2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)航天技術(shù)試卷一、單項(xiàng)選擇題（每題5分，共60分）我國(guó)"天問(wèn)三號(hào)"探測(cè)器繞火星做橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，已知軌道半長(zhǎng)軸為3397km（火星半徑）+200km（近火點(diǎn)高度）=3597km，半短軸為3597km，其軌道離心率e為（）A.0B.0.5C.1D.無(wú)法確定長(zhǎng)征五號(hào)火箭推進(jìn)劑消耗速率r(t)=150t+2000（kg/s），則發(fā)射后10秒內(nèi)總消耗量為（）A.27500kgB.35000kgC.42500kgD.50000kg衛(wèi)星在地球同步軌道（高度35786km）運(yùn)行時(shí)，其線(xiàn)速度大小約為（地球半徑6371km，g=9.8m/s2）（）A.3.07km/sB.7.91km/sC.11.2km/sD.16.7km/s航天艙內(nèi)某正方體實(shí)驗(yàn)設(shè)備棱長(zhǎng)為2m，若將其表面全部噴涂隔熱材料，需消耗材料體積至少為（）A.8m3B.12m3C.16m3D.24m3北斗導(dǎo)航衛(wèi)星信號(hào)傳播距離d與發(fā)射功率P滿(mǎn)足d=k√P（k為常數(shù)），當(dāng)功率從100W提升至400W時(shí)，傳播距離變?yōu)樵瓉?lái)的（）A.1/2倍B.√2倍C.2倍D.4倍某探測(cè)器位置坐標(biāo)滿(mǎn)足參數(shù)方程x=3t2，y=4t（t為時(shí)間，單位：秒），則其軌跡方程為（）A.y2=16x/3B.x2=9y/16C.x2+y2=25t?D.y=4√(x/3)火箭發(fā)射過(guò)程中加速度a(t)=2t+5（m/s2），則t=10s時(shí)的速度增量為（初始速度為0）（）A.150m/sB.250m/sC.350m/sD.450m/s航天器熱控系統(tǒng)中，某散熱片溫度T(℃)與時(shí)間t(min)關(guān)系為T(mén)=200e^(-0.1t)+20，則30分鐘后溫度約為（）A.40℃B.60℃C.80℃D.100℃在空間直角坐標(biāo)系中，某衛(wèi)星速度向量為(3,4,12)km/s，則其速率大小為（）A.13km/sB.15km/sC.17km/sD.20km/s月球車(chē)機(jī)械臂關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角θ滿(mǎn)足sinθ+cosθ=√2/2，則tanθ=（）A.2+√3B.2-√3C.-2+√3D.-2-√3航天材料疲勞強(qiáng)度測(cè)試中，50個(gè)樣本數(shù)據(jù)的方差為16，若每個(gè)數(shù)據(jù)乘以0.5后，新方差為（）A.4B.8C.16D.32某衛(wèi)星橢圓軌道半長(zhǎng)軸a=7000km，根據(jù)開(kāi)普勒第三定律，其周期約為（地球同步衛(wèi)星周期24h，軌道半徑42164km）（）A.1.5hB.3hC.6hD.12h二、填空題（每題5分，共30分）地球質(zhì)量M=5.97×102?kg，引力常數(shù)G=6.67×10?11N·m2/kg2，則地球引力參數(shù)μ=GM=_______×101?m3/s2（保留3位有效數(shù)字）。某火箭推進(jìn)劑貯箱為圓柱體，容積V=πr2h=500m3，當(dāng)?shù)酌姘霃絩=5m時(shí)，高度h=_______m。航天器姿態(tài)控制中，陀螺角速度向量ω=(2,3,6)rad/s，則其模長(zhǎng)|ω|=_______rad/s?？臻g坐標(biāo)系中，A(1,2,3)、B(4,5,6)為空間站兩對(duì)接點(diǎn)，則兩點(diǎn)距離|AB|=_______√3m。某衛(wèi)星在近地點(diǎn)（r?=7000km）速度v?