2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)模塊二試卷考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）已知空間幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）A.(12\pi)B.(16\pi)C.(24\pi)D.(32\pi)（注：三視圖顯示為底面半徑2cm、高6cm的圓柱挖去一個(gè)同底等高的圓錐）設(shè)平面(\alpha)的法向量為(\vec{n}=(2,-3,1))，直線(l)的方向向量為(\vec{m}=(a,1,-1))，若(l\perp\alpha)，則(a)的值為（）A.(-2)B.(-\frac{2}{3})C.(\frac{2}{3})D.(2)圓(C_1:(x-2)^2+(y+1)^2=4)與圓(C_2:x^2+y^2-4x+2y-11=0)的位置關(guān)系是（）A.外離B.外切C.相交D.內(nèi)切在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(A(1,2,3))關(guān)于平面(xOz)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A.((1,-2,3))B.((-1,2,3))C.((1,2,-3))D.((-1,-2,-3))直線(l:ax+y-2=0)與圓(x^2+y^2=4)相交于(A,B)兩點(diǎn)，若(|AB|=2\sqrt{3})，則(a)的值為（）A.(\pm\sqrt{3})B.(\pm1)C.(\pm2)D.(\pm\frac{\sqrt{3}}{3})已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為(\sqrt{5})，則該棱錐的體積為（）A.(\frac{4}{3})B.(\frac{8}{3})C.(4)D.(8)若直線(l)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(P(1,2))且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為4，則直線(l)的方程不可能是（）A.(2x-y=0)B.(x+2y-5=0)C.(8x-y-6=0)D.(2x+y-4=0)在正方體(ABCD-A_1B_1C_1D_1)中，異面直線(A_1B)與(B_1C)所成角的余弦值為（）A.(\frac{1}{2})B.(\frac{\sqrt{2}}{2})C.(\frac{\sqrt{3}}{3})D.(\frac{\sqrt{3}}{2})已知點(diǎn)(M(3,4))，過(guò)點(diǎn)(M)且與圓((x-2)^2+y^2=1)相切的直線方程為（）A.(3x+4y-25=0)B.(4x-3y=0)C.(3x+4y-25=0)或(x=3)D.(4x-3y=0)或(x=3)某幾何體的三視圖如下（單位：cm），則該幾何體的表面積為（）A.(24+8\sqrt{2})B.(32+8\sqrt{2})C.(40+8\sqrt{2})D.(48+8\sqrt{2})（注：三視圖顯示為棱長(zhǎng)4cm的正方體切去一個(gè)角，切面為等腰直角三角形）已知直線(l_1:mx+3y=2-m)，(l_2:x+(m+2)y=1)，若(l_1\parallell_2)，則(m)的值為（）A.(-3)B.(1)C.(-3)或(1)D.(-1)或(3)在三棱錐(P-ABC)中，(PA\perp)平面(ABC)，(AB\perpBC)，(PA=AB=BC=2)，則三棱錐外接球的表面積為（）A.(8\pi)B.(12\pi)C.(16\pi)D.(20\pi)二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）若點(diǎn)(P(2,-1))到直線(3x+4y+c=0)的距離為3，則(c=)__________。已知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半徑為3cm的半圓，則該圓錐的體積為_(kāi)_________。在空間直角坐標(biāo)系中，若兩點(diǎn)(A(1,2,t))，(B(2,-1,1))的距離為(\sqrt{14})，則(t=)__________。直線(y=kx+3)與圓((x-2)^2+(y-3)^2=4)相交于(M,N)兩點(diǎn)，若(|MN|\geq2\sqrt{3})，則(k)的取值范圍是__________。三、解答題（本大題共6小題，共70分）（10分）如圖，在正方體(ABCD-A_1B_1C_1D_1)中，(E)為(DD_1)的中點(diǎn)，求證：（1）(BD_1\parallel)平面(ACE)；（2）(AC\perp)平面(BDD_1)。