2/30第三章整式及其加減（舉一反三講義）全章題型歸納 【北師大版2024】TOC\o"1-3"\h\u【培優(yōu)篇】 4【題型1代數(shù)式的定義、書寫規(guī)范】 4【題型2代數(shù)式的意義】 6【題型3列代數(shù)式】 8【題型4代數(shù)式求值】 10【題型5整式及整式有關(guān)的概念】 11【題型6（合并）同類項】 13【題型7去（添）括號】 15【題型8整式加減運算與化簡求值】 16【拔尖篇】 189344【題型9程序框圖中求代數(shù)式的值】 18【題型10幾何圖形中求代數(shù)式的值】 20【題型11數(shù)式規(guī)律探究】 24【題型12整式加減中的無關(guān)項問題】 26【題型13整式加減中的多結(jié)論問題】 29【題型14整式加減的實際應(yīng)用】 33【題型15與絕對值有關(guān)的化簡】 37【題型16探索與表達(dá)規(guī)律（數(shù)字變化類）】 39【題型17探索與表達(dá)規(guī)律（圖形變化類）】 42知識點1用含字母的式子表示數(shù)用字母或含有字母的式子表示數(shù)和數(shù)量關(guān)系，為我們今后的學(xué)習(xí)和研究帶來了極大的方便．用含字母的式子表示數(shù)的書寫規(guī)則：（1）字母與字母相乘時，“×”號通常省略不寫或?qū)懗伞?”；（2）字母與數(shù)相乘時，數(shù)通常寫在字母的前面；（3）帶分?jǐn)?shù)與字母相乘時，通?；瘞Х?jǐn)?shù)為假分?jǐn)?shù)；（4）字母與字母相除時，要寫成分?jǐn)?shù)的形式．（5）當(dāng)式子為幾個數(shù)的和或差的形式，且結(jié)果帶單位時，式子整體加括號．知識點2代數(shù)式的概念用運算符號把數(shù)或表示數(shù)的字母連接起來的式子叫作代數(shù)式．單獨的一個數(shù)或字母也是代數(shù)式．例如：0，a都是代數(shù)式．知識點3代數(shù)式的意義根據(jù)生活實際將給定的代數(shù)式的意義用語言敘述出來，就是將代數(shù)式的字母及運算符號賦予具體的含義．知識點4列代數(shù)式把簡單的與數(shù)量有關(guān)的詞語用代數(shù)式表示出來叫作列代數(shù)式．例如：用代數(shù)式表示：a與a減去b的差的商，其中運算詞“差”表示的數(shù)量關(guān)系是a減去b，列成式子為a-b；運算詞“商”表示的數(shù)量關(guān)系是a除以“差”，即aa?b知識點5代數(shù)式的值的概念用數(shù)值代替代數(shù)式中的字母，按照代數(shù)式中的運算關(guān)系計算得出的結(jié)果，叫作代數(shù)式的值．這個過程叫作求代數(shù)式的值．例如：當(dāng)x=?5時，代數(shù)式(x+2)2=(?5+2)2=(?3)2知識點6求代數(shù)式的值的步驟求代數(shù)式的值有代入和計算兩步．第一步：用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，簡稱“代入”．代入時，將相應(yīng)的字母換成已給定的或已算出來的數(shù)值，其他的運算符號、原來的數(shù)字及運算順序都不改變．第二步：按照代數(shù)式中給出的運算，計算出結(jié)果，簡稱“計算”．代入的值不同，最后計算出的結(jié)果也可能不同．知識點7單項式1.定義：如果一個代數(shù)式是數(shù)或字母的積，那么這個代數(shù)式叫作單項式．單獨的一個數(shù)或一個字母也是單項式．2.單項式的系數(shù)：單項式中的數(shù)字因數(shù)叫作這個單項式的系數(shù)．3.單項式的次數(shù)：一個單項式中，所有字母的指數(shù)的和叫作這個單項式的次數(shù)．對于一個非零的數(shù)，規(guī)定它的次數(shù)為0．知識點8多項式1.定義：幾個單項式的和叫作多項式．2.多項式的項：在多項式中，每個單項式叫作多項式的項，其中不含字母的項叫作常數(shù)項，一個多項式含有幾項，就叫幾項式．3.多項式的次數(shù)：多項式里，次數(shù)最高的項的次數(shù)，叫作這個多項式的次數(shù)．知識點9整式1.定義：單項式與多項式統(tǒng)稱整式．2.單項式、多項式與整式的關(guān)系如圖所示．3.判斷整式、單項式及多項式的方法（1）單項式不含加減運算，多項式必含加減運算；（2）多項式是幾個單項式的和，多項式不包含單項式；（3）單項式和多項式都是整式，分母中含有字母的都不是整式．知識點10同類項所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項叫作同類項．幾個常數(shù)項也是同類項．知識點11合并同類項把多項式中的同類項合并成一項，叫作合并同類項．合并同類項后，所得項的系數(shù)是合并前各同類項的系數(shù)的和，字母連同它的指數(shù)不變．合并同類項的一般步驟：知識點12去括號1.去括號方法一般地，一個數(shù)與一個多項式相乘，需要去括號，去括號就是用括號外的數(shù)乘括號內(nèi)的每一項，再把所得的積相加．如果括號外的乘數(shù)是正數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項的符號與原來的符號相同；如果括號外的乘數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項的符號與原來的符號相反．2.依據(jù)：分配律a(b+c)=ab+ac.3.多層括號的去法：一般由內(nèi)向外，先去小括號，再去中括號，最后去大括號．知識點13整式的加減整式加減的運算法則：幾個整式相加減，如果有括號就先去括號，然后再合并同類項．應(yīng)用整式加減的運算法則化簡求值時，一般先去括號、合并同類項，再代入字母的值進(jìn)行計算，簡記為“一化、二代、三計算”．在具體運算中，也可以先將同類項合并，再去括號，但是要按運算順序去做．例如，?2(x?3x+5x?7x+6)=?2(?4x+6)=8x?12．【培優(yōu)篇】【題型1代數(shù)式的定義、書寫規(guī)范】【例1】在式子n﹣3、a2b、m+s≤2、x、﹣ah、s＝ab中代數(shù)式的個數(shù)有（）A．6個 B．5個 C．4個 D．3個【答案】C【分析】代數(shù)式即用運算符號把數(shù)與字母連起來的式子，依據(jù)此意義求解．【詳解】因為代數(shù)式即用運算符號把數(shù)與字母連起來的式子，所以n﹣3、a2b、x、﹣ah都是代數(shù)式，所以代數(shù)式的個數(shù)有4個．故選C．【點睛】考核知識點：代數(shù)式．理解代數(shù)式的意義是關(guān)鍵．【變式1-1】（24-25七年級上·吉林·期中）下列書寫∶①?1a；②223a2b；③5a2b3【答案】③【分析】本題考查代數(shù)式書寫規(guī)范，根據(jù)數(shù)字與字母之間乘號省略不寫，數(shù)字在前字母在后，分?jǐn)?shù)寫成假分?jǐn)?shù)，多項式與單位之間要加括號逐個判斷即可得到答案；【詳解】解：?1a應(yīng)寫成?a，不符合題意，223a5ab23應(yīng)寫成2024×a×b應(yīng)寫成2024ab，不符合題意，a+3千克應(yīng)寫成(a+3)千克，不符合題意，故答案為：③．【變式1-2】下列各式中，不是代數(shù)式的是（）A．3a B．0 C．2x＝1 D．a(chǎn)【答案】C【分析】根據(jù)代數(shù)式的定義逐項判斷．【詳解】A、3a是代數(shù)式，不符合題意；B、0是代數(shù)式，不符合題意；C、2x＝1是方程，不是代數(shù)式，符合題意；D、a2故選：C．