2025年下學期高中數學定性技術試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-ax+a-1=0}，若A∪B=A，則實數a的值為（）A.2B.3C.2或3D.1或2函數f(x)=ln(x2-2x-3)的定義域是（）A.(-∞,-1)∪(3,+∞)B.(-∞,-1]∪[3,+∞)C.(-1,3)D.[-1,3]已知向量a=(1,2)，b=(m,1)，若a⊥b，則m的值為（）A.-2B.2C.-1/2D.1/2下列函數中，既是奇函數又是增函數的是（）A.f(x)=x3B.f(x)=sinxC.f(x)=x+1D.f(x)=lnx已知直線l1:ax+2y+6=0與直線l2:x+(a-1)y+a2-1=0平行，則a的值為（）A.-1B.2C.-1或2D.1或-2某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積是（）A.12cm3B.18cm3C.24cm3D.36cm3已知sinα=3/5，α∈(π/2,π)，則cos(α-π/4)的值為（）A.-7√2/10B.7√2/10C.-√2/10D.√2/10從5名男生和4名女生中選出3人參加數學競賽，要求至少有1名女生，則不同的選法共有（）A.80種B.74種C.40種D.34種已知等比數列{an}的前n項和為Sn，若S3=7，S6=63，則公比q的值為（）A.2B.-2C.3D.-3函數f(x)=2sin(2x+π/3)的最小正周期和最大值分別是（）A.π，2B.2π，2C.π，1D.2π，1已知拋物線y2=4x的焦點為F，準線為l，過點F的直線交拋物線于A，B兩點，過點A作準線l的垂線，垂足為C，則△ABC的面積的最小值為（）A.2B.4C.6D.8已知函數f(x)=x3-3x2+2x+1，若對于任意x1,x2∈[0,2]，都有|f(x1)-f(x2)|≤m，則m的最小值為（）A.0B.1C.2D.3二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）若復數z滿足(1+i)z=2i，則z的模為______。曲線y=x3-2x+1在點(1,0)處的切線方程為______。已知橢圓x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為√3/2，短軸長為2，則橢圓的方程為______。已知函數f(x)=x2-2ax+3在區(qū)間[1,2]上的最小值為2，則a的值為______。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知數列{an}是等差數列，且a1=1，a3=5。（1）求數列{an}的通項公式；（2）設bn=2^an，求數列{bn}的前n項和Sn。（本小題滿分12分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a=2，b=3，cosC=1/3。（1）求c的值；（2）求sinA的值。（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=AA1=2，∠ACB=90°，D是A1B1的中點。（1）求證：CD⊥平面A1ABB1；（2）求二面角A-CD-B的余弦值。（本小題滿分12分）已知函數f(x)=x3-3x2+2x+1。（1）求函數f(x)的單調區(qū)間；（2）求函數f(x)在區(qū)間[-1,2]上的最大值和最小值。（本小題滿分12分）已知雙曲線x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的離心率為2，右焦點為F(2,0)。（1）求雙曲線的方程；（2）過點F的直線l與雙曲線交于A，B兩點，若|AB|=4√3，求直線l的方程。（本小題滿分12分）某工廠生產一種產品，每件產品的成本為40元，銷售單價為60元，該廠為了擴大銷售，決定在原來的基礎上降價銷售，經市場調查發(fā)現(xiàn)，銷售單價每降低1元，月銷售量就增加10件。（1）設銷售單價降低x元，月銷售利潤為y元，求y與x之間的函數關系式；（2）當銷售單價降低多少元時，月銷售利潤最大？最大月銷售利潤是多少？參考答案一、選擇題C2.A3.A4.A5.A6.B7.C8.B9.A10.A11.B12.C二、填空題√214.y=x-115.x2/4+y2=116.1或√2三、解答題解：（1）設等差數列{an}的公差為d，則a3=a1+2d=1+2d=5，解得d=2。所以an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1。（2）由（1）知bn=2^(2n-1)=2×4^(n-1)，所以數列{bn}是以2為首項，4為公比的等比數列。所以Sn=2(4^n-1)/(4-1)=2(4^n-1)/3。