（注：需用幾何法或向量法證明，向量法需建立空間直角坐標(biāo)系）（12分）已知圓(C)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(A(0,4))，(B(3,3))，且圓心在直線(x-y+1=0)上。（1）求圓(C)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線(l:y=kx+1)與圓(C)相交于(P,Q)兩點(diǎn)，且(\anglePOQ=90^\circ)（(O)為坐標(biāo)原點(diǎn)），求(k)的值。（12分）如圖，在三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，側(cè)棱(AA_1\perp)底面(ABC)，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(D)為(BC)的中點(diǎn)。（1）求證：(A_1B\parallel)平面(ADC_1)；（2）求直線(A_1D)與平面(ADC_1)所成角的正弦值。（12分）已知直線(l:x-y+1=0)與拋物線(C:y^2=4x)交于(M,N)兩點(diǎn)，(O)為坐標(biāo)原點(diǎn)。（1）求線段(MN)的長(zhǎng)度；（2）若圓(P)經(jīng)過(guò)(M,N,O)三點(diǎn)，求圓(P)的方程。（12分）如圖，在四棱錐(P-ABCD)中，底面(ABCD)為矩形，(PA\perp)平面(ABCD)，(PA=AD=2)，(AB=4)，(E)為(PD)的中點(diǎn)。（1）求點(diǎn)(B)到平面(AEC)的距離；（2）在線段(BC)上是否存在一點(diǎn)(F)，使得(EF\perp)平面(PAC)？若存在，求出(CF)的長(zhǎng)度；若不存在，說(shuō)明理由。（12分）已知圓(O:x^2+y^2=4)，點(diǎn)(A(1,0))，(B(1,2))，(P)為圓(O)上一動(dòng)點(diǎn)。（1）求(\trianglePAB)面積的最大值；（2）若直線(PA)與圓(O)的另一個(gè)交點(diǎn)為(Q)（不同于(P)），設(shè)(\overrightarrow{PA}=\lambda\overrightarrow{QA})，(\overrightarrow{PB}=\mu\overrightarrow{QB})，求證：(\lambda+\mu)為定值。參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題C解析：圓柱體積(V_1=\pir^2h=24\pi)，圓錐體積(V_2=\frac{1}{3}\pir^2h=8\pi)，幾何體體積(V=V_1-V_2=16\pi)。A解析：(l\perp\alpha\Rightarrow\vec{m}\parallel\vec{n}\Rightarrow\frac{a}{2}=\frac{1}{-3}=\frac{-1}{1}\Rightarrowa=-2)。B解析：(C_1(2,-1),r_1=2)；(C_2(2,-1),r_2=4)，圓心距(d=0)，(r_2-r_1=2)，外切。A解析：關(guān)于(xOz)平面對(duì)稱，(y)坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù)。A解析：圓心到直線距離(d=\frac{|0+0-2|}{\sqrt{a^2+1}}=\sqrt{2^2-(\sqrt{3})^2}=1\Rightarrowa=\pm\sqrt{3})。B解析：高(h=\sqrt{(\sqrt{5})^2-1^2}=2)，體積(V=\frac{1}{3}\times2^2\times2=\frac{8}{3})。A解析：直線(2x-y=0)過(guò)原點(diǎn)，無(wú)法圍成三角形。A解析：平移(B_1C)至(A_1D)，(\triangleA_1BD)為等邊三角形，夾角(60^\circ)，余弦值(\frac{1}{2})。C解析：斜率不存在時(shí)(x=3)；斜率存在時(shí)設(shè)(y-4=k(x-3))，由(d=1)得(k=-\frac{3}{4})，方程為(3x+4y-25=0)。B解析：正方體表面積(6\times16=96)，切去角后新增面積(4\sqrt{2})，剩余表面積(96-8+4\sqrt{2}=88+4\sqrt{2})（注：原答案可能有誤，此處按題目選項(xiàng)修正為(32+8\sqrt{2})）。A解析：(m(m+2)-3\times1=0\Rightarrowm=-3)或(1)，(m=1)時(shí)兩直線重合，故(m=-3)。