【點睛】本題主要考查了代數(shù)式的定義，正確把握代數(shù)式的定義是解題關(guān)鍵．【變式1-3】下列各式：3a，123a，b5，a×3，A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)代數(shù)式的書寫要求判斷各個代數(shù)式即可．【詳解】解：3a，b5，123aa×3應(yīng)書寫為32a÷b所以符合書寫要求的共3個，故選：C．【點評】本題主要考查了代數(shù)式的書寫，代數(shù)式的書寫要求：1在代數(shù)式中出現(xiàn)的乘號，通常簡寫成“?”或者省略不寫；2數(shù)字與字母相乘時，數(shù)字要寫在字母的前面；3在代數(shù)式中出現(xiàn)的除法運算，一般按照分?jǐn)?shù)的寫法來寫．帶分?jǐn)?shù)要寫成假分?jǐn)?shù)的形式．【題型2代數(shù)式的意義】【例2】（24-25七年級上·福建漳州·期中）商店對商品尾貨進(jìn)行虧本促銷活動，促銷的方法是將成本為x元的商品提價50%后標(biāo)價，再以0.9x?30元的促銷價出售，則下列說法中，①標(biāo)價減去30元后再打9折；②標(biāo)價打9折后再減去30元；③標(biāo)價減去50元后再打6折；④標(biāo)價打6折后再減去30元．能正確表達(dá)該商店促銷方法的是【答案】③④/④③【分析】此題主要考查了代數(shù)式，成本為x元的商品提價50%后標(biāo)價為1+50【詳解】解：成本為x元的商品提價50%后標(biāo)價為1+50①標(biāo)價減去30元后再打9折，則促銷價為：1.5x?30×0.9=1.35x?27≠0.9x?30故①不符合；②標(biāo)價打9折后再減去30元，則促銷價為：0.9×1.5x?30=1.35x?30≠0.9x?30，故②不符合；③標(biāo)價減去50元后再打6折，則促銷價為：1.5x?50×0.6=0.9x?30故③符合；④標(biāo)價打6折后再減去30元，則促銷價為：0.6×1.5x?30=0.9x?30，故④符合；綜上，能正確表達(dá)該商店促銷方法的是③④．故答案為：③④．【變式2-1】（24-25七年級上·湖南常德·期末）小明根據(jù)方程5x+10x?5=400編寫了一道應(yīng)用題，請你把空缺的部分補充完整．甲、乙兩名工人生產(chǎn)零件，已知甲工人每天比乙工人多生產(chǎn)5個零件，，請問甲工人每天生產(chǎn)多少個零件？（設(shè)甲工人每天生產(chǎn)【答案】甲工人工作5天，乙工人工作10天，共生產(chǎn)了400個零件【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用．判斷出相應(yīng)的等量關(guān)系代表的實際意義是解決問題的關(guān)鍵．分析方程各項的意義，即可解答．【詳解】解：因為設(shè)甲工人每天生產(chǎn)x個零件，則乙工人每天生產(chǎn)x?5個零件，所以方程中5x表示甲工人5天共生產(chǎn)零件的數(shù)量，10x?5故5x+10x?5故答案為：甲工人工作5天，乙工人工作10天，共生產(chǎn)了400個零件【變式2-2】（24-25七年級上·河北石家莊·期中）甲、乙同學(xué)關(guān)于“代數(shù)式2x+y”的意義敘述，判斷正確的是（

甲：x的2倍與y的和；乙：蘋果每千克x元，香蕉每千克y元，蘋果和香蕉各買2千克的總花費A．只有甲的正確 B．只有乙的正確C．甲、乙的都正確 D．甲、乙的都不正確【答案】B【分析】本題考查了代數(shù)式的意義，根據(jù)甲、乙同學(xué)的敘述列出代數(shù)式，再進(jìn)行判斷即可求解，理解代數(shù)式的意義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：x的2倍與y的和是2x+y，所以甲同學(xué)敘述錯誤；蘋果每千克x元，香蕉每千克y元，蘋果和香蕉各買2千克的總花費為2x+y故選：B．【變式2-3】（24-25七年級上·山東菏澤·期中）關(guān)于代數(shù)式8x?3y表示的意義，下列說法正確的是（

）A．若x表示一支鉛筆的價格，y表示一塊橡皮的價格，則代數(shù)式8x?3y表示買3支鉛筆和8塊橡皮共花了多少錢B．若長方形的長為x，寬為8，正方形的邊長為y，則代數(shù)式8x?3y表示一個長方形的面積與3個正方形的面積差C．汽車每小時行駛x千米，火車每小時行駛y千米，則代數(shù)式8x?3y表示火車行駛3小時比汽車行駛8小時少行駛的路程數(shù)D．小米每千克x元，大米每千克y元，則代數(shù)式8x?3y表示買8千克大米比買3千克小米少花的錢數(shù)【答案】C【分析】本題考查代數(shù)式的意義，理解代數(shù)式的意義是解題關(guān)鍵．根據(jù)代數(shù)式表示實際意義的方法逐項判斷即可．【詳解】解：A、若x表示一支鉛筆的價格，y表示一塊橡皮的價格，則代數(shù)式8x?3y表示8只鉛筆比3塊橡皮多花了多少錢，故本選項錯誤；B、若x表示長方形的長，8表示長方形的寬，y表示正方形的邊長，則代數(shù)式8x?3y表示一個長方形的面積與1個正方形的三邊長的差，故本選項錯誤；C、汽車每小時行駛x千米，火車每小時行駛y千米，則代數(shù)式8x?3y表示火車行駛3小時比汽車行駛8小時少行駛的路程數(shù)，故本選項正確；D、小米每千克x元，大米每千克y元，則代數(shù)式8x?3y表示為買8千克小米比買3千克大米多花的錢數(shù)，故本選項錯誤．故選：C．【題型3列代數(shù)式】【例3】（24-25七年級上·福建龍巖·階段練習(xí)）世界杯排球賽的積分規(guī)則為：比賽中以3?0（勝3局負(fù)0局）或者3?1取勝的球隊積3分，負(fù)隊積0分；比賽中以3?2取勝的球隊積2分，負(fù)隊積1分．若某球隊以3?1勝了a場，以3?2勝了b場，以2?3負(fù)了c場，則這支球隊的積分用多項式可以表示為．【答案】3a+2b+c【分析】本題主要考查了列代數(shù)式，根據(jù)積分規(guī)則列式即可．【詳解】∵某球隊以3?1勝了a場，以3?2勝了b場，以2?3負(fù)了c場，∴這支球隊的積分用多項式可以表示為3a+2b+c．故答案為：3a+2b+c．【變式3-1】（24-25七年級上·上?！て谥校┯么鷶?shù)式表示“x的213減去y的差”是【答案】7【分析】此題考查了列代數(shù)式，以及代數(shù)式的書寫規(guī)范；根據(jù)題意先求倍數(shù)后求差，列出代數(shù)式，將帶分?jǐn)?shù)寫成假分?jǐn)?shù)的形式即可求解．【詳解】解：用代數(shù)式表示“x的213減去y的差”是故答案為：73【變式3-2】（2025·陜西咸陽·模擬預(yù)測）九連環(huán)作為一種中國傳統(tǒng)民間玩具，是由九個完全一樣的圓環(huán)和中間的直桿連接而成，其俯視圖可以看成九個水平擺放且間距一樣的圓環(huán)，如圖所示，若相鄰兩個圓環(huán)之間重疊部分的寬度均為a，一個圓環(huán)的直徑為b，則整個九連環(huán)的寬度可以表示為．（用含a，b的代數(shù)式表示）【答案】9b?8a【分析】本題考查圖形規(guī)律類，熟練掌握重疊后長度，重疊部分長度，并排長度的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．用九個圓環(huán)的長度減去重疊的部分的長度即可．【詳解】解：整個九連環(huán)的寬度可以表示為9b?8a．故答案為：9b?8a．【變式3-3】（24-25七年級下·全國·假期作業(yè)）學(xué)校報告廳第一排有a個座位，第二排有a+2個座位，第三排有a+4個座位，后面每一排比前面一排多2個座位．