2025年下學期高中數(shù)學數(shù)學歸納法技術試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題6分，共60分）1.數(shù)學歸納法的核心邏輯是（）A.從特殊到一般的推理B.從一般到特殊的推理C.直接驗證所有情況D.僅依賴歸納奠基即可證明2.用數(shù)學歸納法證明“$1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$”時，第一步應驗證（）A.$n=0$時等式成立B.$n=1$時等式成立C.$n=2$時等式成立D.$n=k$時等式成立3.某外賣平臺統(tǒng)計騎手日配送單數(shù)，發(fā)現(xiàn)第$n$天的配送單數(shù)$a_n$滿足$a_1=50$，且$a_{n+1}=a_n+3$，用數(shù)學歸納法證明“$a_n=50+3(n-1)$”時，歸納遞推的關鍵步驟是（）A.假設$n=k$時$a_k=50+3(k-1)$，證明$n=k+1$時$a_{k+1}=50+3k$B.假設$n=k$時$a_k=50+3k$，證明$n=k+1$時$a_{k+1}=50+3(k+1)$C.驗證$n=1$時$a_1=50$成立D.直接計算$a_2=53$，$a_3=56$驗證規(guī)律4.用數(shù)學歸納法證明“$3^{2n}-1$能被8整除”時，當$n=k+1$時，$3^{2(k+1)}-1$可變形為（）A.$9(3^{2k}-1)$B.$9(3^{2k}-1)+8$C.$3^{2k}-1+8$D.$3^{2k}+8$5.已知數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=\frac{2a_n}{a_n+2}$，用數(shù)學歸納法證明“$a_n=\frac{2}{n+1}$”的過程中，當$n=k+1$時，$a_{k+1}=$（）A.$\frac{2a_k}{a_k+2}=\frac{2\cdot\frac{2}{k+1}}{\frac{2}{k+1}+2}=\frac{2}{k+2}$B.$\frac{2a_k}{a_k+2}=\frac{2\cdot\frac{2}{k}}{\frac{2}{k}+2}=\frac{2}{k+1}$C.$\frac{2}{(k+1)+1}=\frac{2}{k+2}$D.直接計算$a_2=\frac{2}{3}$，$a_3=\frac{1}{2}$驗證6.用數(shù)學歸納法證明不等式“$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2^n-1}<n$（$n\geq2$，$n\in\mathbb{N}^*$）”時，假設$n=k$時不等式成立，則$n=k+1$時需要證明（）A.$1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{2^k-1}+\frac{1}{2^k}<k+1$B.$1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{2^k-1}+\frac{1}{2^k}+\cdots+\frac{1}{2^{k+1}-1}<k+1$C.$1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{2^k-1}<k+1$D.$\frac{1}{2^k}+\cdots+\frac{1}{2^{k+1}-1}<1$7.下列命題中，適合用數(shù)學歸納法證明的是（）A.三角形內角和為$180^\circ$B.$\sqrt{n}<n$（$n\geq2$）C.方程$x^2+2x+1=0$有兩個相等實根D.所有無理數(shù)都不能表示為分數(shù)形式8.用數(shù)學歸納法證明“$(n+1)(n+2)\cdots(n+n)=2^n\cdot1\cdot3\cdot\cdots\cdot(2n-1)$”時，從$n=k$到$n=k+1$，左邊需增加的因式是（）A.$2k+1$B.$2(2k+1)$C.$\frac{2k+1}{k+1}$D.$\frac{2k+2}{k+1}$9.某工廠用數(shù)學歸納法優(yōu)化生產(chǎn)流程，已知第$n$天的產(chǎn)品合格率$p_n$滿足$p_1=0.9$，且$p_{n+1}=p_n+0.01$，則第10天的合格率為（）A.0.99B.1.00C.0.95D.0.9110.用數(shù)學歸納法證明“$n^3+5n$能被6整除”時，$n=k+1$時，$(k+1)^3+5(k+1)$可表示為（）A.$k^3+5k+3k(k+1)+6$B.$k^3+5k+3k^2+3k+6$C.$k^3+5k+3(k^2+k+2)$D.$k^3+5k+6(k+1)$二、填空題（本大題共6小題，每小題6分，共36分）11.用數(shù)學歸納法證明“$1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2$”，當$n=3$時，左邊的表達式為________，右邊的結果為________．12.已知數(shù)列${a_n}$中，$a_1=2$，$a_{n+1}=a_n+2n$，用數(shù)學歸納法證明“$a_n=n^2-n+2$”，則當$n=k+1$時，$a_{k+1}=a_k+2k=$________（用含$k$的式子表示）．13.用數(shù)學歸納法證明“$2^n>n^2$（$n\geq5$，$n\in\mathbb{N}^*$）”，第一步應驗證$n=$________時，不等式成立．14.某電商平臺“雙11”期間的日銷售額$S_n$（單位：萬元）滿足$S_1=100$，$S_{n+1}=2S_n+100$，用數(shù)學歸納法證明“$S_n=100(2^n-1)$”，則歸納遞推時，$S_{k+1}=2S_k+100=$________（用含$k$的式子表示）．15.用數(shù)學歸納法證明“$\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}$”，當$n=k+1$時，左邊需添加的項為________．16.用數(shù)學歸納法證明“$1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$”，若$n=k$時等式成立，則$n=k+1$時，右邊的表達式為________．三、解答題（本大題共6小題，共104分）17.（16分）用數(shù)學歸納法證明：$1^3+2^3+\cdots+n^3=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2$．18.（16分）已知數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=3a_n+2$，用數(shù)學歸納法證明：$a_n=2\cdot3^{n-1}-1$．19.（18分）某快遞公司為提升效率，采用數(shù)學歸納法優(yōu)化分揀流程．已知第$n$小時的分揀包裹數(shù)$a_n$（單位：件）滿足$a_1=200$，且$a_{n+1}=1.5a_n+100$．（1）計算$a_2$，$a_3$的值；（2）猜想$a_n$的通項公式，并證明你的結論．20.（18分）用數(shù)學歸納法證明：對任意正整數(shù)$n$，$4^{2n+1}+3^{n+2}$能被13整除．21.（18分）已知函數(shù)$f(x)=\frac{x}{1+x}$，定義數(shù)列${a_n}$：$a_1=f(1)$，$a_{n+1}=f(a_n)$．（1）求$a_1$，$a_2$，$a_3$的值；（2）猜想$a_n$的通項公式，并用數(shù)學歸納法證明．22.（18分）某科研團隊研究細胞分裂規(guī)律，已知第$n$次分裂后的細胞總數(shù)$b_n$滿足$b_1=2$，且$b_{n+1}=b_n+2^n$．（1）用數(shù)學歸納法證明：$b_n=2^n$；（2）若每次分裂的細胞存活率為$0.8$，求第$n$次分裂后存活的細胞數(shù)（用含$n$的式子表示）．四、開放探究題（本大題共1小題，20分）23.現(xiàn)有兩種用數(shù)學歸納法證明“$1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$”的思路：思路1：按標準步驟，先驗證$n=1$，再假設$n=k$成立，推導$n=k+1$；思路2：先驗證$n=1$和$n=2$，再假設$n=k$和$n=k+1$成立，推導$n=k+2$．（1）判斷兩種思路是否正確，并說明理由；（2）選擇一種思路完成證明，并結合“數(shù)學歸納法的邏輯嚴謹性”談談你的體會．參考答案及評分標準（此處省略，實際試卷需附詳細解析）試卷設計說明：題型覆蓋：結合2025年高考大綱要求，設置選擇、填空、解答、開放探究四大題型，其中填空題包含多空題（如第11