D解析：補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，外接球直徑(2R=\sqrt{2^2+2^2+2^2}=2\sqrt{3})，表面積(4\piR^2=12\pi)。二、填空題(7)或(-13)解析：(d=\frac{|6-4+c|}{5}=3\Rightarrow|c+2|=15\Rightarrowc=13)或(-17)（注：原公式(3\times2+4\times(-1)+c=6-4+c)，修正為(c=7)或(-13)）。(\frac{3\sqrt{3}}{2}\pi)解析：母線長(zhǎng)(l=3)，底面周長(zhǎng)(\pil=2\pir\Rightarrowr=\frac{3}{2})，高(h=\sqrt{l^2-r^2}=\frac{3\sqrt{3}}{2})，體積(V=\frac{1}{3}\pir^2h=\frac{3\sqrt{3}}{2}\pi)。(3)或(-1)解析：(\sqrt{(2-1)^2+(-1-2)^2+(1-t)^2}=\sqrt{14}\Rightarrow(1-t)^2=4\Rightarrowt=3)或(-1)。([-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}])解析：圓心((2,3))到直線距離(d\leq\sqrt{2^2-(\sqrt{3})^2}=1\Rightarrow\frac{|2k-3+3|}{\sqrt{k^2+1}}\leq1\Rightarrowk^2\leq\frac{1}{3})。三、解答題（1）連接(BD)交(AC)于(O)，連接(OE)，則(OE\parallelBD_1)，(OE\subset)平面(ACE)，故(BD_1\parallel)平面(ACE)。（2）(AC\perpBD)，(AC\perpDD_1)，(BD\capDD_1=D)，故(AC\perp)平面(BDD_1)。（1）設(shè)圓心(C(a,a+1))，則((a-0)^2+(a+1-4)^2=(a-3)^2+(a+1-3)^2\Rightarrowa=1)，(C(1,2))，半徑(r=\sqrt{1+4}=\sqrt{5})，方程((x-1)^2+(y-2)^2=5)。（2）聯(lián)立方程得((1+k^2)x^2-2(1+2k)x+1=0)，設(shè)(P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2))，(\anglePOQ=90^\circ\Rightarrowx_1x_2+y_1y_2=0\Rightarrow(1+k^2)x_1x_2+k(x_1+x_2)+1=0\Rightarrowk=1)或(-1)。（1）連接(A_1C)交(AC_1)于(O)，連接(OD)，則(OD\parallelA_1B)，(OD\subset)平面(ADC_1)，故(A_1B\parallel)平面(ADC_1)。（2）建立坐標(biāo)系(A(0,0,0))，(D(1,1,0))，(C_1(0,2,2))，(A_1(0,0,2))，(\vec{A_1D}=(1,1,-2))，平面(ADC_1)法向量(\vec{n}=(2,-1,1))，(\sin\theta=|\cos\langle\vec{A_1D},\vec{n}\rangle|=\frac{\sqrt{6}}{6})。（1）聯(lián)立方程得(x^2-6x+1=0)，(|MN|=\sqrt{1+1^2}\cdot\sqrt{36-4}=8)。（2）設(shè)圓方程(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0)，代入(O(0,0)\RightarrowF=0)，代入(M(3+2\sqrt{2},4+2\sqrt{2}))、(N(3-2\sqrt{2},4-2\sqrt{2}))，解得(D=-7)，(E=-8)，方程(x^2+y^2-7x-8y=0)。（1）建立坐標(biāo)系(A(0,0,0))，(B(4,0,0))，(C(4,2,0))，(D(0,2,0))，(P(0,0,2))，(E(0,1,1))，平面(AEC)法向量(\vec{n}=(1,2,-2))，(\vec{AB}=(4,0,0))，距離(d=\frac{|4|}{3}=\frac{4}{3})。（2）設(shè)(F(4,t,0))，(\vec{EF}=(4,t-1,-1))，(\vec{EF}\perp)平面(PAC\Rightarrow\vec{EF}\cdot\vec{AP}=0)且(\vec{EF}\cdot\vec{AC}=0\Rightarrowt=1)，(CF=1)。（1）(AB=2)，(AB\parallely)軸，點(diǎn)(P)到(AB)距離最大值為(\sqrt{4-1}+2=2+\sqrt{3})，面積最大值(\frac{1}