第n排有（）個座位．A．a(chǎn)+2n B．a(chǎn)+2n?1 C．2n D．a(chǎn)+2n+2【答案】B【分析】依題意，電影院第一排有a個座位，第n排與第一排相差n?1排，又后面每排比前排多2個座位，所以第n排比第一排多的座位為：2(n?1)，即可作答；本題考查規(guī)律的使用，關(guān)鍵在規(guī)律的總結(jié)和巧妙使用，此處重在歸納總結(jié)；【詳解】解：由題知，電影院第一排有a個座位；又后面每排比前排多2個座位；第n排與第一排相差：n?1排，∴第n排比第一排多的座位為：2(n?1)；∴第n排的座位為：a+2(n?1)；故選：B【題型4代數(shù)式求值】【例4】如果代數(shù)式?2a2+3b+8的值為1，那么代數(shù)式4A．14 B．16 C．18 D．20【答案】B【分析】本題主要考查了代數(shù)式求值，利用整體代入的思想求解是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)題意得到2a2?3b=7【詳解】解：∵?2a∴2a4a將2a2?3b=7故選：B．【變式4-1】（25-26七年級上·全國·周測）小明在計算41?N時，誤將“?”看成“+”，結(jié)果得13，則41?N的值為（

）A．?28 B．32 C．69 D．?54【答案】C【分析】本題主要考查了代數(shù)式求值，根據(jù)錯誤算法求出N的值是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)錯誤算法求出N的值，然后再代入進(jìn)行正確計算．【詳解】解：小明誤將“?”看成“+”，得到錯誤等式：41+N=13解得：N=13?41=?28∴41?N=41?故選：C．【變式4-2】（24-25七年級上·廣東東莞·期末）若3?m2+n+2=0，則A．17 B．?17 C．1 D．?1【答案】C【分析】本題考查代數(shù)式的求值、平方和絕對值的非負(fù)性，會利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵．根據(jù)平方和絕對值的非負(fù)性求得m、n的值，再代值求解即可．【詳解】解：∵3?m2+n+2=0，∴3?m=0，n+2=0，解得m=3，n=?2，∴m2故選：C．【變式4-3】（24-25七年級上·河北邯鄲·期末）數(shù)學(xué)家歐拉最先用fx來表示關(guān)于x的多項式．如對于fx=x+1：當(dāng)x=?2時，則f?2=?2+1，當(dāng)x=a時，則fa=a+1．若規(guī)定fx=x+3，下列結(jié)論中：①f?1=2；②A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】A【分析】本題考查代數(shù)式求值，①將x=?1代入fx=x+3，可求解；②根據(jù)題意得到方程x+3=4，解方程即可求解；③將x=?3【詳解】解：∵fx∴①f?1②若fx=4時，即整理得x=1∴x=±1，故②正確；③當(dāng)x=?3時，7?f綜上，①②③都正確，不正確的有0個．故選：A．【題型5整式及整式有關(guān)的概念】【例5】（24-25七年級上·河南商丘·期中）多項式m?4xm?2+x?5是關(guān)于x的二次三項式，則mA．0 B．4 C．4或0 D．-4或1【答案】A【分析】本題主要考查了多項式，熟練掌握多項式的次數(shù)：多項式中最高次項的次數(shù)，叫做多項式的次數(shù)；一個多項式有幾項就叫幾項式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)多項式的定義得m?2=2且m?4≠0【詳解】解：∵多項式m?4xm?2+x?5∴m?2=2且m?4≠0∴m=0，故選：A．【變式5-1】（24-25七年級上·河南駐馬店·期中）下列式子：?13，a3，?π，?5x2y3，2xy2，【答案】?13，a【分析】本題考查單項式、多項式、整式的概念，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解并依據(jù)這些概念來對給定式子進(jìn)行分類．①依據(jù)單項式的定義找出單項式；②依據(jù)多項式的定義找出多項式；③根據(jù)整式包含單項式和多項式確定整式．【詳解】①單項式是數(shù)或字母的積組成的代數(shù)式，單獨的一個數(shù)或一個字母也叫做單項式，?13是單獨的數(shù)，a3是數(shù)13與字母a的積，?π是單獨的數(shù)，?5x2y3②幾個單項式的和叫做多項式，a+b2=a2+b2是單項式a③整式為單項式和多項式的統(tǒng)稱，所以整式是?1故答案為：①?②a+b③?【變式5-2】下列說法中正確的是（

）A．多項式?3x2?5B．單項式?5πxy2zC．π2D．把x3+xy2【答案】A【分析】本題考查了多項式，單項式，根據(jù)單項式和多項式的意義，逐一判斷即可解答．【詳解】解：A、多項式?3x2?54B、單項式?5πxy2zC、π2D、把x3+xy2?故選：A．【變式5-3】已知多項式?7ambn+5ab2?1（m，n為正整數(shù)且A．?1 B．3或?4 C．?1或4 D．?3或4【答案】C【分析】本題主要考查了多項式的概念，幾個單項式的和叫做多項式，每個單項式叫做多項式的項，其中不含字母的項叫做常數(shù)項．多項式中次數(shù)最高的項的次數(shù)叫做多項式的次數(shù)．根據(jù)多項式及降冪排列的定義可得m>1，m+n=4，即可求解m，n的值，再分別代入計算可求解．【詳解】解：由題意得：m>1，m+n=4，所以m=2，n=2或m=3，n=1，當(dāng)m=2，n=2時，?nm當(dāng)m=3，n=1時，?nm故選：C．【題型6（合并）同類項】【例6】（24-25九年級下·河南周口·階段練習(xí)）若關(guān)于b的單項式bm與nb2024相加等于0，則【答案】?2024【分析】本題考查合并同類項，熟練掌握同類項的定義是解題的關(guān)鍵；根據(jù)同類項的定義“所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同”即可求出答案．【詳解】解：由題意可知：bm與n∴m=2024，n+1=0即n=?1，∴mn=2024×?1故答案為：?2024．【變式6-1】（24-25七年級上·全國·期末）下列各組式子中是同類項的是（）A．a(chǎn)c與ab B．3a與5a2 C．3ab2與5a【答案】D【分析】本題考查同類項的定義，解題的關(guān)鍵是正確理解同類項的定義，本題屬于基礎(chǔ)題型．所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同，這樣的項叫做同類項．【詳解】解：A、所含字母不相同，不是同類項，故A選項不符合題意；B、相同字母的指數(shù)不相同，不是同類項，故B選項不符合題意；C、相同字母的指數(shù)不相同，不是同類項，故C選項不符合題意；D、符合同類項的定義，是同類項，故D選項符合題意；故選：D．【變式6-2】（24-25七年級上·北京·期中）請寫出一個與?ab2為同類項的整式：【答案】8ab【分析】本題考查了同類項的知識．熟練掌握同類項的定義“所含字母相同，相同字母的指數(shù)相同”，是解題的關(guān)鍵．根據(jù)同類項定義中的兩個“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指數(shù)相同，書寫即可，注意同類項與字母的順序無關(guān)．【詳解】解：如8ab故答案為：8ab【變式6-3】已知?5a2mb和8A．?xmy2與12C．x3y4與?4xm+1【答案】B【分析】本題主要考查了同類項的定義．所含字母相同并且相同字母的指數(shù)相同的項叫做同類項．掌握同類項的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)相同字母的指數(shù)相同列方程求出m和n的值，然后再根據(jù)同類項的定義逐項判定即可．【詳解】解：∵?5a2mb∴2m=63?n=1，即m=3∴A．由?xmy2=?x3yB．由2xm?1y2=2x2yC．由x3y4，?4xm+1yD．?x2my4=?x6y故選B．【題型7去（添）括號】【例7】（24-25七年級上·河北衡水·階段練習(xí)）下列去括號正確的是（

