2一定是直角三角形嗎典型例題題型一判斷線(xiàn)段能否組成直角三角形例1下列四組長(zhǎng)度的線(xiàn)段，能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)的是 ()A.2，2，3 B.3，4，6 C.6，7，8 D.8，15，17解析：A.∵22+22≠32，∴由勾股定理的逆定理，知三角形不是直角三角形，故A不符合題意；B.∵32+42≠62，∴三角形不是直角三角形，故B不符合題意；C.∵62+72≠82，∴三角形不是直角三角形，故C不符合題意；D.∵82+152＝172，∴三角形是直角三角形，故D符合題意.答案：D題型二三角形形狀的判斷例2若三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿(mǎn)足(a-b)2＝c2-2ab，則這個(gè)三角形是()A.等邊三角形 B.鈍角三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形解析：因?yàn)?a-b)2＝a2-2ab+b2，所以a2-2ab+b2＝c2-2ab，即a2+b2＝c2.所以這個(gè)三角形是直角三角形.答案：D例3已知|x-12|+(y-13)2+z2-10z+25＝0，試判斷以x，y，z為三邊長(zhǎng)的三角形的形狀.解：因?yàn)閨x-12|+(y-13)2+z2-10z+25＝0，所以|x-12|+(y-13)2+(z-5)2＝0.因?yàn)閨x-12|≥0，(y-13)2≥0，(z-5)2≥0，所以|x-12|＝0，(y-13)2＝0，(z-5)2＝0，所以x-12＝0，y-13＝0，z-5＝0，所以x＝12，y＝13，z＝5.因?yàn)閤2+z2＝122+52＝169，y2＝132＝169，所以x2+z2＝y(tǒng)2.所以以x，y，z為三邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形.題型三勾股定理及直角三角形的判別條件的綜合運(yùn)用例4如圖1所示，在四邊形ABCD中，已知AB∶BC∶CD∶DA＝2∶2∶3∶1，且∠B＝90°，試求∠DAB的度數(shù).圖1分析：∠B＝90°，因此可構(gòu)造直角三角形，連接AC，根據(jù)題意知AB＝BC，∠B＝90°，所以△ABC是等腰直角三角形，所以∠BAC＝45°，再求得∠DAC的度數(shù)，則∠DAB的度數(shù)易得.圖1解：如圖1所示，連接AC.因?yàn)锳B∶BC∶CD∶DA＝2∶2∶3∶1，設(shè)AB＝2x(x>0)，則BC＝2x，CD＝3x，DA＝x.在Rt△ACB中，由AB＝BC，得∠BAC＝45°，AC2＝AB2+BC2＝(2x)2+(2x)2＝8x2.所以DA2+AC2＝x2+8x2＝9x2.又因?yàn)镃D2＝(3x)2＝9x2，所以CD2＝DA2+AC2.所以∠DAC＝90°.所以∠DAB＝∠DAC+∠BAC＝90°+45°＝135°.題型四應(yīng)用勾股定理的逆定理解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題例5(核心素養(yǎng)題)如圖2所示，四邊形ABCD的三邊(AB，BC，CD)和BD的長(zhǎng)度都為5cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)(沿A→B→D)到點(diǎn)D，速度為2cm/s，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)(沿D→C→B→A)到點(diǎn)A，速度為2.8cm/s.5s后點(diǎn)P，Q相距3cm，試確定5s時(shí)△APQ的形狀.圖2圖3分析：首先確定5s時(shí)P，Q的位置，此時(shí)P與D重合，Q在A(yíng)B邊上，且BQ＝4cm，然后根據(jù)勾股定理的逆定理判定△BPQ為直角三角形，且∠BQP＝90°，再由鄰補(bǔ)角定義得到∠AQP＝90°，從而得出△APQ為直角三角形.解：因?yàn)锳B＝BD＝5cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)(沿A→B→D)到點(diǎn)D，速度為2cm/s，所以5s時(shí)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為2×5＝10(cm).而AB+BD＝10cm，所以此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合.因?yàn)锳B＝BC＝CD＝5cm，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)(沿D→C→B→A)到點(diǎn)A，速度為2.8cm/s，所以5s時(shí)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路程為2.8×5＝14(cm).而DC+CB+BA＝15cm，所以點(diǎn)Q在A(yíng)B邊上，且BQ＝4cm，如圖3所示.