2025年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)立體幾何證明題專練一、線面平行的判定與性質(zhì)例1：三角形中位線法證明線面平行已知：在三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$D$為$BC$中點，$E$為$A_1C_1$中點，求證：$DE\parallel$平面$ABB_1A_1$。證明：構(gòu)造輔助線：連接$A_1B$，取$A_1B$中點$F$，連接$EF$、$FD$。證明四邊形$EFDC$為平行四邊形：在$\triangleA_1BC_1$中，$E$、$F$分別為$A_1C_1$、$A_1B$中點，由中位線定理得$EF\parallelBC_1$且$EF=\frac{1}{2}BC_1$。在三棱柱中，$BC\parallelB_1C_1$且$BC=B_1C_1$，又$D$為$BC$中點，故$DC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}B_1C_1$，且$DC\parallelB_1C_1$。因此$EF\parallelDC$且$EF=DC$，四邊形$EFDC$為平行四邊形，從而$DE\parallelFC$。應(yīng)用線面平行判定定理：$FC\subset$平面$ABB_1A_1$，$DE\not\subset$平面$ABB_1A_1$，由線面平行判定定理得$DE\parallel$平面$ABB_1A_1$。例2：面面平行性質(zhì)法證明線面平行已知：正方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，$M$為$DD_1$中點，求證：$BD_1\parallel$平面$MAC$。證明：連接對角線交點：設(shè)$AC\capBD=O$（底面正方形中心），連接$OM$。證明$OM\parallelBD_1$：在$\triangleDD_1B$中，$O$為$BD$中點，$M$為$DD_1$中點，由中位線定理得$OM\parallelBD_1$且$OM=\frac{1}{2}BD_1$。應(yīng)用線面平行判定定理：$OM\subset$平面$MAC$，$BD_1\not\subset$平面$MAC$，故$BD_1\parallel$平面$MAC$。二、線面垂直的判定與性質(zhì)例3：線線垂直法證明線面垂直已知：四棱錐$P-ABCD$中，底面$ABCD$為菱形，$\angleABC=60^\circ$，$PA=AB=2$，$PA\perp$底面$ABCD$，求證：$BD\perp$平面$PAC$。證明：證明$BD\perpAC$：底面$ABCD$為菱形，菱形對角線互相垂直，故$BD\perpAC$。證明$BD\perpPA$：$PA\perp$底面$ABCD$，$BD\subset$底面$ABCD$，由線面垂直性質(zhì)得$PA\perpBD$。應(yīng)用線面垂直判定定理：$AC\capPA=A$，$AC,PA\subset$平面$PAC$，因此$BD\perp$平面$PAC$。例4：面面垂直性質(zhì)法證明線面垂直已知：在四棱錐$P-ABCD$中，平面$PAD\perp$底面$ABCD$，$AB\parallelCD$，$AD\perpCD$，$PA=PD$，求證：$CD\perp$平面$PAD$。證明：利用面面垂直性質(zhì)：平面$PAD\perp$底面$ABCD$，交線為$AD$，$CD\subset$底面$ABCD$，且$CD\perpAD$（已知），由面面垂直性質(zhì)定理得$CD\perp$平面$PAD$。三、面面平行與垂直的判定例5：判定定理證明面面平行已知：正方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，$E$、$F$、$G$分別為$A_1D_1$、$B_1C_1$、$DD_1$中點，求證：平面$EFG\parallel$平面$AB_1D$。證明：證明$EF\parallelAB_1$：$E$、$F$分別為$A_1D_1$、$B_1C_1$中點，$A_1D_1\parallelB_1C_1$且$A_1D_1=B_1C_1$，故$EF\parallelA_1B_1$，又$A_1B_1\parallelAB$，因此$EF\parallelAB$。且$EF=A_1B_1=AB$，故四邊形$EFAB$為平行四邊形，$EF\parallelAB_1$。證明$EG\parallelAD_1$：$E$、$G$分別為$A_1D_1$、$DD_1$中點，在$\triangleDD_1A_1$中，$EG\parallelA_1D$（中位線定理），又$A_1D\parallelAD_1$（正方體面對角線平行），故$EG\parallelAD_1$。