2025年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)輔助角公式專題試題一、輔助角公式的推導(dǎo)與核心概念輔助角公式是解決三角函數(shù)化簡與性質(zhì)問題的重要工具，其核心功能是將形如(a\sinx+b\cosx)的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為單一三角函數(shù)形式。具體推導(dǎo)過程如下：對于任意實數(shù)(a)和(b)，設(shè)(a\sinx+b\cosx=R\sin(x+\varphi))，其中(R>0)。根據(jù)兩角和的正弦公式展開右側(cè)可得：[R\sin(x+\varphi)=R\sinx\cos\varphi+R\cosx\sin\varphi]通過系數(shù)對比可得：[\begin{cases}a=R\cos\varphi\b=R\sin\varphi\end{cases}]兩式平方相加得(R=\sqrt{a^2+b^2})，相除得(\tan\varphi=\frac{a})。類似地，也可轉(zhuǎn)化為余弦形式(R\cos(x-\theta))，此時(\tan\theta=\frac{a})。輔助角(\varphi)的象限由(a)、(b)的符號共同決定，例如當(dāng)(a>0)，(b>0)時，(\varphi)位于第一象限。二、基礎(chǔ)訓(xùn)練題組（一）公式直接應(yīng)用將下列各式化為(R\sin(x+\varphi))的形式：(f(x)=\sinx+\cosx)(f(x)=2\sinx-2\sqrt{3}\cosx)(f(x)=-\sinx+\sqrt{3}\cosx)求函數(shù)(f(x)=3\sinx+4\cosx)的最大值及對應(yīng)(x)的集合。（二）定義域與值域已知(x\in[0,\frac{\pi}{2}])，求函數(shù)(f(x)=\sinx+\sqrt{3}\cosx)的值域。函數(shù)(f(x)=a\sinx+\cosx)的最大值為(\sqrt{5})，求實數(shù)(a)的值。（三）單調(diào)性判斷求函數(shù)(f(x)=\sinx-\cosx)在區(qū)間([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}])上的單調(diào)遞增區(qū)間。三、綜合應(yīng)用題組（一）三角函數(shù)性質(zhì)綜合已知函數(shù)(f(x)=\sqrt{3}\sin2x+2\cos^2x-1)。（1）化簡函數(shù)表達(dá)式；（2）求最小正周期及對稱軸方程；（3）當(dāng)(x\in[0,\frac{\pi}{2}])時，求函數(shù)的最值及對應(yīng)(x)的值。解析：（1）先利用二倍角公式化簡：[f(x)=\sqrt{3}\sin2x+\cos2x=2\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)]（2）最小正周期(T=\frac{2\pi}{2}=\pi)，對稱軸方程由(2x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+k\pi)解得：[x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{2}\quad(k\in\mathbb{Z})]（3）當(dāng)(x\in[0,\frac{\pi}{2}])時，(2x+\frac{\pi}{6}\in[\frac{\pi}{6},\frac{7\pi}{6}])，故最大值為2（(x=\frac{\pi}{6})時），最小值為-1（(x=\frac{\pi}{2})時）。（二）圖像變換問題已知函數(shù)(f(x)=\sinx+\sqrt{3}\cosx)。（1）將函數(shù)圖像向右平移(m)個單位后關(guān)于原點對稱，求最小正數(shù)(m)；（2）保持橫坐標(biāo)不變，將縱坐標(biāo)縮短為原來的(\frac{1}{2})，再向左平移(\frac{\pi}{3})個單位，求變換后的函數(shù)解析式。解析：（1）化簡得(f(x)=2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right))，平移后函數(shù)為(2\sin\left(x-m+\frac{\pi}{3}\right))。由奇函數(shù)性質(zhì)得：[-m+\frac{\pi}{3}=k\pi\impliesm=\frac{\pi}{3}-k\pi]最小正數(shù)(m=\frac{\pi}{3})。（三）方程與零點問題已知函數(shù)(f(x)=\sinx+\cosx-k)在([0,\pi])上有兩個零點，求實數(shù)(k)的取值范圍。解析：化簡得(f(x)=\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-k)，(x\in[0,\pi])時，(x+\frac{\pi}{4}\in[\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}])。函數(shù)圖像在區(qū)間內(nèi)先增后減，最大值為(\sqrt{2})（(x=\frac{\pi}{4})時），端點值分別為(f(0)=1)，(f(\pi)=-1)。要使函數(shù)有兩個零點，需滿足：[1\leqk<\sqrt{2}]（四）向量與三角綜合已知向量(\vec{a}=(\sinx,\cosx))，(\vec=(\sqrt{3},1))，函數(shù)(f(x)=\vec{a}\cdot\vec)。（1）求函數(shù)(f(x))的最小正周期；（2）當(dāng)(x\in[0,\frac{\pi}{2}])時，求(f(x))的單調(diào)遞減區(qū)間。解析：（1）數(shù)量積運算得(f(x)=\sqrt{3}\sinx+\cosx=2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right))，周期(T=2\pi)。（2）令(\frac{\pi}{2}+2k\pi\leqx+\frac{\pi}{6}\leq\frac{3\pi}{2}+2k\pi)，解得(\frac{\pi}{3}+2k\pi\leqx\leq\frac{4\pi}{3}+2k\pi)。結(jié)合定義域得遞減區(qū)間為([\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}])。四、拓展提高題組（一）參數(shù)討論問題已知函數(shù)(f(x)=m\sinx+\cosx)（(m>0)）的最大值為2。（1）求(m)的值；（2）設(shè)(\alpha,\beta\in(0,\frac{\pi}{2}))，且(f(\alpha)=f(\beta))，求(\sin(\alpha+\beta))的值。（二）恒成立問題當(dāng)(x\in[0,\frac{\pi}{2}])時，不等式(\sinx+\sqrt{3}\cosx\geqa)恒成立，求實數(shù)(a)的取值范圍。（三）實際應(yīng)用模型如圖，一個半徑為2米的摩天輪逆時針勻速旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)動周期為(2\pi)秒。若某人從最低點(A)處開始計時，其離地面高度(h)（米）與時間(t)（秒）的關(guān)系可表示為(h(t)=A\sin(\omegat+\varphi)+B)，求：函數(shù)解析式；(t\in[0,\pi])時高度的變化范圍。五、解題方法總結(jié)公式選擇策略：化簡優(yōu)先選正弦形式，求對稱軸優(yōu)先選余弦形式含負(fù)系數(shù)時注意輔助角的象限調(diào)整，例如(-\sinx+\cosx=\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{3\pi}{4}\right))性質(zhì)應(yīng)用要點：求最值時需同時考慮振幅(R)和相位范圍單調(diào)性判斷需結(jié)合復(fù)合函數(shù)"同增異減"法則易錯點警示：輔助角(\varphi)的確定需同時滿足(\cos\varphi=\frac{a}{R})和(\sin\varphi=\frac{R})圖像平移時需先提取(x)