2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)結(jié)式技術(shù)試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）已知多項式(f(x)=x^3-2x^2+ax+1)與(g(x)=x^2-3x+2)的結(jié)式(\text{Res}(f,g)=0)，則實數(shù)(a)的值為（）A.-1B.0C.1D.2設(shè)(f(x)=x^2+mx+n)，(g(x)=x^2+px+q)，若(\text{Res}(f,g)=(n-q)^2-(mq-np)(mp-nq))，則以下結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)(m=p)時，結(jié)式恒為0B.當(dāng)(n=q)時，結(jié)式恒為0C.當(dāng)(f(x))與(g(x))互素時，結(jié)式不為0D.結(jié)式的值與(m,n,p,q)的符號無關(guān)多項式(f(x)=x^4-1)與(g(x)=x^2+1)的結(jié)式計算結(jié)果為（）A.-16B.0C.16D.32若多項式(f(x))與(g(x))的次數(shù)分別為(m)和(n)，則它們的結(jié)式矩陣的階數(shù)為（）A.(m+n)B.(\max(m,n))C.(\min(m,n))D.(m\timesn)下列關(guān)于結(jié)式性質(zhì)的說法錯誤的是（）A.(\text{Res}(f,g)=(-1)^{mn}\text{Res}(g,f))，其中(m,n)分別為(f,g)的次數(shù)B.若(f(x))與(g(x))有公共根，則(\text{Res}(f,g)=0)C.結(jié)式的值與多項式的首項系數(shù)無關(guān)D.(\text{Res}(f,gh)=\text{Res}(f,g)\cdot\text{Res}(f,h))設(shè)(f(x)=a_nx^n+\dots+a_0)，(g(x)=b_mx^m+\dots+b_0)，則結(jié)式(\text{Res}(f,g))可以表示為（）A.(a_n^mb_m^n\prod_{i=1}^n\prod_{j=1}^m(\alpha_i-\beta_j))，其中(\alpha_i,\beta_j)分別為(f,g)的根B.(a_n^m\prod_{i=1}^ng(\alpha_i))C.((-1)^{mn}b_m^n\prod_{j=1}^mf(\beta_j))D.以上均正確多項式(f(x)=x^3-3x+1)的判別式(\Delta(f))與結(jié)式的關(guān)系為（）A.(\Delta(f)=\text{Res}(f,f'))B.(\Delta(f)=-\text{Res}(f,f'))C.(\Delta(f)=\text{Res}(f',f))D.(\Delta(f)=(-1)^n\text{Res}(f,f'))（其中(n=\degf)）若(f(x)=(x-1)^2(x-2))，則(\text{Res}(f,f')=)（）A.0B.1C.-2D.4利用結(jié)式判斷方程組(\begin{cases}x^2+y^2=1\x+y=1\end{cases})的解的個數(shù)為（）A.1B.2C.3D.4設(shè)(f(x)=x^4+ax^2+b)，則(\text{Res}(f,f'))的表達式中不含有的項是（）A.(a^3)B.(a^2b)C.(ab^2)D.(b^3)多項式(f(x)=x^n-1)與(g(x)=x^m-1)的結(jié)式(\text{Res}(f,g)=)（）A.0（當(dāng)(\gcd(m,n)=d>1)時）B.1（當(dāng)(\gcd(m,n)=1)時）C.((-1)^{mn})（當(dāng)(\gcd(m,n)=1)時）D.(d^d)（其中(d=\gcd(m,n))）結(jié)式在代數(shù)幾何中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在（）A.判斷曲線的交點個數(shù)B.計算曲線的奇點C.消元法求解多項式方程組D.以上均是二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）設(shè)(f(x)=2x^2+3x-1)，(g(x)=x-2)，則(\text{Res}(f,g)=)________。多項式(f(x)=ax^2+bx+c)的判別式(\Delta=b^2-4ac)，用結(jié)式表示為(\Delta=)________。三元多項式方程組消元時，若需消去變量(y)和(z)，可先計算關(guān)于(y)的結(jié)式得到含(x)和(z)的多項式，再計算關(guān)于(z)的結(jié)式，最終得到只含(x)的多項式，這一過程稱為________。若(f(x))與(g(x))均為首一多項式，且(\degf=2)，(\degg=3)，則結(jié)式矩陣的行數(shù)為________，列數(shù)為________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（10分）計算多項式(f(x)=x^2+2x+1)與(g(x)=x^3-1)的結(jié)式(\text{Res}(f,g))，并判斷它們是否有公共根。（12分）設(shè)(f(x)=x^3+ax^2+bx+c)，求(\text{Res}(f,f'))，并由此寫出(f(x))的判別式(\Delta(f))。（12分）利用結(jié)式法消去方程組(\begin{cases}x^2-y=0\xy-1=0\end{cases})中的(y)，得到關(guān)于(x)的多項式方程，并求出方程組的所有解。（12分）證明：多項式(f(x))有重根的充要條件是(\text{Res}(f,f')=0)，其中(f')是(f)的導(dǎo)函數(shù)。（12分）設(shè)(f(x)=a_2x^2+a_1x+a_0)，(g(x)=b_2x^2+b_1x+b_0)，構(gòu)造結(jié)式矩陣并計算(\text{Res}(f,g))，驗證其結(jié)果與公式(\text{Res}(f,g)=a_2^2\prod_{i=1}^2g(\alpha_i))（其中(\alpha_i)為(f(x))的根）的一致性。（12分）已知曲線(C_1:x^2+y^2=25)與(C_2:x^3-y^3=0)，利用結(jié)式法求兩曲線的交點個數(shù)，并說明理由。四、附加題（本大題共2小題，每小題10分，共20分。不計入總分，供學(xué)有余力的學(xué)生選做）設(shè)(f(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i)，(g(x)=\sum_{j=0}^mb_jx^j)，證明結(jié)式的性質(zhì)：(\text{Res}(f,gh)=\text{Res}(f,g)\cdot\text{Res}(f,h))。利用結(jié)式法判斷方程組(\begin{cases}x^4+y^4=1\x^2+y^2=1\end{cases})是否存在非實數(shù)解，并說明理由。（全卷共150分，考試時間120分鐘）正文內(nèi)容說明：本文以“2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)結(jié)式技術(shù)試卷”為標題，嚴格按照高中數(shù)學(xué)試卷的標準結(jié)構(gòu)設(shè)計，包含選擇題、填空題、