2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃試卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.集合與數(shù)論綜合在1到2025的所有整數(shù)中，恰好是3、5、7中兩個(gè)數(shù)的倍數(shù)的數(shù)有（）A.210個(gè)B.231個(gè)C.252個(gè)D.273個(gè)2.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用已知函數(shù)$f(x)=e^x-ax^2-bx-1$在$x=0$處取得極值，且對(duì)任意$x\in\mathbb{R}$，$f(x)\geq0$恒成立，則$a+b$的值為（）A.1B.2C.$e$D.$e^2$3.平面向量與幾何在平面直角坐標(biāo)系中，向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(m,n)$，且$|\vec{a}-\vec|=|\vec{a}+\vec|$，若點(diǎn)$P(m,n)$在圓$x^2+y^2=5$上，則$\vec{a}\cdot\vec=$（）A.0B.5C.10D.154.立體幾何與空間想象正三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$AB=AA_1=2$，$D$為$BB_1$的中點(diǎn)，則異面直線$AD$與$A_1C$所成角的余弦值為（）A.$\frac{\sqrt{3}}{4}$B.$\frac{\sqrt{6}}{4}$C.$\frac{\sqrt{10}}{4}$D.$\frac{\sqrt{15}}{4}$5.三角函數(shù)與三角恒等變換已知$\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{1}{5}$，$\alpha\in(0,\pi)$，則$\tan\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)=$（）A.$-\frac{1}{7}$B.$\frac{1}{7}$C.$-7$D.76.解析幾何與圓錐曲線已知拋物線$y^2=4x$的焦點(diǎn)為$F$，過點(diǎn)$F$的直線$l$與拋物線交于$A$、$B$兩點(diǎn)，若$|AF|=3|BF|$，則直線$l$的斜率為（）A.$\pm\sqrt{3}$B.$\pm2\sqrt{2}$C.$\pm3$D.$\pm2\sqrt{3}$7.概率與統(tǒng)計(jì)某高校強(qiáng)基計(jì)劃面試采用“無領(lǐng)導(dǎo)小組討論”形式，每組5人，其中3人來自甲校，2人來自乙校。若隨機(jī)抽取2人作為小組發(fā)言人，則2人來自同一學(xué)校的概率為（）A.$\frac{2}{5}$B.$\frac{3}{5}$C.$\frac{7}{10}$D.$\frac{4}{5}$8.不等式與最值問題設(shè)正實(shí)數(shù)$x$，$y$滿足$x+2y=1$，則$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小值為（）A.$3+2\sqrt{2}$B.$5+2\sqrt{2}$C.$3+\sqrt{2}$D.$5+\sqrt{2}$二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）9.數(shù)列與遞推關(guān)系已知數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+3^n$，則數(shù)列${a_n}$的通項(xiàng)公式為$a_n=$________。10.排列組合與二項(xiàng)式定理$(x^2-\frac{2}{x})^6$的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為________（用數(shù)字作答）。11.立體幾何體積計(jì)算在棱長(zhǎng)為2的正方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，$E$為棱$CC_1$的中點(diǎn)，則三棱錐$A_1-BDE$的體積為________。12.函數(shù)與創(chuàng)新題型定義函數(shù)$f(x)=[x]+{x}$，其中$[x]$為取整函數(shù)（表示不超過$x$的最大整數(shù)），${x}$為小數(shù)部分函數(shù)（${x}=x-[x]$）。若$f(x)=2x$，則$x=$________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）13.（本小題滿分10分）已知集合$A={x|x^2-3x-10\leq0}$，$B={x|m+1\leqx\leq2m-1}$，且$B\subseteqA$。（1）求實(shí)數(shù)$m$的取值范圍；（2）若“$x\inA$”是“$x\inB$”的必要不充分條件，求$m$的最小值。14.（本小題滿分12分）在$\triangleABC$中，角$A$、$B$、$C$所對(duì)的邊分別為$a$、$b$、$c$，且滿足$b\cosC=(2a-c)\cosB$。（1）求角$B$的大小；（2）若$b=\sqrt{7}$，$\triangleABC$的面積為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，求$a+c$的值。15.（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐$P-ABCD$中，底面$ABCD$為矩形，$PA\perp$平面$ABCD$，$PA=AB=2$，$AD=4$，$E$為$PD$的中點(diǎn)。（1）求證：$AE\parallel$平面$PBC$；（2）求二面角$E-AC-D$的余弦值。16.（本小題滿分12分）已知橢圓$C$：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且過點(diǎn)$(2,1)$。（1）求橢圓$C$的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)$M(1,0)$的直線$l$與橢圓$C$交于$A$、$B$兩點(diǎn)，設(shè)$O$為坐標(biāo)原點(diǎn)，是否存在直線$l$使得$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=-1$？若存在，求出直線$l$的方程；若不存在，說明理由。17.（本小題滿分12分）已知函數(shù)$f(x)=\lnx+\frac{a}{x}(a\in\mathbb{R})$。（1）討論函數(shù)$f(x)$的單調(diào)性；（2）若函數(shù)$f(x)$有兩個(gè)零點(diǎn)$x_1$、$x_2$（$x_1<x_2$），證明：$x_1+x_2>2a$。18.（本小題滿分12分）某強(qiáng)基計(jì)劃試點(diǎn)高校在數(shù)學(xué)考核中引入“數(shù)學(xué)建模與實(shí)際應(yīng)用”題型，題目如下：某工廠生產(chǎn)一種精密零件，其質(zhì)量指標(biāo)$X$服從正態(tài)分布$N(\mu,\sigma^2)$，且$P(X\leq8)=0.1$，$P(X\geq12)=0.2$。（1）求$\mu$和$\sigma$的值（精確到0.01）；（2）若該零件的質(zhì)量指標(biāo)在$(9,11)$內(nèi)為“優(yōu)等品”，工廠對(duì)優(yōu)等品每件獲利50元，非優(yōu)等品每件虧損10元?，F(xiàn)從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取1000件零件，估計(jì)工廠的總利潤(rùn)（單位：元）。（參考數(shù)據(jù)：若$X\simN(\mu,\sigma^2)$，則$P(|X-\mu|<\sigma)\approx0.6827$，$P(|X-\mu|<2\sigma)\approx0.9545$，$\Phi(1.28)\approx0.9$，$\Phi(0.84)\approx0.8$，其中$\Phi(x)$為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)。）四、附加題（本大題共2小題，每小題15分，共30分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟，該部分成績(jī)不計(jì)入總分，供高校參考）19.數(shù)論與不等式證明設(shè)$n$為正整數(shù)，證明：$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n+1}<\ln(n+1)<1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}$。20.組合數(shù)學(xué)與創(chuàng)新思維在一個(gè)$n\timesn$的方格表中，每個(gè)格子內(nèi)填入0或1，若任意一行和任意一列中1的個(gè)數(shù)均為偶數(shù)，稱該方格表為“偶方格表”。（1）求$2\times2$偶方格表的個(gè)數(shù)；（2）證明：對(duì)任意$n\g