專題05二次函數解答壓軸題

考點01函數中最值問題

2

1．（2024·四川樂山·中考真題）已知二次函數yx2x1xt1，當x=1時，函數取得最大值；當x1

時，函數取得最小值，則t的取值范圍是（）

A．0t2B．0t4C．2t4D．t2

【答案】C

【分析】本題考查了二次函數的圖象與性質，二次函數的最值等知識．熟練掌握二次函數的圖象與性質是

解題的關鍵．

2

由yx22xx11，可知圖象開口向上，對稱軸為直線x1，頂點坐標為1，1，當x1時，y3，

即1，3關于對稱軸對稱的點坐標為3，3，由當x=1時，函數取得最大值；當x1時，函數取得最小值，

可得1t13，計算求解，然后作答即可．

2

【詳解】解：∵yx22xx11，

∴圖象開口向上，對稱軸為直線x1，頂點坐標為1，1，

當x1時，y3，

∴1，3關于對稱軸對稱的點坐標為3，3，

∵當x=1時，函數取得最大值；當x1時，函數取得最小值，

∴1t13，

解得，2t4，

故選：C．

2．（2024·四川眉山·中考真題）定義運算：aba2bab，例如4342343，則函數

yx12的最小值為（）

A．21B．9C．7D．5

【答案】B

【分析】本題考查二次函數求最值，根據新定義，得到二次函數關系式，進而利用二次函數的性質，求最

值即可．

【詳解】解：由題意得，yx12x122x12x5x1，

2

即yx24x5x29，

當x2時，函數yx12的最小值為9．

故選：B．

3．（2023·四川樂山·中考真題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線yx2與x軸、y軸分別交于A、

B兩點，C、D是半徑為1的O上兩動點CD2，且，P為弦CD的中點．當C、D兩點在圓上運動時，

PAB面積的最大值是（）

A．8B．6C．4D．3

【答案】D

【分析】根據一次函數與坐標軸的交點得出OAOB2，確定AB22，再由題意得出當PO的延長線恰

好垂直AB時，垂足為點E，此時PE即為三角形的最大高，連接DO，利用勾股定理求解即可．

【詳解】解：∵直線yx2與x軸、y軸分別交于A、B兩點，

∴當x0時，y2，當y0時，x2，

∴A2,0,B0,2，

∴OAOB2，

∴ABOA2OB222，

∵PAB的底邊AB22為定值，

∴使得PAB底邊上的高最大時，面積最大，

點P為CD的中點，當PO的延長線恰好垂直AB時，垂足為點E，此時PE即為三角形的最大高，連接DO，

∵CD2，O的半徑為1，

2

∴DP

2

2

∴OPOD2DP2，

2

∵OEAB，

1

∴OEAB2，

2

32

∴PEOEOP，

2

132

∴S223，

PAB22

故選：D．

4．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，M的圓心為M4，0，半徑為2，P是直線yx4上的一個動點，

