2025年下學期高中數學基礎達標試卷一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題6分，共60分）已知集合(A={x\midx^2-3x+2\leq0})，(B={x\mid\log_2(x-1)<1})，則(A\capB=)（）A.([1,2])B.((1,2])C.([2,3))D.((1,3))函數(f(x)=\frac{\sinx+\cosx}{\sinx-\cosx})的最小正周期是（）A.(\frac{\pi}{2})B.(\pi)C.(2\pi)D.(4\pi)已知向量(\boldsymbol{a}=(2,m))，(\boldsymbol=(m,8))，若(\boldsymbol{a}\parallel\boldsymbol)，則(m^2+|\boldsymbol{a}|^2=)（）A.16B.32C.48D.64某圓錐的側面展開圖是半徑為4的半圓，則該圓錐的體積為（）A.(\frac{4\sqrt{3}\pi}{3})B.(\frac{8\sqrt{3}\pi}{3})C.(4\sqrt{3}\pi)D.(8\sqrt{3}\pi)已知等比數列({a_n})中，(a_2=2)，(a_5=16)，則數列({a_n})的前6項和(S_6=)（）A.62B.63C.126D.127若(\tan\theta=2)，則(\frac{\sin2\theta+\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}=)（）A.(\frac{7}{6})B.(\frac{3}{2})C.(\frac{5}{4})D.(\frac{4}{3})已知函數(f(x)=x^3-3x^2+2)，則其極大值點為（）A.(x=0)B.(x=1)C.(x=2)D.(x=3)某中學為了解學生數學學習情況，隨機抽取100名學生進行調查，得到成績頻率分布直方圖（部分數據缺失）。若成績在([80,90))的頻率是([90,100])的2倍，則成績在([90,100])的學生人數為（）A.10B.15C.20D.25已知雙曲線(C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0))的離心率為(\sqrt{3})，且過點((\sqrt{3},2))，則雙曲線(C)的標準方程為（）A.(x^2-\frac{y^2}{2}=1)B.(\frac{x^2}{2}-y^2=1)C.(\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{6}=1)D.(\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{3}=1)已知定義在(\mathbf{R})上的函數(f(x))滿足(f(x+2)=-f(x))，且當(x\in[0,2))時，(f(x)=2^x-1)，則(f(2025)=)（）A.1B.2C.3D.4二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分。全部選對得6分，部分選對得3分，有選錯得0分）下列說法正確的有（）A.命題“(\forallx\in\mathbf{R},x^2+x+1>0)”的否定是“(\existsx\in\mathbf{R},x^2+x+1\leq0)”B.若(a>b>0)，則(\frac{1}{a}<\frac{1})C.若隨機變量(X\simN(1,\sigma^2))，且(P(X\leq0)=0.2)，則(P(X<2)=0.8)D.“(x=\frac{\pi}{6})”是“(\sinx=\frac{1}{2})”的充要條件已知函數(f(x)=\sin(\omegax+\varphi))（(\omega>0)，(|\varphi|<\frac{\pi}{2})）的部分圖象如圖所示，則下列結論正確的有（）（注：圖象顯示相鄰兩個最高點的橫坐標差為(\pi)，且過點((0,\frac{1}{2}))）A.(\omega=2)B.(\varphi=\frac{\pi}{6})C.(f(x))的圖象關于點((\frac{\pi}{12},0))對稱D.(f(x))在([-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{6}])上單調遞增在正方體(ABCD-A_1B_1C_1D_1)中，(E,F)分別為棱(AB,CC_1)的中點，則下列說法正確的有（）A.直線(EF)與(A_1D)異面B.直線(EF\perp)平面(BCC_1B_1)C.平面(AEF\perp)平面(ADD_1A_1)D.三棱錐(A_1-BEF)的體積為正方體體積的(\frac{1}{12})三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）已知(\tan\theta=2)，則(\frac{\sin2\theta}{1+\cos^2\theta}=)________。若圓(C:(x-1)^2+(y-2)^2=r^2(r>0))與直線(l:3x+4y-10=0)相切，則(r=)________。已知函數(f(x)=\begin{cases}\lnx,&x>0,\x^2+2x,&x\leq0,\end{cases})若關于(x)的方程(f(x)=m)有三個不同的實數根，則(m)的取值范圍是________。已知數列({a_n})中，(a_1=1)，(a_{n+1}=\frac{a_n}{2a_n+1})，則數列({a_n})的通項公式為(a_n=)；若(b_n=a_na_{n+1})，則數列({b_n})的前(n)項和(T_n=)。（本小題第一空2分，第二空3分）四、解答題（本大題共6小題，共72分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（10分）在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對的邊分別為(a,b,c)，已知(a=2)，(b=3)，(\cosC=\frac{1}{4})。（1）求邊(c)的值；（2）求(\sin(A-C))的值。（12分）如圖，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(D,E)分別為棱(BC,B_1C_1)的中點。（1）求證：(DE\parallel)平面(ABB_1A_1)；（2）求直線(A_1B)與平面(ADE)所成角的正弦值。（12分）某學校為了解學生的數學學習情況，隨機抽取了100名學生的數學成績（滿分150分）進行統(tǒng)計，得到如下頻率分布表：成績分組[50,70)[70,90)[90,110)[110,130)[130,150]頻率0.050.150.300.350.15（1）求這100名學生數學成績的平均數和中位數（同一組數據用該組區(qū)間的中點值作代表）；（2）若從成績在[130,150]的學生中隨機抽取2人，求至少有1人成績在[140,150]的概率（注：[130,150]區(qū)間中，[130,140)與[140,150]的頻率之比為2:1）。（12分）已知橢圓(E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的離心率為(\frac{\sqrt{2}}{2})，且過點((\sqrt{2},1))。（1）求橢圓(E)的標準方程；（2）設直線(l:y=kx+m)與橢圓(E)交于(A,B)兩點，(O)為坐標原點，若(OA\perpOB)，求證：原點(O)到直線(l)的距離為定值。（12分）已知函數(f(x)=e^x-ax-1(a\in\mathbf{R}))。（1）討論函數(f(x))的單調性；（2）若(f(x)\geq0)對(\forallx\in\mathbf{R})恒成立，求實數(a)的值；（3）在（2）的條件下，證明：(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}<\frac{\ln2}{2}(n\in\mathbf{N}^*))。（14分）某工廠生產一種產品，每件產品的成本為(C)元，售價為(P)元，且(C,P)與產量(x)（萬件）的函數關系