課時規(guī)范練57求空間角高考總復習優(yōu)化設計GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2025123456基礎鞏固練1.已知四棱錐S-ABCD的底面ABCD是邊長為2的正方形,SD⊥平面ABCD,線段AB,SC的中點分別為E,F,若異面直線EC與BF所成角的余弦值為,則SD=(

)A.

B.4

C.2

D.3B123456解析

如圖,以D為坐標原點,直線DA,DC,DS分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系.不妨設SD=t(t>0),則D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),S(0,0,t),即SD=4.123456AC123456123456m2=9>3,不符合題意,故B錯誤;設平面SAB的法向量為p=(x1,y1,z1),則

1234561234563.(2023·北京,16)如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB=BC=1,PC=.(1)求證:BC⊥平面PAB;(2)求二面角A-PC-B的大小.123456(1)證明

因為PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,所以PA⊥BC,同理PA⊥AB,所以△PAB為直角三角形.又因為BC⊥PA,PA∩PB=P,PA,PB?平面PAB,所以BC⊥平面PAB.123456(2)解

由(1)得BC⊥平面PAB,又AB?平面PAB,則BC⊥AB,以A為坐標原點,直線AB為x軸,過點A且與BC平行的直線為y軸,直線AP為z軸,建立空間直角坐標系,如圖,則A(0,0,0),P(0,0,1),C(1,1,0),B(1,0,0),123456123456

123456(1)證明

取AC的中點M,連接O2M,PM,如圖.所以四邊形PO1O2M為平行四邊形,則PM∥O1O2,又PM?平面PAC,O1O2?平面PAC,故O1O2∥平面PAC.123456以O2為坐標原點,直線O2B,O2C,O2O1分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.則有1234561234565.(2024·江蘇蘇錫常鎮(zhèn)模擬)在三棱柱ABC-A1B1C1中,平面A1B1BA⊥平面ABC,側(cè)面A1B1BA為菱形,∠ABB1=,A1B⊥AC,AB=AC=2,E是AC的中點.(1)求證:A1B⊥平面AB1C;123456(1)證明

因為四邊形A1B1BA為菱形,所以A1B⊥AB1,又因為A1B⊥AC,AB1,AC?平面AB1C,AB1∩AC=A,所以A1B⊥平面AB1C.所以B1O⊥AB.因為平面A1B1BA⊥平面ABC,平面A1B1BA∩平面ABC=AB,B1O?平面A1B1BA,所以B1O⊥平面ABC,所以B1O⊥AC,123456又因為A1B⊥AC,B1O與A1B相交,所以AC⊥平面A1B1BA,所以AC⊥AB.取BC的中點D,連接OD,則OD∥AC.1234561234566.(2024·浙江溫州模擬)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD為等腰梯形,AD∥BC,BC=2AD=2,∠PBA=∠CBA=60°.(1)求證:平面PAB⊥平面PAC;(2)若點M在線段PB上,且直線AD與平面MAC所成角的正弦值為,求平面MBC與平面MAC夾角的余弦值.123456因為AC2+AB2=BC2,所以AB⊥AC.又PA⊥底面ABCD,AB?平面ABCD,所以AB⊥PA.因為PA∩AC=A,PA,AC?平面PAC,所以AB⊥平面PAC.又AB?平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAC.123456(2)解

因為PA⊥底面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AC,又A