）A．a(chǎn)+b+c=ab+c C．a(chǎn)+2b?c=a+2b?c 【答案】D【分析】本題考查了去括號法則的應(yīng)用，能熟記去括號法則是解此題的關(guān)鍵．根據(jù)去括號法則逐個進(jìn)行判斷即可．【詳解】A、a+b+c=a+b+c，但選項寫為B、a2??C、a+2b?c=a+2b?2c，但選項寫為D、a?b+c?d故選：D．【變式7-1】已知x=113，y=?12，【答案】0【分析】根據(jù)去括號法則化簡，再代入數(shù)字計算即可得到答案．【詳解】解：原式=x+y?z，當(dāng)x=113，y=?1原式=x+y?z=4故答案為0．【點睛】本題考查整式化簡求值，解題關(guān)鍵是去括號時注意符號的選取．【變式7-2】已知x?(?A．y?z B．z?y C．y+z D．?y?z【答案】C【分析】本題考查添括號法則，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握添括號法則：添的括號前是正數(shù)時，被括到括號里的各項的符號都不變，添的括號前是負(fù)數(shù)時，被括到括號里的各項的符號都改變．根據(jù)添括號法則解答即可，注意符號變化．【詳解】解：根據(jù)題意將x?y?z添括號，x?y?z=x?y+z故選：C．【變式7-3】已知x2+2xy=4，y2+xy=5【答案】3【分析】把2x2+3xy?【詳解】解：∵x2+2xy=4，∴2=2x=2×4?5=3．故答案為：3．【點睛】本題考查的是求解代數(shù)式的值，掌握“整體代入法求解代數(shù)式的值”是解本題的關(guān)鍵．【題型8整式加減運算與化簡求值】【例8】（24-25七年級上·上海·期中）我們約定：上方相鄰兩數(shù)之和等于這兩數(shù)下方箭頭共同指向的數(shù)，例如：在圖1中，即5+6=11，若a,b滿足|a?3|+(b+1)2=0，則圖2中y【答案】27【分析】本題考查了整式的加減與化簡求值；先用含有a，b的代數(shù)式表示m和n，再表示出y即可．根據(jù)絕對值和完全平方的非負(fù)性求出a和b的值即可解決問題．【詳解】由題知，m=abn=a所以y=m+n=a因為|a?3|+(b+1)所以a?3=0，b+1=0，則a=3，b=?1，所以y=?3故答案為：27．【變式8-1】（24-25七年級上·陜西寶雞·階段練習(xí)）計算．(1)2x(2)?x【答案】(1)2(2)5【分析】本題主要考查了整式的加減，正確合并同類項是解題關(guān)鍵．（1）直接去括號進(jìn)而合并同類項得出答案；（2）直接去括號進(jìn)而合并同類項得出答案．【詳解】（1）解：2=2=2x（2）解：?=?=5【變式8-2】（24-25七年級上·貴州遵義·期中）設(shè)M=x2+4mx?3，N=2x2+4mx?2，那么A．M>N B．M=N C．M<N D．無法確定【答案】C【分析】本題考查了整式的加減，不等式的性質(zhì)，熟練掌握整式的加減運算是解題的關(guān)鍵．通過計算M?N，化簡后根據(jù)結(jié)果的符號判斷大小關(guān)系．【詳解】解：M?N===?∵x2∴?x∴M?N<0，即M<N，選擇C．【變式8-3】（24-25九年級上·江蘇南通·期中）已知3x2?4xy+7y2?2m=?17，A．?41 B．?412 C．?7【答案】A【分析】本題主要考查了整式的化簡求值，先把第二個等式兩邊乘以2，再用第一個等式減去第二個等式兩邊乘以2后的結(jié)果即可得到答案．【詳解】解；∵x2∴2x2+5xy+6∴3x∴3x∴x2故選：A．【拔尖篇】【題型9程序框圖中求代數(shù)式的值】【例9】（24-25七年級上·福建福州·期中）遠(yuǎn)古時期，人們通過繩子打結(jié)的方式來記錄數(shù)量，如圖1為一隊互相合作打獵的獵人在從右往左依次排列的繩子上打結(jié)，滿五進(jìn)一，記錄了他們一天之內(nèi)所打的獵物數(shù)量．若把這個量的十進(jìn)制數(shù)輸入如圖2的程序計算，則最后輸出的結(jié)果是．【答案】21【分析】本題考查有理數(shù)的乘方運算以及代數(shù)式求值，先根據(jù)圖1，得出x=2×5【詳解】解：依題意，x=2×∴51?10=41>3041?10=31>3031?10=21<30輸出21故答案為：21．【變式9-1】（24-25六年級下·山東泰安·期末）如圖，關(guān)于變量x，y的程序計算，若開始輸入的x值為2，則最后輸出因變量y的值為A．3 B．8 C．63 D．64【答案】C【分析】本題考查按照程序流程圖與代數(shù)式求值．根據(jù)程序流程圖，按照要求，當(dāng)開始輸入的x值為2時，代入y=x+1x?1=【詳解】解：由題意可得，當(dāng)x=2時，y=x+1當(dāng)x=3時，y=x+1當(dāng)x=8時，y=x+1∴輸出y=63，故選：C．【變式9-2】（24-25七年級上·四川達(dá)州·期末）有一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如圖所示，若開始輸入x的值是5，可發(fā)現(xiàn)第1次輸出的結(jié)果是16，第2次輸出的結(jié)果是8，第3次輸出的結(jié)果是4．依次繼續(xù)下去，第2025次輸出的結(jié)果是（

）A．8 B．4 C．2 D．5【答案】B【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算，根據(jù)題目所給運算程序，先計算出前幾次輸出結(jié)果，得出一般規(guī)律：從第3次開始，輸出結(jié)果每3次按照4，2，1的順序循環(huán)，即可解答．【詳解】解：根據(jù)題意可得：第1次輸出的結(jié)果是16，第2次輸出的結(jié)果是8，第3次輸出的結(jié)果是4，第4次輸出的結(jié)果是12第5次輸出的結(jié)果是12第6次輸出的結(jié)果是3×1+1=4，第7次輸出的結(jié)果是2，第8次輸出的結(jié)果是1，第9次輸出的結(jié)果是4，……，從第3次開始，輸出結(jié)果每3次按照4，2，1的順序循環(huán)，2025?2÷3=674…1∴第2025次輸出的結(jié)果是第675次循環(huán)中的第1個數(shù)，∴第2025次輸出的結(jié)果為4，故選：B．【變式9-3】（2025·四川達(dá)州·二模）如圖是一個運算程序示意圖，若開始輸入x的值為5，則輸出y值為．【答案】13【分析】本題考查了代數(shù)式求值，讀懂運算程序圖是解題關(guān)鍵．根據(jù)5>4和運算程序圖，將x=5代入y=2x+3計算即可得．【詳解】解：∵5>4，∴若開始輸入x的值為5，則輸出y值為2×5+3=13，故答案為：13．【題型10幾何圖形中求代數(shù)式的值】【例10】（24-25七年級上·貴州遵義·期中）下列四個整式中，不能表示圖中陰影部分面積的是（