過點P作M的切線，切點為Q，則PQ的最小值為

【答案】27

【分析】記直線yx4與x，y軸分別交于點A，K，連接QM，PM，KM；由直線解析式可求得點A、K

的坐標，從而得△OAK，△OKM均是等腰直角三角形，由相切及勾股定理得：PQPM2QM2，由

QM2，則當PM最小時，PQ最小，點P與點K重合，此時PM最小值為KM，由勾股定理求得PM的

最小值，從而求得結果．

【詳解】解：記直線yx4與x，y軸分別交于點A，K，連接QM，PM，KM，

當x0，y4，當y0，即x40，

解得：x4，

即K(0,4)，A(4，0)；

而M4,0，

∴OAOKOM4，

∴△OAK，△OKM均是等腰直角三角形，

∴AKOMKO45，

∴AKM90°，

∵QP與M相切，

∴PQM90，

∴PQPM2QM2，

∵QM2，

∴當PQ最小時即PM最小，

∴當PMAK時，取得最小值，

即點P與點K重合，此時PM最小值為KM，

在RtOKM中，由勾股定理得：KMOM2OK242，

∴PQ32427，

∴PQ最小值為27．

1

5．（2023·四川自貢·中考真題）如圖，直線yx2與x軸，y軸分別交于A，B兩點，點D是線段AB

3

4

上一動點，點H是直線yx2上的一動點，動點Em，0，Fm3，0，連接BE，DF，HD．當BEDF

3

取最小值時，3BH5DH的最小值是．

【答案】39

2

【分析】作出點C3，2，作CDAB于點D，交x軸于點F，此時BEDF的最小值為CD的長，利用解

11

直角三角形求得F，0，利用待定系數法求得直線CD的解析式，聯立即可求得點D的坐標，過點D作

3

DGy軸于點G，此時3BH5DH的最小值是5DG的長，據此求解即可．

1

【詳解】解：∵直線yx2與x軸，y軸分別交于A，B兩點，

3

∴B0，2，A6，0，

作點B關于x軸的對稱點B0，2，把點B向右平移3個單位得到C3，2，

作CDAB于點D，交x軸于點F，過點B作BE∥CD交x軸于點E，則四邊形EFCB是平行四邊形，

此時，BEBECF，

∴BEDFCFDFCD有最小值，

作CPx軸于點P，

則CP2，OP3，

∵CFPAFD，

∴FCPFAD，

∴tanFCPtanFAD，

PFOBPF2

∴，即，

PCOA26

211

∴PF，則F，0，

33

設直線CD的解析式為ykxb，

3kb2

k3

則11，解得，

kb0b11

3

∴直線CD的解析式為y3x11，

39

y3x11x

10

聯立，1，解得，

yx27

3y

10

397

即D，；

1010

過點D作DGy軸于點G，

43225

直線yx2與x軸的交點為Q，0，則BQOQOB，

322

3

OQ3

∴sinOBQ2，

BQ55

2

3

∴HGBHsinGBHBH，

5

3

∴3BH5DH5BHDH5HGDH5DG，

5

3939

即3BH5DH的最小值是5DG5，

102

故答案為：39．

2

考點02函數圖象中相關求解

1．（2023·四川資陽·中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，D120，AD23厘米，AB43厘米，

點P從點D出發(fā)以每秒3厘米的速度，沿DCBA在平行四邊形的邊上勻速運動至點A．設點P的

運動時間為t秒，△ADP的面積為s平方厘米，下列圖中表示s與t之間函數關系的是（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【分析】本題考查了動點問題的函數圖象問題,涉及平行四邊形性質、三角形外角性質、三角形面積公式等

知識．由平行四邊形性質得到DC43厘米，點P速度為每秒3厘米，則點P在CD上時，時間t滿足的

取值范圍為0t4，觀察符合題意的A、B、D的圖象，t4即點P在C處時，△ADP的面積各不相同，

求得此時△ADP的面積，即可找到正確選項．判斷出點P運動到點C時的時間及此時△ADP的面積是解決本

題的關鍵．

【詳解】解：四邊形ABCD是平行四邊形，AB43厘米，

CDAB43厘米，

點P從點D出發(fā)以每秒3厘米的速度，

點P走完CD所用的時間為：4334秒，

當點P在CD上時，0t4；故排除C；

當t4時，點P在點C處，過點A作AECD于點E，如圖所示：

E90，

ADC120，

EADADCE30，

AD23厘米，

DE3厘米，

AE3厘米，

11

SCDAE43363平方厘米，

ADP22

故選：B．

2．（2023·四川攀枝花·中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長為4，動點P從點B出發(fā)沿折線BCDA做勻速

運動，設點P運動的路程為x，PAB的面積為y，下列圖象能表示y與x之間函數關系的是（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【分析】分段求出函數關系式，再觀察圖象可得答案．

