2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)數(shù)值分析技術(shù)試卷一、填空題（每小題3分，共15分）若近似值(x^*=0.0234)的絕對誤差限為(0.5\times10^{-4})，則其有效數(shù)字位數(shù)為______位。用二分法求方程(f(x)=x^3-2x-5=0)在區(qū)間([2,3])內(nèi)的根，若要求絕對誤差不超過(10^{-3})，則至少需迭代______次。已知函數(shù)(f(x))在節(jié)點(x_0=0,x_1=1)處的函數(shù)值分別為(f(0)=1,f(1)=3)，則線性插值多項式(L_1(x)=)______。數(shù)值積分公式(\int_a^bf(x)dx\approx\frac{b-a}{2}[f(a)+f(b)])稱為______公式，其代數(shù)精度為______次。解線性方程組(Ax=b)的雅可比迭代法收斂的一個充分條件是矩陣(A)為______矩陣。二、選擇題（每小題4分，共20分，每題只有一個正確選項）下列關(guān)于誤差的說法中，錯誤的是（）A.絕對誤差是近似值與真實值之差的絕對值B.相對誤差反映了誤差在真實值中所占的比例C.有效數(shù)字位數(shù)越多，相對誤差限越小D.截斷誤差是由于計算機浮點數(shù)表示有限引起的已知函數(shù)(f(x)=e^x)，用二次拉格朗日插值多項式在節(jié)點(x_0=0,x_1=1,x_2=2)處逼近(f(0.5))，則插值結(jié)果為（）A.(0.5+0.5e+0.125e^2)B.(1+0.5(e-1)+0.25(e^2-2e+1))C.(1+0.5e+0.25e^2)D.(0.5e+0.5e^2)用復(fù)化梯形公式計算(\int_0^1x^2dx)，若將區(qū)間([0,1])等分為2個子區(qū)間，則近似值為（）A.(0.25)B.(0.3125)C.(0.375)D.(0.5)解非線性方程(x=e^{-x})的迭代格式中，收斂速度最快的是（）A.二分法B.不動點迭代法（(x_{k+1}=e^{-x_k})）C.牛頓迭代法D.弦截法下列線性方程組中，適合用迭代法求解的是（）A.(\begin{cases}x_1+2x_2=3\3x_1+x_2=4\end{cases})B.(\begin{cases}5x_1+x_2=7\x_1+5x_2=8\end{cases})C.(\begin{cases}x_1-2x_2=1\-2x_1+x_2=2\end{cases})D.(\begin{cases}2x_1-3x_2=5\-3x_1+2x_2=6\end{cases})三、計算題（共55分）（一）誤差分析（10分）已知近似數(shù)(x_1=1.234)（絕對誤差限(0.5\times10^{-3})），(x_2=0.5678)（絕對誤差限(0.5\times10^{-4})），計算(x_1+x_2)的絕對誤差限和相對誤差限。（二）插值法（12分）給定函數(shù)表：|(x)|0|1|2||--------|---|---|---||(f(x))|1|3|7|構(gòu)造二次拉格朗日插值多項式(L_2(x))；用(L_2(x))計算(f(1.5))的近似值，并估計截斷誤差（已知(f'''(x)=2)）。（三）數(shù)值積分（13分）用辛普森公式計算(\int_0^\pi\sinxdx)，并與精確值比較，計算絕對誤差；若用復(fù)化辛普森公式計算上述積分，要求絕對誤差不超過(10^{-4})，估計所需的最少等分數(shù)(n)（已知(|f^{(4)}(x)|\leq1)）。（四）線性方程組數(shù)值解（10分）用高斯列主元消去法解線性方程組：[\begin{cases}2x_1+x_2+x_3=4\x_1+3x_2+2x_3=5\x_1+2x_2+3x_3=6\end{cases}]（五）非線性方程與常微分方程數(shù)值解（10分）用牛頓迭代法求方程(x^3-3x+1=0)在區(qū)間([1,2])內(nèi)的根，迭代2次（取初始值(x_0=1.5)）；用歐拉方法求解初值問題(y'=x+y)，(y(0)=1)，在(x=0.2)處的近似值（取步長(h=0.1)）。四、證明題（10分）證明：對于迭代格式(x_{k+1}=\frac{1}{2}(x_k+\frac{a}{x_k}))（(a>0)），若初始值(x_0>0)，則序列({x_k})收斂于(