2025年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)能力拓展訓(xùn)練（二）一、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用題型一：函數(shù)單調(diào)性與極值的綜合問題例題：已知函數(shù)$f(x)=x^3-3ax^2+3x+1$在區(qū)間$(2,3)$上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)$a$的取值范圍。解析：求導(dǎo)分析：對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得$f'(x)=3x^2-6ax+3$，由題意知$f'(x)\leq0$在$(2,3)$上恒成立。分離參數(shù)：$3x^2-6ax+3\leq0\Rightarrowa\geq\frac{x^2+1}{2x}=\frac{x}{2}+\frac{1}{2x}$。構(gòu)造新函數(shù)：設(shè)$g(x)=\frac{x}{2}+\frac{1}{2x}$，需滿足$a\geqg(x)_{\text{max}}$在$(2,3)$上成立。求最值：對(duì)$g(x)$求導(dǎo)得$g'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2x^2}$，在$(2,3)$上$g'(x)>0$，故$g(x)$單調(diào)遞增。因此$g(x)_{\text{max}}<g(3)=\frac{3}{2}+\frac{1}{6}=\frac{5}{3}$，所以$a\geq\frac{5}{3}$。解題思路總結(jié)：利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題；通過分離參數(shù)將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值；注意定義域?qū)瘮?shù)單調(diào)性的影響，避免忽略端點(diǎn)值驗(yàn)證。題型二：導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用例題：某工廠生產(chǎn)一種無蓋圓柱形容器，容積為$3\pi$立方米，已知底面材料單價(jià)是側(cè)面材料單價(jià)的2倍，如何設(shè)計(jì)容器尺寸使總造價(jià)最低？解析：設(shè)變量：設(shè)底面半徑為$r$，高為$h$，側(cè)面材料單價(jià)為$k$，則底面單價(jià)為$2k$。建立關(guān)系：由容積$V=\pir^2h=3\pi\Rightarrowh=\frac{3}{r^2}$。造價(jià)函數(shù)：總造價(jià)$C=2k\cdot\pir^2+k\cdot2\pirh=2k\pir^2+2k\pir\cdot\frac{3}{r^2}=2k\pi\left(r^2+\frac{3}{r}\right)$。求導(dǎo)求最值：對(duì)$C(r)=r^2+\frac{3}{r}$求導(dǎo)得$C'(r)=2r-\frac{3}{r^2}$，令$C'(r)=0\Rightarrowr=\sqrt[3]{\frac{3}{2}}$。驗(yàn)證極值：當(dāng)$r<\sqrt[3]{\frac{3}{2}}$時(shí)$C'(r)<0$，當(dāng)$r>\sqrt[3]{\frac{3}{2}}$時(shí)$C'(r)>0$，故$r=\sqrt[3]{\frac{3}{2}}$時(shí)造價(jià)最低，此時(shí)$h=2\sqrt[3]{\frac{3}{2}}$。解題思路總結(jié)：關(guān)鍵在于建立目標(biāo)函數(shù)，明確自變量與因變量的關(guān)系；利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值時(shí)，需結(jié)合實(shí)際意義確定定義域；結(jié)果需驗(yàn)證是否符合實(shí)際問題的約束條件（如尺寸為正數(shù)）。二、立體幾何綜合題型題型一：空間幾何體的體積與表面積例題：已知三棱錐$P-ABC$中，$PA\perp$平面$ABC$，$AB\perpBC$，$PA=AB=BC=2$，求三棱錐外接球的表面積。解析：補(bǔ)形法：將三棱錐補(bǔ)形為長方體，其中$PA$、$AB$、$BC$為長方體的三條棱，長分別為2、2、2。