2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃班試卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.集合與數(shù)論設(shè)集合(S={1,2,\ldots,2025})，若(A\subseteqS)，(B\subseteqS)，且(A\capB\neq\varnothing)，則二元集({A,B})的個數(shù)為（）A.(2^{2025}(2^{2025}-1))B.((2^{2025}-1)^2)C.(\frac{1}{2}(4^{2025}-3^{2025}))D.(4^{2025}-3^{2025})2.函數(shù)與不等式已知函數(shù)(f(x)=\sqrt{x^2-2x+10}-\sqrt{x^2-4x+5})，則(f(x))的值域?yàn)椋ǎ〢.((-\sqrt{5},\sqrt{5}))B.((-\sqrt{2},\sqrt{2}))C.((-\sqrt{3},\sqrt{3}))D.((-1,1))3.三角函數(shù)與解三角形若(\alpha,\beta)是方程(3\cosx+2\sinx=c)的兩個不同解，且(\alpha+\beta\neqk\pi)（(k\in\mathbb{Z})），則(\tan(\alpha+\beta)=)（）A.(\frac{3}{2})B.(-\frac{3}{2})C.(\frac{2}{3})D.(-\frac{2}{3})4.立體幾何與空間向量在正三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AA_1=2)，點(diǎn)(D)在棱(BC)上，且(BD=\frac{1}{3}BC)，則異面直線(AD)與(A_1C)所成角的余弦值為（）A.(\frac{\sqrt{10}}{10})B.(\frac{\sqrt{15}}{15})C.(\frac{\sqrt{20}}{20})D.(\frac{\sqrt{25}}{25})5.解析幾何橢圓方程(x^2-2xy+2y^2=4)的面積為（）A.(2\pi)B.(4\pi)C.(6\pi)D.(8\pi)6.概率與計(jì)數(shù)原理滿足各位數(shù)字由2、4、6、8組成，且含偶數(shù)個“2”的2025位數(shù)的個數(shù)為（）A.(\frac{4^{2025}+2^{2025}}{2})B.(\frac{4^{2025}-2^{2025}}{2})C.(3^{2025})D.(2^{4050})7.復(fù)數(shù)與多項(xiàng)式設(shè)復(fù)數(shù)(z)滿足(z^6+z^4+z^3+z^2+1=0)，所有正虛部的根之積為(P)，則(\arg(P)=)（）A.(\frac{\pi}{5})B.(\frac{2\pi}{5})C.(\frac{3\pi}{5})D.(\frac{4\pi}{5})8.數(shù)列與不等式已知正項(xiàng)數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=\frac{a_n^2+3}{2a_n})，則(\sum_{k=1}^{2025}\frac{1}{a_k+1})的整數(shù)部分為（）A.1B.2C.3D.4二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）9.數(shù)論與方程滿足(ab=a^2+b^3)的兩位數(shù)(a)的個數(shù)為________。10.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)已知三次函數(shù)(P(x)=x^3+bx^2+cx+d)，且(P(1)=2025)，(P(2)=4050)，則(P(5)-P(-2)=)________。11.向量與幾何已知向量(\mathbf{a},\mathbf)滿足(|2\mathbf{a}-\mathbf|=|\mathbf{a}+2\mathbf|=1)，則(|3\mathbf{a}+4\mathbf|)的最大值為________。12.排列組合設(shè)集合(S={1,2,\ldots,2025})，滿足(A\subseteqS)，(B\subseteqS)，且(A\capB\neq\varnothing)的有序二元組((A,B))的個數(shù)為________。13.復(fù)數(shù)與幾何已知復(fù)數(shù)(z)在線段(2)到(2i)上運(yùn)動（(2)和(2i)為端點(diǎn)），則(|z^2|)的取值范圍為________。14.不等式與最值若(x,y>0)，且(2x^2+y^2=1)，則(x+2y)的最大值為________。三、解答題（本大題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.（12分）三角函數(shù)與最值已知函數(shù)(f(x)=3\cosx+2\sinx)，(x\in[0,\pi])。（1）求(f(x))的最大值及對應(yīng)的(x)的值；（2）若方程(f(x)=c)在([0,\pi])上有兩個不同解(\alpha,\beta)，求(\cos(\alpha-\beta))的值。16.（13分）立體幾何與體積在四棱錐(P-ABCD)中，底面(ABCD)為菱形，(\angleBAD=60^\circ)，(PA\perp)底面(ABCD)，(PA=AB=2)，點(diǎn)(M)為(PC)的中點(diǎn)。（1）證明：(BM\parallel)平面(PAD)；（2）求三棱錐(M-PBD)的體積。17.（13分）解析幾何與軌跡已知拋物線(C:y^2=4x)的焦點(diǎn)為(F)，過點(diǎn)(F)的直線(l)與拋物線交于(A,B)兩點(diǎn)，點(diǎn)(P)在拋物線的準(zhǔn)線上，且(PB\parallelx)軸。（1）證明：直線(PA)過原點(diǎn)(O)；（2）求(\trianglePOA)面積的最小值。18.（14分）數(shù)列與不等式已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=\frac{1}{2}(a_n+\frac{4}{a_n}))。（1）證明：(2\leqa_{n+1}<a_n)（(n\geq1)）；（2）記(b_n=a_n-2)，證明：(b_{n+1}\leq\frac{1}{4}b_n)；（3）求(\sum_{k=1}^{\infty}b_k)的收斂值。19.（14分）函數(shù)與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用已知函數(shù)(f(x)=e^x-ax^2-bx-1)，其中(a,b\in\mathbb{R})。（1）若(a=0)，(b=1)，求(f(x))的單調(diào)區(qū)間；（2）若(f(x))在(x=1)處取得極值，且對任意(x\geq0)，(f(x)\geq0)恒成立，求(a)的取值范圍。20.（14分）組合數(shù)學(xué)與數(shù)論設(shè)(S={1,2,\ldots,2025})，對任意(A\subseteqS)，定義(f(A))為(A)中所有元素的和。（1）求所有非空子集(A\subseteqS)的(f(A))的總和；（2）若(A,B\