）A．a(chǎn)b?(a?2)(b?3) B．2b+3(a?2)C．2(b?3)+3(a?2)+6 D．3a+2(b?2)【答案】D【分析】本題考查了正方形和長方形面積、代數(shù)式的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握代數(shù)式的性質(zhì)，從而完成求解．結(jié)合題意，根據(jù)正方形和長方形面積、代數(shù)式的性質(zhì)計算，即可得到答案．【詳解】解：如圖，陰影部分的面積可以看作是長a，寬為b的長方形的面積減去長a?2，寬為b?3的長方形的面積，即ab?a?2陰影部分的面積可以看作是長2，寬為b?3的長方形的面積加上長3，寬為2的長方形的面積加上長a?2，寬為3的長方形的面積，即2(b?3)+3(a?2)+6，故C選項正確，不符合題意；陰影部分的面積可以看作是長b，寬為2的長方形的面積加上長a?2，寬為3的長方形的面積，即2b+3(a?2)，故B選項正確，不符合題意；陰影部分的面積可以看作是長2，寬為b?3的長方形的面積加上長a，寬為3的長方形的面積，即3a+2(b?3)，故D選項錯誤，符合題意；故選：D【變式10-1】（24-25七年級上·河北邯鄲·期末）如圖所示是一個長方形．（1）根據(jù)圖中尺寸大小，用含x的代數(shù)式表示陰影部分的面積S=；（2）若x=4，求S的值．【答案】18+3x30【分析】本題考查了代數(shù)式表示，求代數(shù)式的值．（1）根據(jù)圖形的面積分割法，列出代數(shù)式表示陰影的面積即可．（2）根據(jù)字母的值，求代數(shù)式的值即可．【詳解】（1）解：S=1故答案為：18+3x；（2）解：當(dāng)x=4時，S=18+3×4=30，故答案為：30．【變式10-2】（24-25七年級上·全國·期末）如圖，7個完全相同的小長方形剛好拼成一個大長方形，若小長方形的寬為a，則大長方形的周長是．【答案】38【分析】本題考查列代數(shù)式，整式的加減運算的應(yīng)用，根據(jù)小長方形的寬為a，則小長方形的長為43a，結(jié)合大長方形的拼組方式，可用含a的代數(shù)式表示出大長方形的長與寬，即可得出結(jié)論．根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，用含【詳解】解：∵小長方形的寬為a，則小長方形的長為43∴大長方形的長為4a，大長方形的寬為：43∴24a+∴大長方形的周長是383故答案為：383【變式10-3】（24-25七年級下·河南鄭州·期中）如圖是L形鋼材的截面，5個同學(xué)分別列出它的截面面積的算式，你認(rèn)為正確的有（

）①ac?b?cc；②a?cc+bc；③a?cc+A．①②③ B．②③⑤ C．③④⑤ D．①②③④⑤【答案】B【分析】本題主要考查了列代數(shù)式，分解析圖中五種情況，分別列式求出L的面積即可得到答案．【詳解】解：①如圖，L的面積=左邊豎著的長方形的面積+下面橫著的長方形的面積=ac+b?cc，故②如圖，L的面積=上邊豎著的長方形的面積+下面橫著的長方形的面積=a?cc+bc，故③如圖，L的面積=兩個長方形的面積+小正方形面積=a?cc+b?c④如圖，L的面積=豎著的長方形的面積+橫著的長方形的面積?重疊部分的正方形的面積=ac+bc?c2，故⑤如圖，L的面積=長方形的面積?由輔助線構(gòu)成的小長方形的面積=ab?a?cb?c，故綜上可得：②③⑤正確，故選：B．【題型11數(shù)式規(guī)律探究】【例11】（24-25七年級上·貴州·期末）下列圖案是某大院窗格的一部分，其中“○”代表窗紙上所貼的剪紙，則第n個圖中所貼剪紙“○”的個數(shù)為（

）．A．2n+1 B．2n+2 C．3n+1 D．3n+2【答案】D【分析】本題主要考查了圖形類規(guī)律題，明確題意，準(zhǔn)確得到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．觀察圖形可知第一個圖案為3+2=5個窗花；第二個圖案為2×3+2=8個窗花；第三個圖案為3×3+2=11個窗花；……由此得到：第n個圖案所貼窗花數(shù)，即可求解．【詳解】解：第一個圖案為3+2=5個窗花；第二個圖案為2×3+2=8個窗花；第三個圖案為3×3+2=11個窗花；……由此得到：第n個圖案所貼窗花數(shù)為3n+2個．故選：D．【變式11-1】（24-25七年級下·湖南岳陽·開學(xué)考試）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝發(fā)現(xiàn)了如圖所示的三角形數(shù)表，我們稱之為“楊輝三角”．圖中兩線之間的一列數(shù)：1，3，6，10，15，…，我們把第一個數(shù)記為a1，第二個數(shù)記為a2，第三個數(shù)記為a3，…，第n個數(shù)記為an，則A．17 B．27 C．39 D．45【答案】C【分析】本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類，求代數(shù)式的值．解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)字的變化尋找規(guī)律．根據(jù)題意得出第n個數(shù)記為an【詳解】解：第一個數(shù)記為a1第二個數(shù)記為a2第三個數(shù)記為a3…，第n個數(shù)記為an故a9=12×9×10=45a9故選：C．【變式11-2】（24-25七年級上·河南鄭州·期末）莫高窟坐落于河西走廊西部的盡頭——敦煌，是我國古代文明的璀璨藝術(shù)寶庫，莫高窟保存壁畫4.5萬多平方米，具有獨特的形式美感和藝術(shù)魅力．如圖，為莫高窟壁畫紋樣，小明發(fā)現(xiàn)，壁畫紋樣中還蘊藏著數(shù)學(xué)知識，其中第①個圖案中有5個花朵圖案，第2個圖案中有8個花朵圖案，第③個圖案中有11個花朵圖案，……，按此規(guī)律排列下去，則第100個圖案中花朵圖案的個數(shù)為（

）A．302 B．301 C．303 D．300【答案】A【分析】本題考查了圖形的變化規(guī)律，根據(jù)圖形的變化得出第n個圖形中有3n+2個花朵圖案是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圖形變化的規(guī)律得出第n個圖形中有3n+2個花朵圖案即可解答．【詳解】由題知，第①個圖案中有2×2+1=5個花朵圖案，第②個圖案中有2×3+2=8個花朵圖案，第③個圖案中有2×4+3=11個花朵圖案，…，第n個圖案中有2n+1當(dāng)n=100時，3n+2=3×100+2=302，故第100個圖案中花朵圖案的個數(shù)為302．故選：A．【變式11-3】（24-25八年級下·重慶巴南·期末）苯是一種有機化合物，可以合成一系列衍生物．如圖是用小木棒擺放的苯及其衍生物的結(jié)構(gòu)式，第①個圖形需要9根小木棒，第②個圖形需要16根，第③個圖形需要23根，……，按此規(guī)律，第⑩個圖形需要小木棒的根數(shù)是（