求外接球直徑：長方體體對(duì)角線長即為外接球直徑$2R=\sqrt{2^2+2^2+2^2}=2\sqrt{3}\RightarrowR=\sqrt{3}$。計(jì)算表面積：$S=4\piR^2=12\pi$。解題思路總結(jié)：不規(guī)則幾何體的外接球問題可通過補(bǔ)形法轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體（如長方體、正方體）；利用“體對(duì)角線等于外接球直徑”快速求解半徑；常見補(bǔ)形模型：墻角模型（三條棱兩兩垂直）、側(cè)棱垂直底面模型等。題型二：空間線面位置關(guān)系的證明與計(jì)算例題：如圖，在直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$AC=BC$，$D$為$AB$中點(diǎn)，求證：$AC_1\parallel$平面$CDB_1$。證明：構(gòu)造中位線：連接$BC_1$交$B_1C$于點(diǎn)$O$，連接$OD$。證明線線平行：在$\triangleABC_1$中，$O$為$BC_1$中點(diǎn)，$D$為$AB$中點(diǎn)，故$OD\parallelAC_1$。線面平行判定：因?yàn)?OD\subset$平面$CDB_1$，$AC_1\not\subset$平面$CDB_1$，所以$AC_1\parallel$平面$CDB_1$。解題思路總結(jié)：證明線面平行的常用方法：構(gòu)造中位線、平行四邊形或利用面面平行性質(zhì)；輔助線添加需結(jié)合幾何體特征，如三棱柱中常利用側(cè)棱平行或?qū)蔷€交點(diǎn)；書寫證明過程需嚴(yán)格遵循定理?xiàng)l件，避免邏輯斷層。三、概率統(tǒng)計(jì)綜合題型題型一：幾何概型與古典概型的綜合例題：在區(qū)間$[0,2]$上任取兩個(gè)實(shí)數(shù)$x$，$y$，求事件“$x^2+y^2\leq1$且$x+y\geq1$”發(fā)生的概率。解析：確定樣本空間：$x,y\in[0,2]$，樣本空間為邊長為2的正方形，面積$S_{\Omega}=4$。確定事件區(qū)域：$x^2+y^2\leq1$表示以原點(diǎn)為圓心，半徑1的四分之一圓（第一象限），面積$S_1=\frac{\pi}{4}$；$x+y\geq1$表示直線$x+y=1$右上方區(qū)域，與四分之一圓的交集為扇形減去三角形。計(jì)算交集面積：扇形面積：$\frac{1}{4}\pi\times1^2=\frac{\pi}{4}$；三角形面積：$\frac{1}{2}\times1\times1=\frac{1}{2}$；交集面積$S_A=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}$。計(jì)算概率：$P=\frac{S_A}{S_{\Omega}}=\frac{\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}}{4}=\frac{\pi-2}{16}$。解題思路總結(jié)：幾何概型問題關(guān)鍵是將樣本空間和事件轉(zhuǎn)化為幾何圖形；利用數(shù)形結(jié)合法確定區(qū)域邊界，注意變量取值范圍對(duì)圖形的限制；復(fù)雜區(qū)域面積計(jì)算可通過“補(bǔ)形法”或“分割法”簡化。題型二：統(tǒng)計(jì)與概率的綜合應(yīng)用例題：某學(xué)校為了解學(xué)生數(shù)學(xué)成績與課外輔導(dǎo)的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查100名學(xué)生，數(shù)據(jù)如下表：成績優(yōu)秀成績不優(yōu)秀總計(jì)參加輔導(dǎo)2030未參加輔導(dǎo)1040總計(jì)3070（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，判斷是否有95%的把握認(rèn)為成績優(yōu)秀與參加輔導(dǎo)有關(guān)；（2）從成績優(yōu)秀的學(xué)生中隨機(jī)選取2人，求至少有1人參加輔導(dǎo)的概率。解析：（1）獨(dú)立性檢驗(yàn)：計(jì)算卡方值$\chi^2=\frac{100\times(20\times40-10\times30)^2}{50\times50\times30\times70}=\frac{100\times500^2}{50\times50\times30\times70}\approx4.762$。