1

【詳解】解：當P在BC上，即0x4時，y4x2x，當x4時，y8；

2

1

當P在CD上，即4x8時，y448，

2

1

當P在AD上，即8x12時，y4(12x)2x24；

2

觀察4個選項，符合題意的為D；

故選D

3．（2023·四川·中考真題）向高為10的容器（形狀如圖）中注水，注滿為止，則水深h與注水量v的函數

關系的大致圖象是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【分析】從水瓶的構造形狀上看，從底部到頂部的變化關系為：開始寬，逐漸細小，再變寬，再從函數的

圖象上看，選出答案．

【詳解】解：從水瓶的構造形狀上看，從底部到頂部的變化關系為：開始寬，逐漸細小，再變寬．

則注入的水量v隨水深h的變化關系為：先慢再快，最后又變慢，

那么從函數的圖象上看，

C對應的圖象變化為先快再慢，最后又變快，不符合；

A、B對應的圖象中間沒有變化，只有D符合條件．

故選：D．

4．（2023·四川遂寧·中考真題）如圖，在VABC中，AB10，BC6，AC8，點P為線段AB上的動點，

以每秒1個單位長度的速度從點A向點B移動，到達點B時停止．過點P作PMAC于點M、作PNBC

于點N，連接MN，線段MN的長度y與點P的運動時間t（秒）的函數關系如圖所示，則函數圖象最低點

E的坐標為（）

24322432

A．5，5B．6,C．,D．,5

5555

【答案】C

【分析】如圖所示，過點C作CDAB于D，連接CP，先利用勾股定理的逆定理證明VABC是直角三角

2432

形，即C90，進而利用等面積法求出CD，則可利用勾股定理求出AD；再證明四邊形CMPN

55

2432

是矩形，得到MNCP，故當點P與點D重合時，CP最小，即MN最小，此時MN最小值為，AP，

55

3224

則點E的坐標為,．

55

【詳解】解：如圖所示，過點C作CDAB于D，連接CP，

∵在VABC中，AB10，BC6，AC8，

∴AC2BC26282100102AB2，

∴VABC是直角三角形，即C90，

11

∴SACBCABCD，

ABC22

ACBC24

∴CD，

AB5

32

∴ADAC2CD2；

5

∵PM⊥AC，PN⊥BC，∠C90，

∴四邊形CMPN是矩形，

∴MNCP，

∴當MN最小時，即CP最小，

2432

∴當點P與點D重合時，CP最小，即MN最小，此時MN最小值為，APAD，

55

3224

∴點E的坐標為,，

55

故選C．

5．（2024·四川涼山·中考真題）勻速地向如圖所示的容器內注水，直到把容器注滿．在注水過程中，容器內

水面高度h隨時間t變化的大致圖象是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【分析】本題考查了函數圖象，根據容器最下面圓柱底面積最小，中間圓柱底面積最大，最上面圓柱底面

積最較大即可判斷求解，正確識圖是解題的關鍵．

【詳解】解：由容器可知，最下面圓柱底面積最小，中間圓柱底面積最大，最上面圓柱底面積最較大，所

以一開始水面高度h上升的很快，然后很慢，最后又上升的更快點，

故選：C．

6．（2024·四川廣安·中考真題）向如圖所示的空容器內勻速注水，從水剛接觸底部時開始計時，直至把容器

注滿．在注水過程中，設容器內底部所受水的壓強為y（單位：帕），時間為x（單位：秒），則y關于x的

函數圖象大致為（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【分析】此題主要考查了函數圖象．由于壓強與水面的高度成正比，而上下兩個容器粗細不同，那么水面