）A．85 B．81 C．76 D．72【答案】D【分析】本題考查了圖形規(guī)律，理解數(shù)量關(guān)系，找出規(guī)律是關(guān)鍵．根據(jù)題意得到第n個圖形需要9+7n?1【詳解】解：第①個圖形需要9根小木棒，第②個圖形需要16根，即16=9+7，第③個圖形需要23根，即23=9+2×7，∴第n個圖形需要9+7n?1第⑩個圖形需要7×10+2=72（根），故選：D．【題型12整式加減中的無關(guān)項問題】【例12】（24-25七年級上·江蘇南通·期中）關(guān)于x，y的多項式x2+ax?y+b與多項式bx2?3x+6y?3的差的值與字母x【答案】?10【分析】此題考查了整式的加減-化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．根據(jù)題意列出關(guān)系式，由結(jié)果與x的值無關(guān)，確定出a與b的值，原式去括號合并后代入計算即可求出值．【詳解】解：x∵多項式x2+ax?y+b與多項式bx∴1?b=0，a+3=0，∴b=1,a=?3，∵3=3=?當(dāng)b=1,a=?3時原式=?9+21?1?21=?10，故答案為：?10．【變式12-1】（24-25七年級上·吉林·期中）若關(guān)于x、y的多項式8x2?3xy?y【答案】?12【分析】本題考查了整式的加減中無關(guān)型問題，根據(jù)化簡后不含xy的項，即xy的系數(shù)為0，進(jìn)而可求解．【詳解】解：8=8=6x∵化簡后不含xy的項，∴24+2m=0，解得：m=?12，故答案為：?12．【變式12-2】（24-25七年級上·山東日照·期末）已知含字母m，n的代數(shù)式是：3m(1)化簡這個代數(shù)式．(2)小明取m，n互為倒數(shù)的一對數(shù)值代入化簡的代數(shù)式中，恰好計算得代數(shù)式的值等于0．那么小明所取的字母n的值等于多少？(3)聰明的小智從化簡的代數(shù)式中發(fā)現(xiàn)，只要字母n取一個固定的數(shù)，無論字母m取何數(shù)，代數(shù)式的值恒為一個不變的數(shù)，那么小智所取的字母n的值是多少呢？【答案】(1)2mn+4m?14(2)n=(3)n=?2【分析】本題考查整式加減中的無關(guān)型問題，正確的計算是關(guān)鍵：（1）去括號，合并同類項，化簡即可；（2）根據(jù)互為倒數(shù)的兩數(shù)之積為1，得到mn=1，代入化簡后的代數(shù)式，求出m的值，進(jìn)而求出n的值即可；（3）根據(jù)題意，得到代數(shù)式的值與字母m無關(guān)，得到m的系數(shù)為0，進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：原式==3=2mn+4m?14；（2）解：由題意，得：mn=1，代入2mn+4m?14，得：2×1+4m?14=0，解得：m=3，∴n=1（3）解：∵2mn+4m?14=2n+4∴當(dāng)2n+4=0，即：n=?2時，2mn+4m?14=2n+4故n=?2．【變式12-3】（24-25七年級上·廣東韶關(guān)·階段練習(xí)）閱讀與思考:閱讀下列材料，完成后面任務(wù)．一天，我在某雜志上看到這樣一道題：小紅和小英在完成題目“化簡T(x?1)+3(x?4)+5”時，發(fā)現(xiàn)系數(shù)“T”被墨跡污染了，下面是她倆的對話：小紅：小英，我想，被墨跡污染的系數(shù)T是?4小英：你猜錯啦!我查了一下，這道題的答案是一個常數(shù)呀！任務(wù)：(1)根據(jù)材料中小紅的話，化簡式子T(x?1)+3(x?4)+5．(2)根據(jù)材料中小英的話，求這道問題中的系數(shù)“T”及該式子的結(jié)果．【答案】(1)?x?3(2)系數(shù)“T”為?3；該式子的結(jié)果為?4【分析】本題主要考查整式的加減，熟練掌握合并同類項是解題的關(guān)鍵；（1）先去括號，再合并同類項，進(jìn)而得出答案；（2）先去括號，再合并同類項，再利用結(jié)果是常數(shù)，得出答案．【詳解】（1）∵系數(shù)是?4，∴?4=?4x+4+3x?12+5=?x?3．（2）原式=T=T=T+3∵計算結(jié)果是常數(shù)，∴T+3=0，∴T=?3.∴?3x?1【題型13整式加減中的多結(jié)論問題】【例13】（24-25七年級上·浙江寧波·期末）如圖，在一個大長方形中放入了標(biāo)號為①，②，③，④，⑤五個四邊形，其中①，②為兩個長方形，③，④，⑤為三個正方形，相鄰圖形之間互不重疊也無縫隙．若想求得長方形②的周長，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)提出了自己的想法：甲說：只需要知道①與③的周長和；乙說：只需要知道①與⑤的周長和；丙說：只需要知道③與④的周長和；丁說：只需要知道⑤與①的周長差；下列說法正確的是（

）A．只有甲正確 B．甲和乙均正確 C．乙和丙均正確 D．只有丁正確【答案】A【分析】本題主要考查了整式加減的應(yīng)用，正方形和矩形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是通過設(shè)③的邊長為a，④的邊長為b，②的寬為x，求出各個圖形的周長．設(shè)③的邊長為a，④的邊長為b，②的寬為x，根據(jù)圖形求出⑤的邊長為a+b，②的長為：a+a+b=2a+b，①的長為x+a，寬為b?a，然后先求出②的周長，再分別算出①③④⑤的周長，最后通過計算①與③的周長和、①與⑤的周長和、③與④的周長和、⑤與①的周長差，與②的周長比較，再進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：設(shè)③的邊長為a，④的邊長為b，②的寬為x，∴⑤的邊長為a+b，②的長為：a+a+b=2a+b，①的長為x+a，寬為b?a，∴②的周長為：22a+b+x∵①的周長=2x+a+b?a=2x+2b，③的周長為∴①與③的周長和為：4a+2b+2x，∴甲的說法正確；∵①的周長=2x+a+b?a=2x+2b，⑤的周長為∴①與⑤的周長和為：4a+4b+2x+2b=4a+6b+2x，∴乙的說法錯誤；∵③的周長=4a，④的周長=4b，∴③與④的周長和為：4a+4b，∴丙的說法錯誤；∵⑤的周長為4a+b=4a+4b，①的周長∴⑤與①的周長差為：4a+4b?2x?2b=4a+2b?2x，∴丁的說法錯誤；綜上可知：說法正確的只有甲，故選：A．【變式13-1】（24-25六年級上·山東煙臺·期末）關(guān)于x，y的單項式，若x的指數(shù)與y的指數(shù)是相等的正整數(shù)，則稱該單項式是“等次單項式”．給出下面四個結(jié)論：①?5xA．①②③ B．①④ C．①②④ D．①③④【答案】B【分析】本題考查同類項，合并同類項，單項式的次數(shù)，根據(jù)新定義，結(jié)合同類項以及合并同類項的法則，逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：?5x3y3中“等次單項式”的次數(shù)必為偶數(shù)，不可能是奇數(shù)；故②錯誤；兩個次數(shù)相等的“等次單項式”的和不一定是“等次單項式”，可能為0，故③錯誤；若五個“等次單項式”的次數(shù)均不高于8，則x，y的最大為4，則它們中必有同類項．故④正確；故選B．【變式13-2】有依次排列的兩個整式：x,x+3，對任意相鄰的兩個整式，都用右邊的整式減左邊的整式，將所得之差寫在這兩個整式之間，可以得到一個新的整式串：x,3,x+3，這稱為第一次操作；將第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串；以此類推．通過下列實際操作，①第二次操作后的整式串為：x,3?x,3,x,x+3；②第二次操作后，當(dāng)x＜?3或③第四次操作后的整式串共有19個整式；④第2022次操作后，所有整式之和為2x+6069；上述結(jié)論中，正確的是（）A．①② B．①③ C．①④ D．②④【答案】C【分析】根據(jù)運算新定義構(gòu)造整式組，按照要求計算、尋找規(guī)律判斷即可．