2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)圖表分析試卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1.抽樣方法與統(tǒng)計(jì)圖表基礎(chǔ)某中學(xué)為了解學(xué)生每天用于休息的時(shí)間，決定從高一年級1000名學(xué)生、高二年級1200名學(xué)生、高三年級800名學(xué)生中采用分層抽樣的方法抽取150名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則高二年級應(yīng)抽取的學(xué)生人數(shù)為（）A.40B.50C.60D.70解析：分層抽樣中各層樣本量與該層總體量成正比。總學(xué)生數(shù)為1000+1200+800=3000人，抽樣比為150/3000=1/20。高二年級應(yīng)抽取1200×1/20=60人，答案選C。此類問題需注意分層抽樣的核心是按比例分配樣本，當(dāng)各層個(gè)體差異明顯時(shí)適用，如不同年級學(xué)生的作息習(xí)慣可能存在差異。2.頻率分布直方圖的應(yīng)用某地區(qū)100位居民的月均用水量（單位：t）的頻率分布直方圖如圖1所示，其中[1.5,2.0)組的頻數(shù)為（）A.10B.20C.25D.30解析：頻率分布直方圖中，矩形面積表示頻率。由圖可知[1.5,2.0)組的頻率為0.5×0.4=0.2（組距為0.5，縱坐標(biāo)為0.4），頻數(shù)=100×0.2=20，答案選B。解題時(shí)需注意縱軸表示“頻率/組距”，需先計(jì)算頻率再求頻數(shù)，常見錯(cuò)誤是直接將縱坐標(biāo)值當(dāng)作頻率。3.統(tǒng)計(jì)圖表信息提取某超市2025年第一季度各月銷售額的折線統(tǒng)計(jì)圖顯示：1月銷售額80萬元，2月銷售額120萬元，3月銷售額100萬元。則下列說法正確的是（）A.銷售額逐月遞增B.2月銷售額比1月增長50%C.第一季度月均銷售額為100萬元D.3月銷售額比2月下降20%解析：折線統(tǒng)計(jì)圖反映數(shù)據(jù)的變化趨勢。2月銷售額120萬元比1月增長（120-80）/80=50%，B正確；3月銷售額低于2月，A錯(cuò)誤；季度月均銷售額為（80+120+100）/3≈96.67萬元，C錯(cuò)誤；3月比2月下降（120-100）/120≈16.7%，D錯(cuò)誤。答案選B。4.莖葉圖與數(shù)字特征某班10名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績莖葉圖如下（莖為十位數(shù)字，葉為個(gè)位數(shù)字）：6|577|23898|1469|0則該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和極差分別為（）A.78.5，25B.79，30C.80，25D.81，30解析：莖葉圖中所有數(shù)據(jù)為65,67,72,73,78,79,81,84,86,90。共10個(gè)數(shù)，中位數(shù)為第5、6個(gè)數(shù)的平均值（78+79）/2=78.5；極差=最大值-最小值=90-65=25，答案選A。莖葉圖的優(yōu)點(diǎn)是保留原始數(shù)據(jù)且便于比較，當(dāng)數(shù)據(jù)量較少時(shí)（如小于50個(gè)）尤為適用。5.統(tǒng)計(jì)圖表的選擇與應(yīng)用下列統(tǒng)計(jì)圖表中，最適合展示某學(xué)校各學(xué)科教師人數(shù)占比情況的是（）A.條形統(tǒng)計(jì)圖B.扇形統(tǒng)計(jì)圖C.折線統(tǒng)計(jì)圖D.莖葉圖解析：扇形統(tǒng)計(jì)圖用扇形面積表示各部分占總體的百分比，適合展示分類數(shù)據(jù)的占比關(guān)系，答案選B。條形統(tǒng)計(jì)圖側(cè)重比較具體數(shù)量，折線統(tǒng)計(jì)圖反映變化趨勢，莖葉圖適合展示數(shù)值型數(shù)據(jù)的分布。實(shí)際應(yīng)用中需根據(jù)數(shù)據(jù)類型和分析目的選擇圖表，如展示學(xué)生成績隨時(shí)間的變化趨勢應(yīng)選擇折線圖。6.成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析對某地區(qū)兒童身高與年齡（歲）進(jìn)行回歸分析，得到回歸方程$\hat{y}=7.19x+73.93$，下列說法正確的是（）A.年齡每增加1歲，身高平均增加73.93cmB.年齡為10歲時(shí)，身高一定為145.83cmC.