=8km/s，根據(jù)角動(dòng)量守恒，其在遠(yuǎn)地點(diǎn)（r?=14000km）的速度v?=_______km/s。航天服材料拉伸強(qiáng)度測(cè)試數(shù)據(jù)：230,235,240,245,250MPa，其標(biāo)準(zhǔn)差為_(kāi)______MPa。三、解答題（共60分）（12分）已知某近地衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)，軌道高度h=400km，地球半徑R=6371km，重力加速度g=9.8m/s2。（1）推導(dǎo)衛(wèi)星運(yùn)行速度公式v=√[gR2/(R+h)]；（2）計(jì)算實(shí)際運(yùn)行速度（保留3位有效數(shù)字）；（3）若衛(wèi)星質(zhì)量m=500kg，求其動(dòng)能大小。（12分）嫦娥六號(hào)月球采樣返回任務(wù)中，采樣容器為半球形（半徑r=0.5m）：（1）求容器最大容積；（2）若采樣質(zhì)量m=2kg，月球土壤密度ρ=1.6g/cm3，判斷容器能否裝下全部樣品；（3）若容器內(nèi)壁需覆蓋0.01m厚防粘涂層，求涂層體積。（12分）某火箭推進(jìn)系統(tǒng)燃料消耗率r(t)=kt+b，已知t=0時(shí)r=100kg/s，t=100s時(shí)r=300kg/s。（1）求k和b的值；（2）計(jì)算0-100s內(nèi)總消耗量；（3）若燃料總量為20000kg，求發(fā)動(dòng)機(jī)可持續(xù)工作時(shí)間。（12分）航天器熱控系統(tǒng)中，某部件溫度T(℃)隨時(shí)間t(min)變化滿(mǎn)足微分方程dT/dt=-0.05(T-20)，初始溫度T?=100℃。（1）求解溫度函數(shù)T(t)；（2）計(jì)算30分鐘后的溫度；（3）求溫度降至30℃所需時(shí)間。（12分）在空間直角坐標(biāo)系中，某空間站A(0,0,0)與實(shí)驗(yàn)艙B(3,4,12)、補(bǔ)給艙C(9,12,0)形成三角構(gòu)型。（1）求向量AB和AC的數(shù)量積；（2）計(jì)算兩向量夾角余弦值；（3）若補(bǔ)給艙需沿AB方向移動(dòng)至距A點(diǎn)13km處，求新坐標(biāo)。四、應(yīng)用題（共30分）（15分）載人飛船返回艙采用彈道式返回，已知：初始高度H=400km空氣阻力加速度a=kv2（k=0.001m?1）重力加速度g=9.8m/s2（視為常量）（1）建立速度v與下落高度h的微分方程；（2）用分離變量法求解v(h)表達(dá)式；（3）計(jì)算高度降至100km時(shí)的速度大小。（15分）某衛(wèi)星星座由24顆衛(wèi)星組成，分布在3個(gè)軌道面，每個(gè)軌道面8顆衛(wèi)星：（1）若軌道為傾角55°的圓軌道，計(jì)算相鄰衛(wèi)星角間距；（2）已知衛(wèi)星質(zhì)量m=800kg，軌道高度1414km，求衛(wèi)星所受地球引力；（3）當(dāng)某衛(wèi)星出現(xiàn)故障時(shí)，地面控制中心需從剩余衛(wèi)星中選擇2顆執(zhí)行替補(bǔ)任務(wù)，求不同選法總數(shù)。五、證明題（20分）（10分）證明：在橢圓軌道上運(yùn)行的衛(wèi)星，其近地點(diǎn)速度v?與遠(yuǎn)地點(diǎn)速度v?滿(mǎn)足v?r?=v?r?（r?、r?分別為近遠(yuǎn)地點(diǎn)到地心距離）。（10分）證明：對(duì)于任何航天器橢圓軌道，其機(jī)械能E=-GMm/(2a)（a為半長(zhǎng)軸，M為中心天體質(zhì)量，m為航天器質(zhì)量）。六、附加題（20分）（20分）某深空探測(cè)器執(zhí)行木星探測(cè)任務(wù)，已知：地球到木星平均距離L=7.8×10?km飛船巡航速度v=15km/s推進(jìn)系統(tǒng)效率η=0.9發(fā)動(dòng)機(jī)比沖Isp=300s（即每秒消耗1kg燃料產(chǎn)生300kg·m/s推力）（1）計(jì)算單程飛行時(shí)間（以年