2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)奧賽輔導(dǎo)班試卷一、選擇題（每題5分，共30分）已知集合(A={x\in\mathbb{Z}\midx^2-4x+3<0})，(B={x\mid\log_2(x+1)\leq2})，則(A\capB)的元素個(gè)數(shù)為（）A.1B.2C.3D.4設(shè)復(fù)數(shù)(z=\cos\theta+i\sin\theta)（(\theta\in[0,2\pi))），若(z^3+z=0)，則(\theta)的不同取值個(gè)數(shù)為（）A.2B.3C.4D.5在三棱錐(P-ABC)中，(PA\perp)平面(ABC)，(AB=AC=2)，(\angleBAC=120^\circ)，(PA=3)，則該三棱錐外接球的表面積為（）A.(16\pi)B.(20\pi)C.(24\pi)D.(28\pi)已知函數(shù)(f(x)=\begin{cases}x^2-2ax+a,&x\leq0,\\ln(x+1),&x>0\end{cases})在(\mathbb{R})上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)(a)的取值范圍是（）A.([0,1])B.((-∞,0])C.([1,+∞))D.((-∞,1])已知雙曲線(C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>0,b>0)）的左、右焦點(diǎn)分別為(F_1,F_2)，過(F_2)的直線與雙曲線右支交于(A,B)兩點(diǎn)，若(|AF_1|=2|AF_2|)，且(\angleF_1AF_2=60^\circ)，則雙曲線的離心率為（）A.(\sqrt{2})B.(\sqrt{3})C.2D.(\sqrt{5})已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=\frac{a_n}{2a_n+1})，則(\sum_{k=1}^{2025}\frac{1}{a_k})的值為（）A.(2025\times2026)B.(2025^2)C.(2025\times2024)D.(2025\times2027)二、填空題（每題5分，共30分）若((1+x)^n)的展開式中第3項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為________。已知向量(\vec{a},\vec)滿足(|\vec{a}|=2)，(|\vec|=1)，(\vec{a}\cdot\vec=1)，則(|\vec{a}-2\vec|=)________。函數(shù)(f(x)=\sinx\cosx+\sqrt{3}\cos^2x)的最小正周期為________，最大值為________。從5名男生和4名女生中選出3人參加數(shù)學(xué)競賽，要求至少有1名女生，則不同的選法共有________種。已知(x,y>0)，且(x+2y=1)，則(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})的最小值為________。在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(A(1,0))，(B(0,1))，(C(2,5))，點(diǎn)(P)是線段(BC)上的動(dòng)點(diǎn)，則(\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AB})的取值范圍是________。三、解答題（共6題，共90分）13.（本小題滿分14分）已知函數(shù)(f(x)=\sin(\omegax+\varphi))（(\omega>0,0<\varphi<\pi)）的部分圖象如圖所示。（1）求(\omega)和(\varphi)的值；（2）求函數(shù)(g(x)=f(x)\cosx)在([0,\frac{\pi}{2}])上的最大值。14.（本小題滿分14分）在等差數(shù)列({a_n})中，(a_1=1)，公差(d>0)，且(a_2,a_5,a_{14})成等比數(shù)列。（1）求數(shù)列({a_n})的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)(b_n=\frac{1}{a_na_{n+1}})，求數(shù)列({b_n})的前(n)項(xiàng)和(S_n)，并證明(S_n<\frac{1}{2})。15.（本小題滿分15分）如圖，在四棱錐(P-ABCD)中，底面(ABCD)是矩形，(PA\perp)平面(ABCD)，(E)是(PD)的中點(diǎn)，(AB=2)，(AD=4)，(PA=4)。（1）求證：(AE\parallel)平面(PBC)；（2）求二面角(A-PC-D)的余弦值。16.（本小題滿分15分）已知橢圓(E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過點(diǎn)((2,1))。（1）求橢圓(E)的方程；（2）過橢圓右焦點(diǎn)(F)的直線(l)與橢圓交于(M,N)兩點(diǎn)，點(diǎn)(Q)在橢圓上，且(\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON})，求四邊形(OMQN)的面積。17.（本小題滿分16分）已知函數(shù)(f(x)=x\lnx-ax^2+(2a-1)x)（(a\in\mathbb{R})）。（1）當(dāng)(a=1)時(shí)，求函數(shù)(f(x))的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)(f(x))在(x=1)處取得極大值，求實(shí)數(shù)(a)的取值范圍。18.（本小題滿分16分）設(shè)(n)是正整數(shù)，(S={1,2,\dots,n})，(A)是(S)的子集，若對任意(x,y\inA)（(x\neqy)），都有(x+y\notinA)，則稱(A)是“好子集”。（1）求(n=3)時(shí)，(S)的“好子集”的個(gè)數(shù)；（2）對任意正整數(shù)(n)，求(S)的“好子集”的個(gè)數(shù)(f(n))的表達(dá)式。參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（部分）一、選擇題B2.C3.D4.A5.B6.A二、填空題2568.29.(\pi)，(\frac{1+\sqrt{3}}{2})10.8011.(3+2\sqrt{2})12.[1,6]三、解答題（部分提示）13.（1）由圖象知周期(T=\pi)，故(\omega=2)；又(f(\frac{\pi}{12})=1)，得(\varphi=\frac{\pi}{3})。（2）(g(x)=\frac{1}{2}\sin(2x+\frac{\pi}{3})+\frac{\sqrt{3}}{4})，最大值為(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{4})。14.（1）(a_n=2n-1)；（2）(S_n=\frac{n}{2n+1})，由(S_n=\frac{1}{2}-\frac{1}{2(2n+1)}<\frac{1}{2})得證。15.（2）以(A)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，平面(APC)的法向量為((2,-1,0))，平面(PCD)的法向量為((2,1,1))，二面角余弦值為(\frac{\sqrt{30}}{10})。16.（1）橢圓方程為(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1)；（2）四邊形面積為(2\sqrt{2})。17.（1）單調(diào)遞增區(qū)間為((0,1))，單調(diào)遞減區(qū)間為((1,+∞))；（2）(a>\frac{1}{2})。18.（1）(n=3)時(shí)，“好子集”有6個(gè)；（2）(f(n)=f(n-1)+f(n-2))