因?yàn)?4.762>3.841$（$95%$置信度對(duì)應(yīng)的臨界值），故有95%的把握認(rèn)為兩者有關(guān)。（2）古典概型計(jì)算：成績優(yōu)秀學(xué)生共30人，其中參加輔導(dǎo)20人（記為A類），未參加10人（記為B類）?？偦臼录?shù)：$C_{30}^2=435$。對(duì)立事件“兩人均未參加輔導(dǎo)”的事件數(shù)：$C_{10}^2=45$。因此所求概率$P=1-\frac{45}{435}=\frac{26}{29}$。解題思路總結(jié)：獨(dú)立性檢驗(yàn)需正確計(jì)算$\chi^2$值，并與臨界值比較；概率計(jì)算中，“至少”“至多”類問題優(yōu)先考慮對(duì)立事件；注意區(qū)分“有放回”與“無放回”抽樣對(duì)基本事件數(shù)的影響。四、綜合創(chuàng)新題型題型：跨模塊知識(shí)綜合應(yīng)用例題：已知函數(shù)$f(x)=e^x-ax^2$在$[0,+\infty)$上單調(diào)遞增，且三棱錐$P-ABC$中，$PA\perp$平面$ABC$，$AB=AC=2$，$BC=2\sqrt{3}$，$PA=f(1)$。（1）求實(shí)數(shù)$a$的值；（2）求三棱錐外接球的體積。解析：（1）導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性：$f'(x)=e^x-2ax\geq0$在$[0,+\infty)$恒成立。當(dāng)$x=0$時(shí)，$f'(0)=1\geq0$；當(dāng)$x>0$時(shí)，$a\leq\frac{e^x}{2x}$，設(shè)$h(x)=\frac{e^x}{2x}$，求導(dǎo)得$h'(x)=\frac{e^x(x-1)}{2x^2}$。當(dāng)$x=1$時(shí)$h(x)$取最小值$h(1)=\frac{e}{2}$，故$a\leq\frac{e}{2}$。又因?yàn)轭}目隱含$a$為唯一值（結(jié)合立體幾何條件），故$a=\frac{e}{2}$，此時(shí)$f(1)=e-\frac{e}{2}\times1=\frac{e}{2}$。（2）立體幾何與球：在$\triangleABC$中，由余弦定理得$\cos\angleBAC=\frac{2^2+2^2-(2\sqrt{3})^2}{2\times2\times2}=-\frac{1}{2}$，故$\angleBAC=120^\circ$。$\triangleABC$外接圓半徑$r=\frac{BC}{2\sin\angleBAC}=\frac{2\sqrt{3}}{2\times\frac{\sqrt{3}}{2}}=2$。三棱錐外接球半徑$R=\sqrt{r^2+\left(\frac{PA}{2}\right)^2}=\sqrt{2^2+\left(\frac{e}{4}\right)^2}$，體積$V=\frac{4}{3}\piR^3$。解題思路總結(jié)：跨模塊綜合題需分解為單一知識(shí)點(diǎn)逐步突破；注意前后問題的關(guān)聯(lián)性，前一問的結(jié)論往往是后一問的已知條件；靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想（如函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想）串聯(lián)不同模塊知識(shí)。五、拓展提升訓(xùn)練題型一：函數(shù)與數(shù)列的綜合例題：已知函數(shù)$f(x)=\frac{x}{x+1}$，數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=f(a_n)$。（1）求證：$\left{\frac{1}{a_n}\right}$是等差數(shù)列；（2）設(shè)$b_n=\frac{a_n}{n+1}$，求數(shù)列${b_n}$的前$n$項(xiàng)和$S_n$。題型二：立體幾何中的動(dòng)態(tài)問題例題：在棱長為2的正方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，點(diǎn)$P$在棱$CC_1$上運(yùn)動(dòng)，求三棱錐$P-ABD$體積的最大值及此時(shí)$P$點(diǎn)位置。題型三：概率與函數(shù)的綜合例題：在區(qū)間$[