高度h隨時間x變化而分兩個階段．

【詳解】解：最下面的容器較粗，那么第一個階段的函數圖象水面高度h隨時間x的增大而增長緩慢，用時

較長，即壓強y隨時間x的增大而增長緩慢，用時較長，

最上面容器最小，則壓強y隨時間x的增大而增長變快，用時最短．

故選：B．

、

7．（2023·四川廣安·中考真題）為了降低成本，某出租車公司實施了“油改氣”措施．如圖，y1y2分別表示

燃油汽車和燃氣汽車所需費用y（單位：元）與行駛路程S（單位：千米）的關系，已知燃油汽車每千米所

需的費用比燃氣汽車每千米所需的費用的3倍少0.1元，設燃氣汽車每千米所需的費用為x元，則可列方程

為（）

2510251025102510

A．B．C．D．

x3x0.1x3x0.13x0.1x3x0.1x

【答案】D

【分析】先求出燃油汽車每千米所需的費用為3x0.1元，再根據函數圖象可得燃油汽車所需費用為25元

時與燃氣汽車所需費用為10元時，所行駛的路程相等，據此列出方程即可得．

【詳解】解：由題意得：燃油汽車每千米所需的費用為3x0.1元，

由函數圖象可知，燃油汽車所需費用為25元時與燃氣汽車所需費用為10元時，所行駛的路程相等，

2510

則可列方程為，

3x0.1x

故選：D．

8．（2023·四川自貢·中考真題）如圖1，小亮家?報亭?羽毛球館在一條直線上．小亮從家跑步到羽毛球館打

羽毛球，再去報亭看報，最后散步回家．小亮離家距離y與時間x之間的關系如圖2所示．下列結論錯誤的

是（）

A．小亮從家到羽毛球館用了7分鐘B．小亮從羽毛球館到報亭平均每分鐘走75米

C．報亭到小亮家的距離是400米D．小亮打羽毛球的時間是37分鐘

【答案】D

【分析】根據函數圖象，逐項分析判斷即可求解．

【詳解】解：A.從函數圖象可得出，小亮從家到羽毛球館用了7分鐘，故該選項正確，不符合題意；

1000400

B.=75（米/分鐘），

4537

即小亮從羽毛球館到報亭平均每分鐘走75米，故該選項正確，不符合題意；

C.從函數圖象可得出，報亭到小亮家的距離是400米，故該選項正確，不符合題意；

D.小亮打羽毛球的時間是37730分鐘，故該選項不正確，符合題意；

故選：D．

9．（2024·四川廣元·中考真題）如圖①，在VABC中，ACB90，點P從點A出發(fā)沿A→C→B以1cm/s

2

的速度勻速運動至點B，圖②是點P運動時，ABP的面積ycm隨時間x（s）變化的函數圖象，則該三

角形的斜邊AB的長為（）

A．5B．7C．32D．23

【答案】A

【分析】本題考查根據函數圖象獲取信息，完全平方公式，勾股定理，

1

由圖象可知，ABP面積最大值為6，此時當點P運動到點C，得到ACBC6，由圖象可知ACBC7，

2

根據勾股定理，結合完全平方公式即可求解．

【詳解】解：由圖象可知，ABP面積最大值為6

由題意可得，當點P運動到點C時，ABP的面積最大，

1

∴ACBC6，即ACBC12，

2

由圖象可知，當x7時，y0，此時點P運動到點B，

∴ACBC7，

∵C90，

2

∴AB2AC2BC2ACBC2ACBC7221225，

∴AB5．

故選：A

10．（2025·四川成都·中考真題）小明從家跑步到體育館，在那里鍛煉了一段時間后又跑步到書店買書，然

后步行回家（小明家、書店、體育館依次在同一直線上），如圖表示的是小明離家的距離與時間的關系．下

列說法正確的是（）

A．小明家到體育館的距離為2kmB．小明在體育館鍛煉的時間為45min

C．小明家到書店的距離為1kmD．小明從書店到家步行的時間為40min

【答案】C

【分析】本題考查用函數圖象表示變量之間的關系，從函數圖象中有效的獲取信息，逐一進行判斷即可．

【詳解】解：由圖象可知：小明家到體育館的距離為2.5km；故選項A錯誤；