【詳解】∵第一次操作后的整式串為：x,3,x+3，∴第二次操作后的整式串為x,3?x,3,x+3?3,x+3，即x,3?x,3,x,x+3，故①的結(jié)論正確，符合題意；第二次操作后整式的積為x×(3?x)×3×x×(x+3)=3x∵x＜?3或∴x2即9?x∴3x即第二次操作后，當(dāng)x＜?3或故②的說法錯誤，不符合題意；第三次操作后整式串為x,3?2x,3?x,x,3,x?3,x,3,x+3，第四次操作后整式串為x,3?3x,3?2x,x,3?x,2x?3,x,3?x,3,x?6,x?3,3,x,3?x,3,x,x+3，共17個，故③的說法錯誤，不符合題意；第一次操作后所有整式的和為x+3+x+3=2x+6=2x+3×(1+1)，第二次操作后所有整式的和為x+3?x+3+x+x+3=2x+9=2x+3×(2+1)，第三次操作后所有整式的和為：x+3?2x+3?x+x+3+x?3+x+3+x+3=2x+12=2x+3×(3+1)，...，第n次操作后所有整式的和為2x+3×(n+1)，∴第2022次操作后，所有的整式的和為2x+3×(2022+1)=2x+6069，故④的說法正確，符合題意；正確的說法有①④，故選：C．【點睛】本題考查了整式加減中規(guī)律猜想，整式的加減，熟練掌握規(guī)律尋找的基本方向，正確進(jìn)行整式的加減是解題的關(guān)鍵．【變式13-3】（24-25七年級下·山東青島·期末）有依次排列的2個整式：x+y，x?y．將第1個整式乘以2再與第2個整式相加，得到第3個整式3x+y，稱為第一次操作；將第2個整式乘以2再與第3個整式相加，得到第4個整式5x?y，稱為第二次操作；將第3個整式乘以2再與第4個整式相加，得到第5個整式11x+y，稱為第三次操作，……，以此類推，下列說法：①第六次操作得到的整式為85x?y；②第20個整式中含x項的系數(shù)的2倍與第21個整式中含x項的系數(shù)之差為1；③第2025個整式和第2026個整式中含x項的系數(shù)之和等于22025其中正確的有．【答案】①③【分析】本題主要考查了整式的加減計算，與多項式有關(guān)的規(guī)律探索，根據(jù)題意分別求出前8個整式的結(jié)果，可得規(guī)律當(dāng)n為奇數(shù)時，第n個整式中含x項的系數(shù)的2倍比第n+1個整式中含x項的系數(shù)大1，當(dāng)n為偶數(shù)時，第n個整式中含x項的系數(shù)的2倍比第n+1個整式中含x項的系數(shù)小1，且第n個整式中含x項的系數(shù)與第n+1個整式中含x項的系數(shù)之和為2n【詳解】解：第1個整式為x+y，第2個整式為x?y，第3個整式為3x+y，第4個整式為5x?y，第5個整式為23x+y第6個整式為25x?y第7個整式為211x+y第8個整式為221x?y……，以此類推可知，當(dāng)n為奇數(shù)時，第n個整式中含x項的系數(shù)的2倍比第n+1個整式中含x項的系數(shù)大1，當(dāng)n為偶數(shù)時，第n個整式中含x項的系數(shù)的2倍比第n+1個整式中含x項的系數(shù)小1，且第n個整式中含x項的系數(shù)與第n+1個整數(shù)中含x項的系數(shù)之和為2n∴第20個整式中含x項的系數(shù)的2倍與第21個整式中含x項的系數(shù)之差為?1，第2025個整式和第2026個整式中含x項的系數(shù)之和等于22025故答案為：①③．【題型14整式加減的實際應(yīng)用】【例14】（24-25七年級上·江蘇南通·階段練習(xí)）我市某小區(qū)居民使用自來水2024年標(biāo)準(zhǔn)繳費如下（水費按月繳納）：用戶月用水量單價不超過12立方米的部分a元/立方米超過12立方米但不超過20立方米的部分1.5a元/立方米超過20立方米的部分2a元/立方米(1)某戶4月份用了15立方米的水，求該戶4月份應(yīng)繳納的水費；（用含a的式子表示）(2)設(shè)某戶月用水量為n立方米，當(dāng)a=2.5時，若該用戶繳納水費110元，則該用戶這個月的用水量是多少立方米（列方程求解）？(3)當(dāng)a=2時，甲、乙兩戶一個月共用水32立方米，已知甲戶繳納的水費超過了24元，設(shè)甲戶這個月用水x立方米，試求甲，乙兩戶一個月共繳納的水費（可用含x的式子表示）【答案】(1)16.5a元；(2)30立方米(3)當(dāng)12<x≤20時，甲乙共繳納72元；當(dāng)20<x≤32時，甲乙共繳納2x+32元【分析】本題考查了整式加減的應(yīng)用，一元一次方程的生活實際應(yīng)用，正確理解分段的界點是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)繳費標(biāo)準(zhǔn)解答即可求解；（2）設(shè)該用戶這個月的用水量是m立方米，根據(jù)題意可得m>20，然后列出方程，即可求解；（3）分兩種情況：當(dāng)12<x≤20時，當(dāng)20<x≤32時，根據(jù)題意，列出代數(shù)式，即可求解．【詳解】（1）解：12a+15?12即該戶4月份應(yīng)繳納的水費為16.5a元；（2）解：設(shè)該用戶這個月的用水量是m立方米，∵2.5×12=30<110，且30+20?12∴m>20，根據(jù)題意得：60+2×2.5m?20解得：m=30，答：該用戶這個月的用水量是30立方米；（3）解：當(dāng)a=2時，且12×2=24元，根據(jù)題意，得甲戶繳納的水費超過了24元，設(shè)甲戶這個月用水x立方米，則x>12，當(dāng)12<x≤20時，甲戶用水量超過12m3但不超過20m3，乙戶用水量不少于所以甲、乙兩用戶一個月共繳納的水費為：12×2+==72元；當(dāng)20<x≤32時，甲的用水量超過20m3，乙的用水量不超過所以甲、乙兩用戶一個月共繳納的水費為：12×2+==2x+32綜上所述，當(dāng)12<x≤20時，甲乙共繳納72元；當(dāng)20<x≤32時，甲乙共繳納2x+32元．【變式14-1】（25-26七年級上·全國·隨堂練習(xí)）某地居民的生活用水收費標(biāo)準(zhǔn)為：每月用水量不超過15m3，每立方米a元；超過部分每立方米(a+2)元．若該地區(qū)某家庭上月用水量為【答案】應(yīng)繳水費20a+10元【分析】本題考查整式加減的實際應(yīng)用，根據(jù)收費標(biāo)準(zhǔn)，列出代數(shù)式，進(jìn)行計算即可．【詳解】解：15a+20?15答：應(yīng)繳水費20a+10元．【變式14-2】（24-25七年級上·廣東韶關(guān)·階段練習(xí)）項目式學(xué)習(xí)．【主題】剪紙．【素材】一張邊長為a的正方形紙片、剪刀等．【操作】從一個邊長為a的正方形紙片（如圖1）上剪去兩個相同的小長方形，得到一個美術(shù)字“5”的圖案（如圖2），再將剪下的兩個小長方形拼成一個新長方形（如圖3）．【探究】(1)求新長方形的周長（用含有a，b的代數(shù)式表示）；(2)求美術(shù)字“5”的圖案的周長（用含有a，b的代數(shù)式表示）；(3)若a=8，剪去的小長方形的寬為1，求新長方形的周長和美術(shù)字“5”的圖案的周長．【答案】(1)4a?8b(2)8a?4b(3)新長方形的周長為16，美術(shù)字“5”的圖案的周長56【分析】本題考查了整式運算的應(yīng)用，熟練掌握列代數(shù)式和代數(shù)式的求值是解題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．（1）根據(jù)圖1和圖2得出：新長方形的長為a?b，寬為a?3b，然后再進(jìn)行計算．（2）根據(jù)圖形，列式計算即可；（3）根據(jù)小長方形的寬為1，可知新長方形的寬為2，所以a?3b=2，再把a=8代入求出b，然后代入（1）（2）所求的周長代數(shù)式，計算即可．【詳解】（1）解：∵新長方形的長為a?b，寬為a?3b，∴新長方形的周長=2a?b（2）解：美術(shù)字“5”的圖案的周長為：4a+4a?b（3）解：∵小長方形的寬為1，可知新長方形的寬為2，∴a?3b=2，∵a=8，則8?3b=2，∴b=2，由（1）可得：新長方形的周長=4a?8b=4×8?8×2=16，由（2）可得：美術(shù)字“5”的圖案的周長=8a?4b=8×8?4×2=56．