2025年下學期高中數(shù)學師范大學附中試卷一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）已知集合(A={x\mid\cosx>0})，(B={1,3})，則(A\capB=)（）A.(\varnothing)B.({1})C.({3})D.({1,3})函數(shù)(f(x)=x^3+3x)在點((-1,f(-1)))處的切線方程為（）A.(y+4=0)B.(2x-y-2=0)C.(6x-y=0)D.(6x-y+2=0)在復平面內(nèi)，復數(shù)(z)對應(yīng)的點為((1,1))，則(i\cdotz=)（）A.(-1+i)B.(-1-i)C.(1-i)D.(1+i)已知等差數(shù)列({a_n})中，(a_1=2)，公差(d=3)，則(a_5=)（）A.11B.12C.13D.14拋物線(C:y^2=4x)的焦點為(F)，準線為(l)，點(P)為(C)上一點，過點(P)作(l)的垂線，垂足為(A)。若(FA=2FB)，且點((-3,0))在直線(PB)上，則直線(PB)的斜率為（）A.(\pm\frac{\sqrt{3}}{3})B.(\pm\frac{\sqrt{2}}{2})C.(\pm1)D.(\pm\sqrt{3})函數(shù)(f(x)=\cos(2x+\varphi)(0<\varphi<\pi))的圖象關(guān)于點(\left(\frac{\pi}{3},0\right))中心對稱，則下列結(jié)論正確的是（）A.(f(x))在區(qū)間(\left(-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right))上單調(diào)遞增B.(f(x))在區(qū)間(\left(0,\frac{\pi}{2}\right))上的最大值為1C.直線(x=\frac{\pi}{12})是曲線(y=f(x))的對稱軸D.當(x\leq0)時，函數(shù)(y=e^x)的圖象恒在函數(shù)(f(x))的圖象上方在平面四邊形(ABCD)中，(\triangleABC)是邊長為(\sqrt{3})的等邊三角形，(\triangleACD)是以點(D)為直角頂點的等腰直角三角形。將該四邊形沿對角線(AC)折成四面體(B-ACD)，在折起的過程中，四面體的外接球體積最小值為（）A.(\frac{\sqrt{3}\pi}{2})B.(\frac{4\pi}{3})C.(\frac{8\sqrt{2}\pi}{3})D.(4\pi)若(x_0)為函數(shù)(f(x)=e^x-\frac{1}{x})的零點，則(x_0-\lnx_0=)（）A.0B.1C.2D.(e^2)二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。全部選對得5分，部分選對得3分，有選錯得0分）下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增的有（）A.(y=2x+1)B.(y=x^2)C.(y=\frac{1}{x})D.(y=e^x)已知等比數(shù)列({a_n})中，若(a_2=6)，(a_4=54)，則該數(shù)列的公比(q)和首項(a_1)可能為（）A.(q=3)，(a_1=2)B.(q=3)，(a_1=3)C.(q=-3)，(a_1=-2)D.(q=-3)，(a_1=-3)有一組成對樣本數(shù)據(jù)((x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_n,y_n))，設(shè)(\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i)，(\overline{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^ny_i)。由這組數(shù)據(jù)得到新成對樣本數(shù)據(jù)((x_1+\overline{x},y_1+5),(x_2+\overline{x},y_2+5),\cdots,(x_n+\overline{x},y_n+5))。利用一元線性回歸模型，根據(jù)最小二乘法，下列結(jié)論一定正確的是（）A.兩條經(jīng)驗回歸直線都過點((\overline{x},\overline{y}))B.兩條經(jīng)驗回歸直線的截距相同C.兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)相同D.兩組數(shù)據(jù)的決定系數(shù)相同在平面直角坐標系(xOy)中，點(P(x,y))是曲線(|x|+|y|=1)上的動點，點(A)坐標為((1,0))，射線(OA)從(x)軸的非負半軸開始，繞點(O)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角(\theta)，終止位置為(OP)。