小明在體育館鍛煉的時間為451530min；故選項B錯誤；

小明家到書店的距離為1km；故選項C正確；

小明從書店到家步行的時間為1008020min；故選項D錯誤；

故選C．

考點03二次函數中多結論問題

1．（2023·四川成都·中考真題）如圖，二次函數yax2x6的圖象與x軸交于A(3,0)，B兩點，下列說

法正確的是（）

1

A．拋物線的對稱軸為直線x1B．拋物線的頂點坐標為,6

2

C．A，B兩點之間的距離為5D．當x1時，y的值隨x值的增大而增大

【答案】C

【分析】待定系數法求得二次函數解析式，進而逐項分析判斷即可求解．

【詳解】解：∵二次函數yax2x6的圖象與x軸交于A(3,0)，B兩點，

∴09a36

∴a1

2

21251125

∴二次函數解析式為yxx6x，對稱軸為直線x，頂點坐標為,，故A，

24224

B選項不正確，不符合題意；

∵a10，拋物線開口向上，當x1時，y的值隨x值的增大而減小，故D選項不正確，不符合題意；

當y0時，x2x60

即x13,x22

∴B2,0，

∴AB5，故C選項正確，符合題意；

故選：C．

2．（2023·四川涼山·中考真題）已知拋物線yax2bxca0的部分圖象如圖所示，則下列結論中正確

的是（）

A．abc0B．4a2bc0C．3ac0D．am2bma0（m為實數）

【答案】C

【分析】根據開口方向，與y軸交于負半軸和對稱軸為直線x1可得a0，c0，b2a0，由此即可

判斷A；根據對稱性可得當x2時，y0，當x1時，y0，由此即可判斷B、C；根據拋物線開口向

上，對稱軸為直線x1，可得拋物線的最小值為ac，由此即可判斷D．

【詳解】解：∵拋物線開口向上，與y軸交于負半軸，

∴a0，c0，

∵拋物線對稱軸為直線x1，

b

∴1，

2a

∴b2a0，

∴abc0，故A中結論錯誤，不符合題意；

∵當x4時，y0，拋物線對稱軸為直線x1，

∴當x2時，y0，

∴4a2bc0，故B中結論錯誤，不符合題意；

∵當x3時，y0，拋物線對稱軸為直線x1，

∴當x1時，y0，

∴abc0，

又∵b2a，

∴3ac0，故C中結論正確，符合題意；

∵拋物線對稱軸為直線x1，且拋物線開口向上，

∴拋物線的最小值為abca2acac，

∴am2bmcac，

∴am2bma0，故D中結論錯誤，不符合題意；

故選C．

3．（2023·四川達州·中考真題）如圖，拋物線yax2bxc（a,b,c為常數）關于直線x1對稱．下列五個

結論：①abc0；②2ab0；③4a2bc0；④am2bmab；⑤3ac0．其中正確的有（）

A．4個B．3個C．2個D．1個

【答案】B

【分析】由拋物線的開口方向、與y軸交點以及對稱軸的位置可判斷a、b、c的符號，由此可判斷①正確；

b

由拋物線的對稱軸為x1，得到1，即可判斷②；可知x2時和x0時的y值相等可判斷③正確；

2a

由圖知x1時二次函數有最小值，可判斷④錯誤；由拋物線的對稱軸為x1可得b2a，因此

yax22axc，根據圖像可判斷⑤正確．

【詳解】①∵拋物線的開口向上，

a0.

∵拋物線與y軸交點在y軸的負半軸上，

c0.

b

由0得，b0，

2a

abc0，

故①正確；

②拋物線的對稱軸為x1，

b

1，

2a

b2a，

2ab0，故②正確；

③由拋物線的對稱軸為x1，可知x2時和x0時的y值相等．

由圖知x0時，y0，

∴x2時，y0．

即4a2bc0．

故③錯誤；

④由圖知x1時二次函數有最小值，

abcam2bmc，

abam2bm，

abm(axb），

故④錯誤；

b

⑤由拋物線的對稱軸為x1可得1，

2a

b2a，

∴yax22axc，

當x=1時，ya2ac3ac．

由圖知x=1時y0,

3ac0.