身高與年齡的相關(guān)系數(shù)r>0D.該回歸方程可以準(zhǔn)確預(yù)測所有兒童的身高解析：回歸方程中x的系數(shù)為7.19，表示年齡每增加1歲身高平均增加7.19cm，A錯(cuò)誤；回歸方程是預(yù)測值而非確定值，B錯(cuò)誤；身高隨年齡增長而增加，故相關(guān)系數(shù)r>0，C正確；回歸方程僅適用于樣本數(shù)據(jù)的取值范圍，超出范圍可能出現(xiàn)預(yù)測偏差，D錯(cuò)誤。答案選C。7.獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用為研究吸煙與患肺癌的關(guān)系，某機(jī)構(gòu)隨機(jī)調(diào)查了1000人，得到如下2×2列聯(lián)表：||患肺癌|未患肺癌|總計(jì)||----------|--------|----------|------||吸煙|40|160|200||不吸煙|10|790|800||總計(jì)|50|950|1000|經(jīng)計(jì)算$K^2\approx24.23$，則下列結(jié)論正確的是（）A.有95%的把握認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)B.有99%的把握認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)C.有99.9%的把握認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)D.沒有充分證據(jù)表明吸煙與患肺癌有關(guān)解析：獨(dú)立性檢驗(yàn)中，$K^2=24.23>10.828$（對應(yīng)0.001的臨界值），故有99.9%的把握認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)，答案選C。需牢記常用臨界值：3.841（95%）、6.635（99%）、10.828（99.9%），當(dāng)$K^2$越大，關(guān)聯(lián)程度越強(qiáng)。8.綜合型統(tǒng)計(jì)圖表分析某公司2024年各季度銷售額（單位：萬元）的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖如圖2所示，已知第一季度銷售額為200萬元，則第四季度銷售額為（）A.250B.300C.350D.400解析：由條形圖知第一季度占比20%（200萬元），則總銷售額為200/20%=1000萬元。扇形圖中第四季度占比30%，故銷售額為1000×30%=300萬元，答案選B。此類題需結(jié)合多種圖表提取信息，注意不同圖表的互補(bǔ)性，如條形圖顯示具體數(shù)值，扇形圖顯示占比關(guān)系。二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）9.百分位數(shù)的計(jì)算某班50名學(xué)生的數(shù)學(xué)考試成績（單位：分）從小到大排列后，第25百分位數(shù)是78分，則至少有______名學(xué)生的成績不低于78分。解析：50×25%=12.5，第25百分位數(shù)為第13項(xiàng)數(shù)據(jù)。成績從小到大排列后，第13項(xiàng)為78分，故至少有50-12=38名學(xué)生成績不低于78分（第13項(xiàng)及以后共38項(xiàng)）。百分位數(shù)計(jì)算中，當(dāng)i=np不為整數(shù)時(shí)，取大于i的最小整數(shù)對應(yīng)的項(xiàng)；當(dāng)i為整數(shù)時(shí)，取第i項(xiàng)與第i+1項(xiàng)的平均值。10.方差與數(shù)據(jù)穩(wěn)定性已知一組數(shù)據(jù)$x_1,x_2,x_3,x_4$的方差為2，則數(shù)據(jù)$2x_1+1,2x_2+1,2x_3+1,2x_4+1$的方差為______。解析：若數(shù)據(jù)$x_i$的方差為$s^2$，則$ax_i+b$的方差為$a^2s^2$。本題中a=2，b=1，故新方差為$2^2×2=8$。方差反映數(shù)據(jù)的離散程度，當(dāng)數(shù)據(jù)經(jīng)過線性變換時(shí)，常數(shù)項(xiàng)不影響方差，系數(shù)的平方與原方差相乘。11.頻率分布直方圖的數(shù)字特征某樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，共有5個(gè)小矩形，若中間一個(gè)矩形的面積是其余4個(gè)矩形面積之和的1/3，且樣本容量為160，則中間一組的頻數(shù)為______。