1.4.2充要條件學(xué)習(xí)目標(biāo)1.進(jìn)一步理解充要條件的意義,會(huì)判斷一些簡(jiǎn)單的充要條件命題,提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯思維的核心素養(yǎng).2.能對(duì)簡(jiǎn)單的充要條件進(jìn)行證明,提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).知識(shí)歸納知識(shí)點(diǎn)一充要條件如果“若p,則q”和它的逆命題“若q,則p”均是真命題,即既有p?q,又有q?p,就記作p?q.此時(shí),p既是q的充分條件,也是q的必要條件,我們說(shuō)p是q的充分必要條件,簡(jiǎn)稱(chēng)為充要條件.知識(shí)點(diǎn)二條件關(guān)系判定的常用結(jié)論條件p與結(jié)論q的關(guān)系結(jié)論(p是q的)p?q,且qp充分不必要條件pq,且q?p必要不充分條件p?q,且q?p充要條件pq,且qp既不充分也不必要條件(1)充要條件的判斷步驟:①確定哪個(gè)是條件,哪個(gè)是結(jié)論;②嘗試用條件推結(jié)論;③再?lài)L試用結(jié)論推條件;④最后判斷兩者間的條件關(guān)系.(2)充要條件的等價(jià)說(shuō)法:p是q的充要條件又常說(shuō)成q成立,當(dāng)且僅當(dāng)p成立,或p與q等價(jià).基礎(chǔ)自測(cè)1.“x=1”是“x2-2x+1=0”的()[A]充要條件[B]充分不必要條件[C]必要不充分條件[D]既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若x=1,則x2-2x+1=0;若x2-2x+1=0,即(x-1)2=0,則x=1.故“x=1”是“x2-2x+1=0”的充要條件.故選A.2.“1<x<4”是“x>0”的()[A]充要條件[B]充分不必要條件[C]必要不充分條件[D]既不充分也不必要條件【答案】B【解析】因?yàn)楫?dāng)“1<x<4”時(shí)一定滿(mǎn)足“x>0”,當(dāng)“x>0”時(shí)不一定滿(mǎn)足“1<x<4”,所以“1<x<4”是“x>0”的充分不必要條件.故選B.3.(人教A版必修第一冊(cè)P23習(xí)題1.4T3(2)改編)已知△ABC,△A1B1C1,兩三角形對(duì)應(yīng)角相等是△ABC≌△A1B1C1的()[A]充要條件[B]充分不必要條件[C]必要不充分條件[D]既不充分也不必要條件【答案】C【解析】?jī)扇切螌?duì)應(yīng)角相等△ABC≌△A1B1C1;反之,△ABC≌△A1B1C1?兩三角形對(duì)應(yīng)角相等.所以?xún)扇切螌?duì)應(yīng)角相等是△ABC≌△A1B1C1的必要不充分條件.故選C.4.二次函數(shù)y=x2+mx+1的圖象關(guān)于直線x=-1對(duì)稱(chēng)的充要條件是()[A]m=-2 [B]m=2[C]m=-1 [D]m=1【答案】B【解析】因?yàn)槎魏瘮?shù)y=x2+mx+1的圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-m2,所以二次函數(shù)y=x2+mx+1的圖象關(guān)于直線x=-1對(duì)稱(chēng)的充要條件是x=-m2=-1,即題型一四種條件關(guān)系的判斷與探求[例1](湘教版必修第一冊(cè)P17例3)從“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”和“既不充分也不必要條件”中選擇適當(dāng)?shù)囊环N填空.(1)a≥5是a為正數(shù)的;

(2)四邊形的兩對(duì)角線相等是該四邊形為矩形的;

(3)四邊形的一組對(duì)邊平行且相等是四邊形的兩組對(duì)邊分別平行的;

(4)若x∈R,則x2=2是x=2的.