在△BPQ中，因?yàn)锽Q＝4cm，PQ＝3cm，BP＝5cm，所以BQ2+PQ2＝BP2，所以△BPQ為直角三角形，∠BQP＝90°，所以∠AQP＝180°-∠BQP＝90°，所以△APQ為直角三角形.題型五有關(guān)勾股數(shù)的創(chuàng)新題例6(湖北宜昌中考)閱讀：能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)a，b，c稱(chēng)為勾股數(shù).世界上第一次給出勾股數(shù)通解公式的是我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》，其勾股數(shù)組公式為其中m>n>0，m，n是互質(zhì)的奇數(shù).應(yīng)用：當(dāng)n＝1時(shí)，求有一邊長(zhǎng)為5的直角三角形的另外兩條邊長(zhǎng).分析：首先將n的值代入a，b，c的表達(dá)式，得到用m表示的a，b，c，然后令a，b，c分別等于5進(jìn)行分類(lèi)討論.解：當(dāng)n＝1時(shí)，a＝(m2-1)，①b＝m，②c＝(m2+1).③因?yàn)橹苯侨切斡幸贿呴L(zhǎng)為5，分情況如下：情況1：當(dāng)a＝5時(shí)，即(m2-1)＝5，解得m＝±(舍去).情況2：當(dāng)b＝5時(shí)，即m＝5，再將它分別代入①③得a＝×(52-1)＝12，c＝×(52+1)＝13.情況3：當(dāng)c＝5時(shí)，即(m2+1)＝5，解得m＝±3.因?yàn)閙>0，所以m＝3.把m＝3分別代入①②得a＝×(32-1)＝4，b＝3.綜上所述，直角三角形的另外兩條邊長(zhǎng)分別為12，13或4，3.題型六求不規(guī)則圖形的面積例7如圖4所示，已知CD＝6m，AD＝8m，∠ADC＝90°，BC＝24m，AB＝26m，求圖中陰影部分的面積.解：在Rt△ADC中，∵CD＝6m，AD＝8m，圖4∴AC2＝AD2+CD2＝82+62＝100，圖4∴AC＝10m.在△ABC中，∵BC＝24m，AB＝26m，AC2+BC2＝102+242＝676，AB2＝262＝676，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ACB為直角三角形，故∠ACB＝90°.∴S陰影＝AC×BC-AD×CD＝×10×24-×8×6＝96(m2).答：圖中陰影部分的面積為96m2.拓展資源費(fèi)馬大定理我們已經(jīng)討論過(guò)，對(duì)于不定方程x2+y2＝z2有無(wú)數(shù)組正整數(shù)解.現(xiàn)在將這個(gè)方程倒過(guò)來(lái)看，就是將已知平方數(shù)分解為兩個(gè)平方數(shù)的和，那么一個(gè)立方數(shù)能不能分解成兩個(gè)立方數(shù)的和呢？一個(gè)四次方數(shù)能不能分解成兩個(gè)四次方數(shù)的和呢？……被稱(chēng)為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”的法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬回答了這個(gè)問(wèn)題.他在一次閱讀丟番圖的《算術(shù)》一書(shū)時(shí)，在丟番圖“分一個(gè)給定的平方數(shù)為兩個(gè)平方數(shù)的和”這個(gè)問(wèn)題時(shí)，在旁邊的空白處寫(xiě)了這樣的話(huà)：“一個(gè)立方數(shù)不可能分解成兩個(gè)立方數(shù)的和，一個(gè)四次方數(shù)不能分解成兩個(gè)四次方數(shù)的和，一般地說(shuō)，大于2的任意次冪的數(shù)都不能分解為兩個(gè)同次冪的數(shù)的和.我找到了這個(gè)命題的一個(gè)真正奇妙的證明，但書(shū)上空白的地方太窄，寫(xiě)不下.”這段話(huà)用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)敘述就是：對(duì)于n>2的整數(shù)，不定方程xn+yn＝zn沒(méi)有正整數(shù)解，這就是著名的費(fèi)馬大定理.費(fèi)馬的絕妙證明始終未能找到，他是否證明和如何證明的已成為千古懸案.其后許多優(yōu)秀數(shù)學(xué)家為了尋找定理的證明作出了巨大的努力，其間他們開(kāi)拓了不少新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，促進(jìn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展，難怪德國(guó)著名數(shù)學(xué)家希爾伯特稱(chēng)費(fèi)馬大定理是個(gè)“生金蛋的母雞”.由于費(fèi)馬大定理遲遲沒(méi)有得到證明，1850年和1853年，法蘭西科學(xué)院兩次懸賞200金法郎，征求對(duì)費(fèi)馬大定理的證明.1907年德國(guó)數(shù)學(xué)家弗爾夫斯克通過(guò)哥廷根科學(xué)院以10萬(wàn)馬克的重獎(jiǎng)，懸賞第一個(gè)證明費(fèi)馬大定理的人.然