故⑤正確．

綜上所述：正確的是①②⑤，有3個，

故選：B．

2

4．（2023·四川資陽·中考真題）如圖，拋物線yaxbxca0的對稱軸為直線x2，且過點1,0．現

2

有以下結論：①abc0；②5ac0；③對于任意實數m，都有2bbm4aam；④若點Ax1,y1,Bx2,y2

是圖象上任意兩點，且x12x22，則y1y2，其中正確的結論是（）

A．①②B．②③④C．①②④D．①②③④

【答案】C

【分析】本題考查二次函數圖象與系數的關系、拋物線與x軸的交點，解答本題的關鍵是明確題意，利用二

次函數的性質解答．根據題意和函數圖象，利用二次函數的性質，可以判斷各個小題中的結論是否正確，

從而可以解答本題．

【詳解】解：由圖象開口向上可得：a0，

由于圖象與y軸交于負半軸，可知：c0，

b

根據對稱軸公式：x2可知：b4a，

2a

a0，

b>0，

abc<0，故①正確；

拋物線yax2bxca0過點1,0，

abc0，

b4a，

abc5ac，

即：5ac0，故②正確；

當x2時，y4a2bc取得最小值，

am2bmc4a2bc，

2bbm4aam2（m為任意實數），故③錯誤；

拋物線開口向上，對稱軸為直線x2，若點Ax1,y1,Bx2,y2是圖象上任意兩點，且x12x22，

則點Ax1,y1到對稱軸的距離小于Bx2,y2到對稱軸的距離，

根據圖象可知：y1y2，故④正確；

其中正確的結論是：①②④，

故選：C．

5．（2023·四川雅安·中考真題）如圖，二次函數yax2bxc的圖象與x軸交于A2,0，B兩點，對稱軸

是直線x2，下列結論中，①a0；②點B的坐標為6,0；③c3b；④對于任意實數m，都有

4a2bam2bm，所有正確結論的序號為（）

A．①②B．②③C．②③④D．③④

【答案】C

【分析】根據拋物線開口方向可得a的符號，可對①進行判斷；根據拋物線的對稱軸x2，由二次函數的

對稱性可得B點坐標，由圖象即可對②進行判斷；根據點A2,0，點B6,0代入解析式利用加減消元法

可得24b8c0，從而判定③，再由x2時函數取最大值判定④．

【詳解】解：∵拋物線開?向下，

∴a<0，故①錯誤，

∵拋物線與y軸交于正半軸，

∴c0，

∴ac0，

設點B坐標為Bx2,0

∵拋物線對稱軸為直線x2，點A的坐標為2,0，

2x

∴22，解得：x6，

22

∴點B的坐標為6,0，故②正確，

∵點A的坐標為2,0，點B的坐標為6,0，

4a2bc0①

∴

36a6bc0②

∴由②-①9得24b8c0，即c3b，故③正確；

∵a<0，拋物線對稱軸為直線x2，

∴當x2時，y4a2bc時函數最大值，

當xm時，yam2bmc，

∴4a2bcam2bmc，即4a2bam2bm，

綜上所述：正確的結論有②③④，

故選：C．

6．（2023·四川·中考真題）已知拋物線yax2bxc（a，b，c是常數且a0）過1,0和m,0兩點，

2

且3m4，下列四個結論：①abc0；②3ac0；③若拋物線過點1,4，則1a；④關于x的

3

方程ax1xm3有實數根，則其中正確的結論有（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

【答案】B

bm1

【分析】由拋物線過1,0和m,0兩點得到對稱軸為直線x，且3m4，a0所以得到

2a2

b3

1，進而判斷abc的符號，得到abc<0，3ac0；拋物線過點1,0和1,4，代入可得abc0

2a2

b32m1

和abc4，解得b2，又由1，得1a；對稱軸為直線x，a0，開口向下，

2a232

2

m1

所以y有最大值為a，且3m4，無法判斷關于x的方程ax1xm3是否有實數根．

2

m1m1

【詳解】解：已知拋物線過1,0和m,0兩點，則對稱軸為直線x，

22

m13b3

∵3m4，所以1，即1，a0，則b0，

222a2

2