解析：設(shè)中間矩形面積為x，則其余4個(gè)矩形面積之和為3x，總面積x+3x=1，解得x=1/4。中間一組頻數(shù)為160×1/4=40。頻率分布直方圖中所有矩形面積之和為1，各矩形的高與頻率成正比，通過面積比可快速計(jì)算頻數(shù)。12.回歸分析的應(yīng)用某車間加工零件的次品率y與日產(chǎn)量x（單位：件）之間的回歸方程為$\hat{y}=0.002x+0.01$，則日產(chǎn)量每增加100件，次品率平均增加______。解析：回歸方程中x的系數(shù)為0.002，表示日產(chǎn)量每增加1件，次品率平均增加0.002。故增加100件時(shí)，次品率增加0.002×100=0.2。此處需注意回歸系數(shù)的實(shí)際意義，即自變量每變化1個(gè)單位，因變量的平均變化量。三、解答題（本大題共3小題，共40分）13.統(tǒng)計(jì)圖表的繪制與分析（12分）某學(xué)校為了解學(xué)生每周體育鍛煉時(shí)間，隨機(jī)抽取200名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)（單位：小時(shí)）：6,8,10,12,4,6,8,14,10,8,12,10,8,6,10,12,14,16,10,8,...（共200個(gè)數(shù)據(jù)）（1）將數(shù)據(jù)分組：[4,8),[8,12),[12,16),[16,20]，繪制頻率分布直方圖；（2）估計(jì)該校學(xué)生每周體育鍛煉時(shí)間的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用中點(diǎn)值代表）；（3）若每周鍛煉時(shí)間不少于12小時(shí)為“優(yōu)秀”，估計(jì)該校2000名學(xué)生中“優(yōu)秀”的人數(shù)。解析：（1）分組統(tǒng)計(jì)頻數(shù)：[4,8)有40人，[8,12)有100人，[12,16)有50人，[16,20]有10人。頻率分別為0.2、0.5、0.25、0.05，組距為4，故縱軸（頻率/組距）分別為0.05、0.125、0.0625、0.0125。繪制直方圖時(shí)，橫軸為時(shí)間，縱軸為頻率/組距，每個(gè)矩形的高對應(yīng)相應(yīng)值。（2）平均數(shù)計(jì)算：(6×40+10×100+14×50+18×10)/200=(240+1000+700+180)/200=2120/200=10.6小時(shí)。（3）“優(yōu)秀”頻率為0.25+0.05=0.3，故2000名學(xué)生中“優(yōu)秀”人數(shù)約為2000×0.3=600人。14.獨(dú)立性檢驗(yàn)的綜合應(yīng)用（14分）為研究學(xué)生對線上教學(xué)的滿意度與學(xué)習(xí)成績的關(guān)系，某學(xué)校隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：||成績優(yōu)秀|成績非優(yōu)秀|總計(jì)||--------------|----------|------------|------||滿意|30|20|50||不滿意|10|40|50||總計(jì)|40|60|100|（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，判斷是否有95%的把握認(rèn)為對線上教學(xué)的滿意度與學(xué)習(xí)成績有關(guān)；（2）從成績優(yōu)秀的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求至少有1人對線上教學(xué)滿意的概率。（參考公式：$K^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$，其中n=a+b+c+d）解析：（1）計(jì)算$K^2$：$n=100$，$a=30$，$b=20$，$c=10$，$d=40$，代入公式得$K^2=\frac{100×(30×40-20×10)^2}{50×50×40×60}=\frac{100×(1200-200)^2}{50×50×40×60}=\frac{100×1000000}{600000}=16.667$。因?yàn)?6.667>3.841（95%置信度的臨界值），所以有95%的把握認(rèn)為兩者有關(guān)。（2）成績優(yōu)秀學(xué)生共40人，其中滿意30人（記為A），不滿意10人（記為B）。從40人中抽2人，總基本事件數(shù)為$C_{40}^2=780$?！爸辽?