2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)實(shí)分析技術(shù)試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）下列函數(shù)在定義域內(nèi)不滿(mǎn)足利普希茨條件的是（）A.(f(x)=x^2)（(x\in[0,1])）B.(f(x)=\sinx)（(x\in\mathbb{R})）C.(f(x)=|x|)（(x\in[-1,1])）D.(f(x)=\sqrt{x})（(x\in[0,1])）設(shè)數(shù)列({a_n})滿(mǎn)足(a_1=1)，(a_{n+1}=\sqrt{2+a_n})，則(\lim_{n\to\infty}a_n=)（）A.(\sqrt{2})B.2C.(1+\sqrt{3})D.不存在關(guān)于函數(shù)(f(x)=\frac{x^2-1}{|x-1|})的間斷點(diǎn)類(lèi)型，下列說(shuō)法正確的是（）A.(x=1)為可去間斷點(diǎn)B.(x=1)為跳躍間斷點(diǎn)C.(x=1)為無(wú)窮間斷點(diǎn)D.無(wú)間斷點(diǎn)設(shè)(f(x))在([a,b])上連續(xù)，且(\int_a^bf(x),dx=0)，則下列結(jié)論正確的是（）A.(f(x))在([a,b])上恒為0B.存在(\xi\in(a,b))，使得(f(\xi)=0)C.(f(x))在([a,b])上單調(diào)D.(f(x))在([a,b])上可導(dǎo)函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+2)在區(qū)間([0,3])上的最大值與最小值之差為（）A.4B.5C.6D.7設(shè)(f(x)=\begin{cases}x^2\sin\frac{1}{x},&x\neq0\0,&x=0\end{cases})，則(f'(0)=)（）A.0B.1C.-1D.不存在下列廣義積分收斂的是（）A.(\int_1^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{x}},dx)B.(\int_0^1\frac{1}{x^2},dx)C.(\int_0^{+\infty}e^{-2x},dx)D.(\int_0^{\pi/2}\tanx,dx)設(shè)(D)是由曲線(xiàn)(y=x^2)，(y=\sqrt{x})圍成的平面區(qū)域，則二重積分(\iint_Dx,d\sigma=)（）A.(\frac{1}{12})B.(\frac{1}{6})C.(\frac{1}{4})D.(\frac{1}{3})微分方程(y''-4y'+4y=e^{2x})的特解形式可設(shè)為（）A.(y^*=Axe^{2x})B.(y^*=Ax^2e^{2x})C.(y^*=Ae^{2x})D.(y^*=(Ax+B)e^{2x})已知向量場(chǎng)(\mathbf{F}=(x^2y,xy^2,z))，則其散度(\nabla\cdot\mathbf{F}=)（）A.(2xy+2xy+1)B.(x^2+y^2+1)C.(2x+2y+1)D.(xy+xy+1)二、填空題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）函數(shù)(f(x)=\ln(1-x^2))的麥克勞林級(jí)數(shù)展開(kāi)式為_(kāi)_______，收斂區(qū)間為_(kāi)_______。設(shè)(f(x)=\int_0^xte^{-t^2}dt)，則(f(x))的極值點(diǎn)為_(kāi)_______，曲線(xiàn)(y=f(x))的拐點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______。交換二次積分的積分次序：(\int_0^1dy\int_y^{\sqrt{y}}f(x,y)dx=)________。設(shè)曲線(xiàn)(C)為從點(diǎn)((0,0))到((1,1))的直線(xiàn)段，則曲線(xiàn)積分(\int_C(x^2+y^2)dx+(x-y)dy=)________。設(shè)(f(x))是以(2\pi)為周期的函數(shù)，且在([-\pi,\pi))上的表達(dá)式為(f(x)=\begin{cases}-1,&-\pi\leqx<0\1,&0\leqx<\pi\end{cases})，則其傅里葉級(jí)數(shù)在(x=\pi)處收斂于________。三、解答題（本大題共6小題，共70分）16.（10分）證明：函數(shù)(f(x)=\frac{\sinx}{x})在((0,+\infty))上一致連續(xù)。17.（12分）設(shè)函數(shù)(f(x))在([a,b])上連續(xù)，且(\int_a^bf(x)dx=0)，(\int_a^bxf(x)dx=0)。證明：存在(\xi_1,\xi_2\in(a,b))（(\xi_1\neq\xi_2)），使得(f(\xi_1)=f(\xi_2)=0)。18.（12分）計(jì)算三重積分(\iiint_\Omegaz\sqrt{x^2+y^2}dV)，其中(\Omega)是由圓柱面(x^2+y^2=2x)，平面(z=0)，(z=a)（(a>0)）圍成的空間區(qū)域。19.（12分）已知微分方程((x^2-1)y'+2xy=\cosx)，求：（1）該方程的通解；（2）滿(mǎn)足初始條件(y(0)=1)的特解，并判斷當(dāng)(x\to1^-)時(shí)解的極限是否存在。20.（12分）設(shè)函數(shù)列(f_n(x)=nx(1-x^2)^n)（(x\in[0,1])），證明：（1）({f_n(x)})在([0,1])上逐點(diǎn)收斂于0；（2）({f_n(x)})在([0,1])上不一致收斂；（3）計(jì)算(\lim_{n\to\infty}\int_0^1f_n(x)dx)。21.（12分）某工廠(chǎng)生產(chǎn)一種產(chǎn)品，其成本函數(shù)為(C(x)=2x+5)（萬(wàn)元），需求函數(shù)為(p=10-0.01x)（其中(p)為單價(jià)，單位：萬(wàn)元/噸；(x)為產(chǎn)量，單位：噸）。若每噸產(chǎn)品產(chǎn)生的污染需繳納環(huán)保稅(t)萬(wàn)元，且工廠(chǎng)追求利潤(rùn)最大化，求：（1）利潤(rùn)函數(shù)(L(x))的表達(dá)式（含參數(shù)(t)）；（2）當(dāng)(t=0.5)時(shí)的最優(yōu)產(chǎn)量及最大利潤(rùn)；（3）若政府希望將污染排放量控制在(x\leq400)噸，應(yīng)如何設(shè)定稅率(t)？四、技術(shù)應(yīng)用題（本大題共2小題，共30分）22.（15分）使用Python完成以下任務(wù)：（1）定義函數(shù)(f(x)=x^3-3x+1)，用二分法求其在區(qū)間([0,1])內(nèi)的根，精確到(10^{-6})，輸出迭代次數(shù)及近似根；（2）用Matplotlib繪制函數(shù)(f(x))在([-2,2])上的圖像，并標(biāo)記所求的根；（3）計(jì)算定積分(\int_0^1f(x)dx)的數(shù)值解（使用梯形公式，取步長(zhǎng)(h=0.01)）。23.（15分）某城市2015-2024年的年均氣溫?cái)?shù)據(jù)如下表所示（單位：℃）：|年份|2015|2016|2017|2018|2019|2020|2021|2022|2023|2024||------|------|------|------|------|------|------|------|------|------|------||氣溫|16.2|16.5|16.8|17.1|17.3|17.6|17.9|