：A解析：正方形ADEC的面積為：AC2，正方形BCFG的面積為：BC2；在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，AB=15，則AC2+BC2=225cm2．故選A．點(diǎn)撥：小正方形的面積為AC的平方，大正方形的面積為BC的平方．兩正方形面積的和為AC2+BC2，對(duì)于Rt△ABC，由勾股定理得AB2=AC2+BC2．AB長(zhǎng)度已知，故可以求出兩正方形面積的和．2．如圖，兩個(gè)較大正方形的面積分別為225，289，則字母A所代表的正方形的面積為（）A．4 B．8 C．16 D．64答案：D解析：∵正方形PQED的面積等于225，∴即PQ2=225，∵正方形PRGF的面積為289，∴PR2=289，又△PQR為直角三角形，根據(jù)勾股定理得：PR2=PQ2+QR2，∴QR2=PR2﹣PQ2=289﹣225=64，則正方形QMNR的面積為64．故選D．點(diǎn)撥：根據(jù)正方形的面積等于邊長(zhǎng)的平方，由正方形PQED的面積和正方形PRQF的面積分別表示出PR的平方及PQ的平方，又三角形PQR為直角三角形，根據(jù)勾股定理求出QR的平方，即為所求正方形的面積．二、填空題3．直角三角形斜邊長(zhǎng)是5，一直角邊的長(zhǎng)是3，則此直角三角形的面積為_______．答案：6解析：∵直角三角形斜邊長(zhǎng)是5，一直角邊的長(zhǎng)是3，∴另一直角邊長(zhǎng)為=4．該直角三角形的面積S=×3×4=6．故答案為：6．點(diǎn)撥：根據(jù)直角三角形的斜邊與一條直角邊，可利用勾股定理求出另一條直角邊的長(zhǎng)度，再根據(jù)三角形的面積公式求出面積即可．4．直角三角形兩條直角邊的長(zhǎng)分別為5、12，則斜邊長(zhǎng)為_______，斜邊上的高為______．答案：13，．解析：由勾股定理可得：AB2=52+122，則AB=13，直角三角形面積S=×5×12=×13×CD，可得：斜邊的高CD=．故答案為：13，．點(diǎn)撥：可先用勾股定理求出斜邊長(zhǎng)，然后再根據(jù)直角三角形面積的兩種公式求解即可．三、解答題5．如圖，已知等腰△ABC的周長(zhǎng)是16，底邊BC上的高AD的長(zhǎng)是4，求這個(gè)三角形各邊的長(zhǎng)．答案：AB=AC=5，BC=6解析：設(shè)BD=x，由等腰三角形的性質(zhì)，知AB=8﹣x由勾股定理，得利用勾股定理：（8﹣x）2=x2+42，解得x=3，所以AB=AC=5，BC=6．點(diǎn)撥：設(shè)BD為x．則根據(jù)等腰三角形的周長(zhǎng)公式可以求得腰長(zhǎng)為（8﹣x）．然后由等腰三角形“三合一”的性質(zhì)、勾股定理可以列出關(guān)于x的方程（8﹣x）2=x2+42，通過解方程可以求得x=3，問題得解．能力型：一、填空題1.如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分線，若BC=10，AD=12，則AC=_______．答案：13解析：∵AB=AC，AD是△ABC的角平分線，∴AD⊥BC，BD=DC，在Rt△ADC中，AC===13．故答案為13．點(diǎn)撥：根據(jù)等腰三角形三線合一，判斷出△ADC為直角三角形，利用勾股定理即可求出AC的長(zhǎng)．2.在直角三角形中，兩邊長(zhǎng)分別為3和4，則最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)度為_______．答案：4或5解析：①當(dāng)4為斜邊時(shí)，此時(shí)最長(zhǎng)邊為4．②當(dāng)4是直角邊時(shí)，斜邊==5，此時(shí)最長(zhǎng)邊為5．故答案是：4或5．點(diǎn)撥：分類討論，①當(dāng)4為直角邊時(shí)，②當(dāng)4為斜邊時(shí)，依次求出答案即可．二、解答題3.在△ABC中，點(diǎn)D是直線BC上的一點(diǎn)，已知AB=15，AD=12，AC=13，BD=9．求BC的長(zhǎng)．答案：14解析：∵AB=15，AD=12，BD=9，∴AD2+BD2=AB2，∴△ABD是直角三角形，AD⊥BC，在Rt△ADC中，DC==5，則BC=BD+DC=14．點(diǎn)撥：根據(jù)AB=15，AD=12，BD=9，可判斷出△ABD是直角三角形，在Rt△ADC中求出CD，繼而可得出BC的長(zhǎng)度．探究型：一、解答題1.我們學(xué)習(xí)了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．（1）觀察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒有間斷過．事實(shí)上，勾是三時(shí)，股和弦的算式分別是；勾是五時(shí)，股和弦的算式分別是．根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，分別寫出勾是七時(shí)，股和弦的算式；（2）根據(jù)（1）的規(guī)律，請(qǐng)用含n（n為奇數(shù)，且n≥3）的代數(shù)式來表示所有這些勾股數(shù)的勾、股、弦，合情猜想它們之間的相等關(guān)系（請(qǐng)寫出兩種），并對(duì)其中一種猜想加以證明；（3）繼續(xù)觀察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以發(fā)現(xiàn)各組的第一個(gè)數(shù)都是偶數(shù)，且從4起也沒有間斷過．運(yùn)用類似上述探索的方法，直接用m（m為偶數(shù)，且m＞4）的代數(shù)式來表示股和弦．答案：見解析解析：（1）；（2）當(dāng)n≥3，且n為奇數(shù)時(shí)，勾、股、弦分別為：n，它們之間的關(guān)系為：（?。┫药伖?1