人滿意”的對立事件是“2人都不滿意”，其基本事件數(shù)為$C_{10}^2=45$。故所求概率為$1-\frac{45}{780}=\frac{735}{780}=\frac{49}{52}$。15.回歸分析的實(shí)際應(yīng)用（14分）某企業(yè)2019-2024年的年廣告支出x（單位：萬元）與年銷售額y（單位：百萬元）的數(shù)據(jù)如下表：|年份|2019|2020|2021|2022|2023|2024||------|------|------|------|------|------|------||x|2|3|4|5|6|7||y|3|4|5|6|7|8|（1）求y關(guān)于x的線性回歸方程$\hat{y}=\hatx+\hat{a}$；（2）若2025年計(jì)劃廣告支出8萬元，預(yù)測該年銷售額。（參考公式：$\hat=\frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}$，$\hat{a}=\bar{y}-\hat\bar{x}$）解析：（1）計(jì)算$\bar{x}$、$\bar{y}$：$\bar{x}=\frac{2+3+4+5+6+7}{6}=4.5$，$\bar{y}=\frac{3+4+5+6+7+8}{6}=5.5$。計(jì)算分子$\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$：$(-2.5)(-2.5)+(-1.5)(-1.5)+(-0.5)(-0.5)+0.5×0.5+1.5×1.5+2.5×2.5=6.25+2.25+0.25+0.25+2.25+6.25=17.5$。計(jì)算分母$\sum(x_i-\bar{x})^2$：$(-2.5)^2+(-1.5)^2+(-0.5)^2+0.5^2+1.5^2+2.5^2=6.25+2.25+0.25+0.25+2.25+6.25=17.5$。故$\hat=17.5/17.5=1$，$\hat{a}=5.5-1×4.5=1$，回歸方程為$\hat{y}=x+1$。（2）當(dāng)x=8時(shí)，$\hat{y}=8+1=9$（百萬元），即預(yù)測2025年銷售額為900萬元。線性回歸中，若數(shù)據(jù)呈嚴(yán)格線性關(guān)系，則回歸方程可完全擬合，此時(shí)相關(guān)系數(shù)r=±1。四、附加題（本大題共1小題，共20分）16.統(tǒng)計(jì)圖表的綜合創(chuàng)新應(yīng)用某社區(qū)為優(yōu)化垃圾分類管理，對A、B兩個(gè)小區(qū)各200戶家庭的日均垃圾產(chǎn)量（單位：kg）進(jìn)行調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：A小區(qū)：頻率分布直方圖如圖3（組距為1，[1,2)頻率0.1，[2,3)頻率0.2，[3,4)頻率0.4，[4,5)頻率0.2，[5,6]頻率0.1）B小區(qū)：頻數(shù)分布表如下：|垃圾產(chǎn)量區(qū)間|[1,2)|[2,3)|[3,4)|[4,5)|[5,6]||--------------|-------|-------|-------|-------|-------||頻數(shù)|20|40|80|40|20|（1）分別計(jì)算A、B兩小區(qū)的日均垃圾產(chǎn)量的平均數(shù)和方差（同一組數(shù)據(jù)用中點(diǎn)值代表）；（2）若日均垃圾產(chǎn)量不低于4kg的家庭需要重點(diǎn)指導(dǎo)，估計(jì)A、B小區(qū)中需要重點(diǎn)指導(dǎo)的家庭戶數(shù)；（3）根據(jù)（1）的結(jié)果，比較兩個(gè)小區(qū)的垃圾產(chǎn)量穩(wěn)定性，并說明哪個(gè)小區(qū)的垃圾分類管理效果更好。解析：（1）A小區(qū)：中點(diǎn)值：1.5,2.5,3.5,4.5,5.5；頻率：0.1,0.2,0.4,0.2,0.1平均數(shù)：$1.5×0.1+2.5×0.2+3.5×0.4+4.5×0.2+5.5×0.1=0.15+0.5+1.4+0.9+0.55=3.5$kg方差：$(1.5-3.5)^2×0.1+(2.5-3.5)^2×0.2+(3.5-3.5)^2×0.4+(4.5-3.5)^2×0.2+(5.5-3.5)^2×0.1=4×0.1+1×0.2+0×0.4+1×0.2+4×0.1=0.4+0.2+0+0.2+0.4=1.2$B小區(qū)：頻數(shù)：20,40,80,40,20；頻率：0.1,0.2,0.4,0.2,0.1（與A小區(qū)相同）平均數(shù)：同A小區(qū)，3.5kg方差：同A小區(qū)，1.2（因頻率分布相同，故數(shù)字特征相同）（