定義：(C(\theta)=x)，(S(\theta)=y)，則（）A.(C(\theta-\frac{\pi}{2})=S(\theta))B.([C(\theta)]^2+[S(\theta)]^2=1)C.(C(2\theta)=[C(\theta)]^2-[S(\theta)]^2)D.(2S(\theta)\leqS(2\theta))三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）已知向量(\boldsymbol{a}=(1,2))，(\boldsymbol=(k-1,1))，若向量(\boldsymbol{a})與(\boldsymbol)垂直，則(k=)________。函數(shù)(f(x)=\sinx+\cosx)在區(qū)間([0,\frac{\pi}{2}])上的值域為________?！毒耪滤阈g(shù)》中，稱底面為矩形而有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐為“陽馬”。已知長方體(ABCD-A_1B_1C_1D_1)，若陽馬以該長方體的頂點為頂點，則這樣的陽馬的個數(shù)是________（用數(shù)字作答）。已知雙曲線(C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0))的右焦點為(F)，其左、右頂點分別為(A,B)，過(F)且與(x)軸垂直的直線交(C)于(M,N)兩點，直線(BN)與(AM)交于點(Q)。若(\triangleMQB)與(\triangleMFB)的面積相等，則(C)的離心率為________。四、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（10分）已知數(shù)列({a_n})是公差為2的等差數(shù)列，滿足(a_{2n}=2a_n+1(n\in\mathbb{N}^*))。（1）求({a_n})的通項公式；（2）設(shè)({a_n})的前(n)項和為(S_n)，若(S_n\leq3a_n)，求(n)的最大值。（12分）某校組織學生參觀中國船政文化博物館，并抽取20名學生進行船政文化知識競賽，成績?nèi)缦拢▎挝唬悍郑?3,79,76,92,63,63,65,77,66,68,72,67,73,57,66,85,87,79,90,61。（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求成績的上四分位數(shù)（說明：上四分位數(shù)即第75百分位數(shù)）；（2）在大于70分的成績中隨機抽取2個，設(shè)(X)表示抽取的2個成績中大于上四分位數(shù)的個數(shù)，求(X)的分布列和數(shù)學期望。（12分）如圖，在三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AC_1\perp)平面(ABC)，(BC)的中點為(M)，(AC\perpAB)，(AB=AC=AC_1=2)。（1）證明：(A_1B\parallel)平面(AC_1M)；（2）在平面(ABC)內(nèi)，動點(Q)在以(A)為圓心，(AB)為半徑的劣弧(BC)上（不含端點(B,C)）。若直線(B_1Q)與平面(AC_1B_1)所成的角為(\frac{\pi}{6})，證明：(A,M,Q)三點共線。（12分）已知橢圓(C)的兩個焦點分別是(F_1(-\sqrt{6},0))，(F_2(\sqrt{6},0))，長軸長是短軸長的(\sqrt{2})倍。（1）求(C)的方程；（2）過點(P(0,1))的直線與(C)交于(D,E)兩點，以(DE)為直徑的圓記為(\odotI)。（i）當直線(DE)過原點時，求(\odotI)與(C)的交點坐標；（ii）(\odotI)是否過定點？若是，請求出定點坐標；若不是，請說明理由。（12分）已知函數(shù)(f(x)=x^2-2mx+m^2-1)。（1）若函數(shù)(f(x))在區(qū)間([0,2])上的最小值為-2，求實數(shù)(m)的值；（2）若對任意(x\in[1,+\infty))，不等式(f(x)>0)恒成立，求實數(shù)(m)的取值范圍。（12分）已知函數(shù)(y=h(x))，記(A={x\mida\leqx\leqb})，(B={y\midy=h(x),x\inA})，若(h(x))滿足(B=A)，則稱(y=h(x))是(A)上的“可控函數(shù)”。由“可控函數(shù)”的定義可得：若函數(shù)(h(x))是(A)上的“可控函數(shù)”，則函數(shù)(h^2(x)=h(h(x)))也是(A)上的“可控函數(shù)”，例如(h^2(x)=h(h(x)))，(h^3(x)=h(h(h(x))))。（1）判斷函數(shù)(f(x)=x^2-2x+2)是否為({x\mid0\leqx\leq2})上的“可控函數(shù)”，并說明理由；（2）已知函數(shù)(g(x)=\sqrt{x+t}