應(yīng)用面面平行判定定理：$EF\capEG=E$，$EF,EG\subset$平面$EFG$，$AB_1\capAD_1=A$，$AB_1,AD_1\subset$平面$AB_1D$，因此平面$EFG\parallel$平面$AB_1D$。例6：判定定理證明面面垂直已知：在三棱錐$P-ABC$中，$PA=PB=PC$，$AB=BC=CA$，求證：平面$PAB\perp$平面$ABC$。證明：構(gòu)造中點輔助線：取$AB$中點$O$，連接$PO$、$CO$。證明$PO\perpAB$：$PA=PB$，$\trianglePAB$為等腰三角形，$O$為$AB$中點，故$PO\perpAB$。證明$PO\perpCO$：設(shè)棱長$AB=2a$，則$AO=BO=a$，$CO=\sqrt{3}a$（正三角形高）。設(shè)$PA=PB=PC=2b$，則$PO=\sqrt{PA^2-AO^2}=\sqrt{4b^2-a^2}$。在$\trianglePOC$中，$PO^2+CO^2=4b^2-a^2+3a^2=4b^2=PC^2$，由勾股定理逆定理得$PO\perpCO$。應(yīng)用線面垂直及面面垂直判定定理：$AB\capCO=O$，$AB,CO\subset$平面$ABC$，故$PO\perp$平面$ABC$，又$PO\subset$平面$PAB$，因此平面$PAB\perp$平面$ABC$。四、綜合應(yīng)用：動態(tài)幾何與存在性問題例7：探究線面平行的動點位置已知：在四棱錐$P-ABCD$中，底面$ABCD$為矩形，$AB=2$，$AD=4$，$PA\perp$底面$ABCD$，$PA=3$，$M$為$PC$上一動點，是否存在點$M$使得$BM\parallel$平面$PAD$？若存在，求$PM:MC$的值。解答：存在點$M$，且$PM:MC=3:2$。證明：假設(shè)存在點$M$滿足條件：過$M$作$MN\parallelCD$交$PD$于$N$，連接$AN$。證明$MN\parallelAB$：$ABCD$為矩形，$AB\parallelCD$，故$MN\parallelAB$。構(gòu)造平行四邊形：要使$BM\parallel$平面$PAD$，需$BM\parallelAN$，即四邊形$ABMN$為平行四邊形，因此$MN=AB=2$。利用相似比求比值：$MN\parallelCD$，$\trianglePMN\sim\trianglePCD$，$\frac{PM}{PC}=\frac{MN}{CD}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，設(shè)$PM=k$，$MC=2k-k=k$（矛盾），修正：$CD=2$，$MN=AB=2$，則$\frac{PM}{PC}=\frac{MN}{CD}=1$，即$M$與$C$重合時不成立。重新構(gòu)造：過$M$作$ME\parallelPA$交$AC$于$E$，則$ME\parallel$平面$PAD$，若$BM\parallel$平面$PAD$，則平面$BME\parallel$平面$PAD$，從而$BE\parallelAD$，即$E$為$AC$中點，故$PM:MC=AE:EC=1:1$。五、空間向量法證明垂直與平行（理科拓展）例8：向量法證明線面垂直已知：正方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$棱長為$1$，以$D$為原點，$DA,DC,DD_1$為$x,y,z$軸建系，求證：$A_1C\perp$平面$BC_1D$。證明：寫出坐標：$A_1(1,0,1)$，$C(0,1,0)$，$B(1,1,0)$，$C_1(0,1,1)$，$D(0,0,0)$。求向量：$\overrightarrow{A_1C}=(-1,1,-1)$，$\overrightarrow{DB}=(1,1,0)$，$\overrightarrow{DC_1}=(0,1,1)$。證明垂直關(guān)系：$\overrightarrow{A_1C}\cdot\overrightarrow{DB}=(-1)(1)+1\cdot1+(-1)\cdot0=0$，故$\overrightarrow{A_1C}\perp\overrightarrow{DB}$。$\overrightarrow{A_1C}\cdot\overrightarrow{DC_1}=(-1)\cdot0+1\cdot1+(-1)\cdot1=0$，故$\overrightarrow{A_1C}\perp\overrightarrow{DC_1}$。結(jié)論：$DB\capDC_1=D$，因此$\overrightarrow{A_1C}\perp$平面$BC_1D$。六、易錯點分析與規(guī)范書寫輔助線描述：需明確“連接”“取中點”“作平行線”等操作，例如例1中“連接$A_1B$，取$A_1B$中點$