解：（1）由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=4+9-2×2×3×1/3=13-4=9，所以c=3。（2）由cosC=1/3，得sinC=√(1-cos2C)=√(1-1/9)=2√2/3。由正弦定理得a/sinA=c/sinC，所以sinA=asinC/c=2×(2√2/3)/3=4√2/9。（1）證明：因為ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥平面A1B1C1，又CD?平面A1B1C1，所以AA1⊥CD。因為AC=BC，D是A1B1的中點，所以CD⊥A1B1。又A1B1∩AA1=A1，所以CD⊥平面A1ABB1。（2）解：以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，CC1為z軸，建立空間直角坐標系。則C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，A1(2,0,2)，B1(0,2,2)，D(1,1,2)。所以向量CD=(1,1,2)，CA=(2,0,0)，CB=(0,2,0)。設平面ACD的法向量為n=(x,y,z)，則n·CD=0，n·CA=0，即x+y+2z=0，2x=0，解得x=0，y=-2z。令z=1，則y=-2，所以n=(0,-2,1)。同理可得平面BCD的法向量為m=(2,0,1)。所以cos<n,m>=n·m/(|n||m|)=(0×2+(-2)×0+1×1)/(√(0+4+1)√(4+0+1))=1/5。因為二面角A-CD-B為銳角，所以二面角A-CD-B的余弦值為1/5。解：（1）f'(x)=3x2-6x+2。令f'(x)=0，解得x=(6±√(36-24))/6=(6±√12)/6=(6±2√3)/6=1±√3/3。當x<1-√3/3或x>1+√3/3時，f'(x)>0，函數f(x)單調遞增；當1-√3/3<x<1+√3/3時，f'(x)<0，函數f(x)單調遞減。所以函數f(x)的單調遞增區(qū)間為(-∞,1-√3/3)和(1+√3/3,+∞)，單調遞減區(qū)間為(1-√3/3,1+√3/3)。（2）因為1-√3/3≈1-0.577=0.423，1+√3/3≈1+0.577=1.577。所以函數f(x)在區(qū)間[-1,0.423]上單調遞增，在區(qū)間[0.423,1.577]上單調遞減，在區(qū)間[1.577,2]上單調遞增。計算得f(-1)=(-1)^3-3×(-1)^2+2×(-1)+1=-1-3-2+1=-5，f(0.423)≈(0.423)^3-3×(0.423)^2+2×(0.423)+1≈0.076-3×0.179+0.846+1≈0.076-0.537+0.846+1≈1.385，f(1.577)≈(1.577)^3-3×(1.577)^2+2×(1.577)+1≈3.927-3×2.487+3.154+1≈3.927-7.461+3.154+1≈0.62，f(2)=8-12+4+1=1。所以函數f(x)在區(qū)間[-1,2]上的最大值為1.385，最小值為-5。解：（1）因為雙曲線的離心率為2，右焦點為F(2,0)，所以c=2，e=c/a=2，解得a=1。又c2=a2+b2，所以b2=c2-a2=4-1=3。所以雙曲線的方程為x2-y2/3=1。（2）當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=2，代入雙曲線方程得4-y2/3=1，解得y=±3，所以|AB|=6，不符合題意。當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=k(x-2)，代入雙曲線方程得x2-[k2(x-2)2]/3=1，整理得(3-k2)x2+4k2x-4k2-3=0。設A(x1,y1)，B(x2,y2)，則x1+x2=-4k2/(3-k2)，x1x2=(-4k2-3)/(3-k2)。所以|AB|=√(1+k2)|x1-x2|=√(1+k2)√[(x1+x2)2-4x1x2]=√(1+k2)√[16k^4/(3-k2)2+4(4k2+3)/(3-k2)]=√(1+k2)√[(16k^4+4(4k2+3)(3-k2))/(3-k2)2]=√(1+k2)√[(16k^4+4(12k2-4k^4+9-3k2))/(3-k2)2]=√(1+k2)√[(16k^4+4(9k2+9-4k^4))/(3-k2)2]=√(1+k2)√[(16k^4+36k2+36-16k^4)/(3-k2)2]=√(1+k2)√[(36k2+36)/(3-k2)2]=√(1+k2)×6√(k2+1)/|3-k2|=6(k2+1)/|3-k2|。因為|AB|=4√3，所以6(k2+1)/|3-k2|=4√3，解得k=±√3/3。所以直線l的方程為y