【答案】(1)充分不必要條件(2)必要不充分條件(3)充要條件(4)既不充分也不必要條件【解析】(1)a≥5?a>0,a>0a≥5.因此應(yīng)填“充分不必要條件”.(2)四邊形是矩形?四邊形的兩對(duì)角線相等,反之不成立,比如等腰梯形.因此應(yīng)填“必要不充分條件”.(3)四邊形的一組對(duì)邊平行且相等?四邊形的兩組對(duì)邊分別平行,它們實(shí)際上都在描述四邊形是平行四邊形.因此應(yīng)填“充要條件”.(4)當(dāng)x∈R時(shí),x2=2x=2,x=2x2=2.因此應(yīng)填“既不充分也不必要條件”.[典例遷移1]下列選項(xiàng)中,p是q的充要條件的有()[A]p:0<x<1,q:0<x<3[B]p:-1<x<2,q:0<x<2[C]p:1<x<3,q:2<x<4[D]p:x<-2或x>2,q:|x|>2【答案】D【解析】對(duì)于A,因?yàn)閧x|0<x<1}?{x|0<x<3},所以p是q的充分不必要條件;對(duì)于B,因?yàn)閧x|-1<x<2}?{x|0<x<2},所以p是q的必要不充分條件;對(duì)于C,設(shè)A={x|1<x<3},B={x|2<x<4},因?yàn)锳?B不成立,且B?A不成立,所以p是q的既不充分也不必要條件;對(duì)于D,因?yàn)閧x|x<-2或x>2}={x||x|>2},所以p是q的充要條件.故選D.[典例遷移2]求關(guān)于x的方程m2x2-(m+1)x+2=0的實(shí)數(shù)根的總和為2的充要條件.【解】當(dāng)m=0時(shí),方程為-x+2=0,解得x=2,符合題意;當(dāng)m≠0時(shí),方程為一元二次方程,設(shè)x1,x2是方程的解,則x1+x2=m+1m2,若x1+x2=2,則m+1m2=2,解得m=-12或m=1,但當(dāng)m=-12或m=1時(shí),Δ<0,即當(dāng)m=-12或m=1時(shí),方程無(wú)解.綜上,只有m=0符合題意,所以關(guān)于x的方程m2x1.四種條件關(guān)系的判斷方法(1)定義法:直接判斷“若p,則q”以及“若q,則p”的真假.(2)集合法:利用集合的包含關(guān)系判斷.若p以集合A的形式出現(xiàn),q以集合B的形式出現(xiàn),即A={x|p(x)},B={x|q(x)},則有下列結(jié)論:①若A=B,則p是q的充要條件;②若A?B,則p是q的充分不必要條件;③若A?B,則p是q的必要不充分條件;④若A不是B的子集且B不是A的子集,則p是q的既不充分也不必要條件.2.探求充要條件的方法探求充要條件時(shí)常常先尋找必要條件,即將探求充要條件的對(duì)象視為結(jié)論,尋找使之成立的條件,再證明此條件是該對(duì)象的充分條件,即從充分性和必要性?xún)煞矫嬲f(shuō)明.題型二充要條件的證明[例2]已知ab≠0,求證:a3+b3+ab-a2-b2=0是a+b=1的充要條件.[提示:a3+b3=(a+b)·(a2-ab+b2)]【證明】設(shè)p:a3+b3+ab-a2-b2=0,q:a+b=1.充分性(p?q):因?yàn)閍3+b3+ab-a2-b2=0,所以(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0,即(a2-ab+b2)(a+b-1)=0,因?yàn)閍b≠0,所以a2-ab+b2=(a-12b)2+34b2>0,所以a+b-1=0,即a+必要性(q?p):因?yàn)閍+b=1,所以b=1-a,所以a3+b3+ab-a2-b2=a3+(1-a)3+a(1-a)-a2-(1-a)2=a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2=0.綜上所述,a3+b3+ab-a2-b2=0是a+b=1的充要條件.證明p是q的充要條件分兩步:一是證充分性,將p當(dāng)作已知條件,結(jié)合命題的前提條件,推證q;二是證必要性,將q當(dāng)作已知條件,結(jié)合命題的前提條件,推證p.[變式訓(xùn)練]證明:關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0有一個(gè)根為1的充要條件是a+b+c=0.【證明】充分性:因?yàn)閍+b+c=0,所以c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0,得ax2+bx-a-b=0,即(x-1)(ax+a+b)=0,所以方程ax2+bx+c=0有一個(gè)根為1.必要性:因?yàn)榉匠蘟x2+bx+c=0有一個(gè)根為1,所以x=1滿(mǎn)足方程ax2+bx+c=0,所以a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0.故關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0有一個(gè)根為1的充要條件是a+b+c=0.題型三條件關(guān)系的應(yīng)用[例3]已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0).(1)若p是q的充要條件,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;(2)若p是q的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;(3)若p是q的必要不充分條件,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解】設(shè)A={x|-2≤x≤10},B={x|1-m≤x≤1+m}.(1)因?yàn)閜是q的充要條件,所以A=B,所以-2=1-m,10=1+(2)因?yàn)閜是q的充分不必要條件,所以A?B,所以1-m≤-2,1+m>10或1-(3)因?yàn)閜是q的必要不充分條件,所以q是p的充分不必要條件,所以B?A,故有1-m≥-2,1+m≤10(等號(hào)不同時(shí)成立),解得m應(yīng)用條件關(guān)系求參數(shù)的值(取值范圍)首先可以根據(jù)已知將充分不必要條件、必要不充分條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系,然后根據(jù)集合間的關(guān)系構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方程(組)或不等式(組)求解.[