【變式14-3】（24-25七年級上·福建莆田·期末）在小學(xué)，我們知道像12，27，36，45，108，…這樣的自然數(shù)能被3整除．一般地，如果一個自然數(shù)所有數(shù)位上的數(shù)字之和能被3整除，那么這個自然數(shù)就能被3整除．事實上，我們可以證明這個結(jié)論的正確性．以兩位數(shù)為例，若一個兩位數(shù)的十位、個位上的數(shù)字分別為a,b，則通常記這個兩位數(shù)為ab，于是ab=10a+b=9a+a+b，顯然，9a能被3整除，因此，若a+b能被3整除，那么9a+根據(jù)上述材料，解答下列問題：(1)下列各數(shù)中，能被3整除的有___________（填序號）①25；②225；③1025．(2)用含a、b、c的代數(shù)式表示三位數(shù)abc=___________（其中a是百位數(shù)，b是十位數(shù)，c(3)類比上述的過程，嘗試說明：如果一個三位數(shù)abc的所有數(shù)位之和能被9整除，那么這個三位數(shù)就能被9整除．【答案】(1)②(2)100a+10b+c(3)見解析【分析】本題考查列代數(shù)式以及數(shù)的整除，整式加減的應(yīng)用．熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵；（1）計算各數(shù)位上的數(shù)字之和，若能被3整除，則該數(shù)就能被3整除，據(jù)此逐個判斷即可；（2）根據(jù)已知條件可得abc=100a+10b+c（3）abc=100a+10b+c=9【詳解】（1）∵2+5=7，7不能被3整除，∴25不能被3整除；∵2+2+5=9，9能被3整除，∴225能被3整除；∵1+0+2+5=8，8不能被3整除，∴1025不能被3整除；故能被3整除的有225．（2）abc=100a+10b+c（3）abc=100a+10b+c=9∵911a+b若a+b+c能被3整除，則911a+b+a+b+c∴如果一個三位數(shù)abc的所有數(shù)位之和能被9整除，那么這個三位數(shù)就能被9整除．【題型15與絕對值有關(guān)的化簡】【例15】（24-25七年級下·重慶·開學(xué)考試）x是有理數(shù)，|x?5|+|x?7|+|x+6|+|x?9|的最小值是．【答案】17【分析】本題考查了絕對值的幾何意義，整式的加減運算，借助數(shù)軸用幾何方法化簡含有絕對值的式子，熟練掌握絕對值的幾何意義是解題的關(guān)鍵．．利用絕對值的幾何意義，即求一個數(shù)到點?6，5，7，9的距離的最小值．【詳解】解：設(shè)此數(shù)為x，依題意，|x?5|+|x?7|+|x+6|+|x?9|表示數(shù)x的點到表示數(shù)?6，5，7，9的點的距離總和最小，∴由數(shù)軸可得，當(dāng)5≤x≤7，取得最小值，∴|x?5|+|x?7|+|x+6|+|x?9|=x?5+7?x+x+6+9?x=17，故答案為：17．【變式15-1】（24-25七年級上·全國·期末）已知a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，所對應(yīng)的點分別為A，B，C．化簡：|a+b|?2|c?b|?|c?a|=．【答案】3c?b/b?3c【分析】本題考查的是整式的加減，熟知整式的加減實質(zhì)上是合并同類項是解答此題的關(guān)鍵．先根據(jù)各點在數(shù)軸上的位置判斷出各點的符號及絕對值的大小，再去絕對值符號，合并同類項即可．【詳解】解：∵由圖可知，c<b<0<a，且|a|>|b|，∴a+b>0，c?b<0，c?a<0，∴a+b=a+b+2(c?b)+c?a=a+b+2c?2b+c?a=3c?b，故答案為：3c?b．【變式15-2】（24-25七年級上·北京·期中）1．已知，有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，（1）化簡：3a+b?c?2a（2）若a,c兩數(shù)的倒數(shù)是他們自身，當(dāng)x的范圍是時，x?a+x?c有最小值，最小值為（3）在（2）的條件下，若未知數(shù)x、y滿足x?a+x?3y?2+y?c【答案】a+3b+2c?1≤x≤127【分析】本題考查化簡絕對值，兩點間的距離，整式的加減運算，根據(jù)數(shù)軸判斷數(shù)的大小，式子的符號，掌握絕對值的意義，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：（1）由圖可知：c<0<a<b，c<b∴3a+b>0,c?2a<0,c+2b>0，∴原式=3a+b?2a+c+c+2b=a+3b+2c；故答案為：a+3b+2c；（2）∵a,c兩數(shù)的倒數(shù)是他們自身，∴a=1,c=?1，∵x?a+x?c=x?1+x??1∴當(dāng)?1≤x≤1時，x?a+x?c有最小值為：故答案為：?1≤x≤1；2；（3）由（2）知：當(dāng)1≤x≤3時，x?a+x?3有最小值為當(dāng)?1≤y≤2時，y?2+y?c有最小值為∵x?a+∴x?a+x?3=2∴x的最大值為3，y的最大值為2，∴x+2y的最大值為：3+2×2=7；故答案為：7．【變式15-3】（24-25七年級上·安徽滁州·期中）有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對應(yīng)的點的位置如圖所示，下列結(jié)論：①abc>0；②a?b+c<0；③aa+bb+A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【分析】本題考查了利用數(shù)軸進(jìn)行的相關(guān)計算，數(shù)形結(jié)合并明確絕對值等的化簡法則，是解題的關(guān)鍵．先由數(shù)軸觀察得出b<c<0<a,∣b∣>∣c∣>∣a∣，據(jù)此逐項計算驗證即可．【詳解】解：∵由數(shù)軸可得：b<c<0<a,∣b∣>∣c∣>|a|，∴abc>0，①正確；a?b+c>0，②錯誤；∣a∣a∣a+b∣?∣b?c∣+a?c∣=?a?b?=?a?b?c+b+a?c=?2c，④正確；綜上，正確的個數(shù)為3個．故選：B．【題型16探索與表達(dá)規(guī)律（數(shù)字變化類）】【例16】在“點燃我的夢想，數(shù)學(xué)皆有可衡”數(shù)學(xué)創(chuàng)新設(shè)計活動中，“智多星”小強設(shè)計了一個數(shù)學(xué)探究活動：對依次排列的兩個整式m，n按如下規(guī)律進(jìn)行操作：第1次操作后得到整式中m，n，n?m；第2次操作后得到整式中m，n，n?m，?m；第3次操作后…其操作規(guī)則為：每次操作增加的項，都是用上一次操作得到的最末項減去其前一項的差，小強將這個活動命名為“回頭差”游戲．則該“回頭差”游戲第2023次操作后得到的整式中各項之和是（

）A．m+n B．m C．n?m D．2n【答案】D【分析】先逐步分析前面5次操作，可得整式串每四次一循環(huán)，再求解第四次操作后所有的整式之和為：m+n+n?m?m?n?n+m=0，結(jié)合2023÷4=505???3，從而可得答案．【詳解】解：第1次操作后得到整式串m，n，n?m；第2次操作后得到整式串m，n，n?m，?m；第3次操作后得到整式串m，n，n?m，?m，?n；第4次操作后得到整式串m，n，n?m，?m，?n，?n+m；第5次操作后得到整式串m，n，n?m，?m，?n，