當x=1時，ya1b1cabc0，則c0，所以abc<0，故結論①錯誤；

b

因為1，所以2ab，3aca2acabc，即3ac0，故結論②正確；

2a

b3

拋物線過1,0和1,4兩點，代入可得abc0和abc4，兩式相減解得b2，由1可得

2a2

232

1，解得1a，故結論③正確；

2a23

m1

對稱軸為直線x，a0，開口向下，

2

2222

21m1m1m1m

∵yax1xmax1mxmaxamaaxa，

2222

2

m1

∴所以y有最大值為a，

2

2

m1

∵a3不一定成立，

2

∴關于x的方程ax1xm3有實數根無法確定，故結論④錯誤．

故選：B

7．（2023·四川樂山·中考真題）如圖，拋物線yax2bxc經過點A(1,0)、B(m,0)，且1m2，有下列

25

結論：①b0；②ab0；③0ac；④若點C,y1,D,y2在拋物線上，則y1y2．其中，正

33

確的結論有（）

A．4個B．3個C．2個D．1個

【答案】B

b1

【分析】拋物線yax2bxc經過點A(1,0)、B(m,0)，且1m2，，可以得到a0，0，從而

2a2

可以得到b的正負情況，從而可以判斷①；繼而可得出ba，則ab0，即可判斷②；由圖象可知，當

1251

x1時，y0，即abc0，所以有acb，從而可得出0ac，即可判斷③；利用，

2332

b1b25b

再根據0，所以，從而可得yy，即可判斷④．

2a22a332a12

【詳解】解：∵拋物線yax2bxc的圖象開口向上，

∴a0，

∵拋物線yax2bxc經過點A(1,0)、B(m,0)，且1m2，

b1

∴0，

2a2

∴b0，故①正確；

b1

∵0，a0，

2a2

∴ba

∴ab0，故②正確；

由圖象可知，當x1時，y0，即abc0，

∴acb

∵a0，b0，

∴0ac，故③正確；

1251

∵，

2332

b1

又∵0，

2a2

b25b

∴，

2a332a

∵拋物線yax2bxc的圖象開口向上，

∴y1y2，故④錯誤．

∴正確的有①②③共3個，

故選：B．

8．（2023·四川眉山·中考真題）如圖，二次函數yax2bxca0的圖象與x軸的一個交點坐標為1,0，

對稱軸為直線x1，下列四個結論：①abc0；②4a2bc0；③3ac0；④當3x1時，

ax2bxc0；其中正確結論的個數為（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

【答案】D

【分析】根據二次函數開口向上，與y軸交于y軸負半軸，a0，c0，根據對稱軸為直線x1可得

b2a0，由此即可判斷①；求出二次函數與x軸的另一個交點坐標為3,0，進而得到當x2時，y0，

由此即可判斷②；根據x1時，y0，即可判斷③；利用圖象法即可判斷④．

【詳解】解：∵二次函數開口向上，與y軸交于y軸負半軸，

∴a0，c0，

∵二次函數的對稱軸為直線x1，

b

∴1，

2a

∴b2a0，

∴abc0，故①正確；

∵二次函數yax2bxca0的圖象與x軸的一個交點坐標為1,0，

∴二次函數yax2bxca0的圖象與x軸的另一個交點坐標為3,0，

∴當x2時，y0，

∴4a2bc0，故②正確；

∵x1時，y0，

∴abc0，

∴a2ac0，即3ac0，故③正確；

由函數圖象可知，當3x1時，ax2bxc0，故④正確；

綜上所述，其中正確的結論有①②③④共4個，

故選D．

12

9．（2023·四川巴中·中考真題）在平面直角坐標系中，直線ykx1與拋物線yx交于A、B兩點，設

4

Ax1,y1，Bx2,y2則下列結論正確的個數為（）

①x1x24，

2

②y1y24k2，

③當線段AB長取最小值時，則VAOB的面積為2

④若點N(0,1)，則ANBN

A．1B．2C．3D．4

【答案】C

【分析】根據二次函數與一次函數的圖象和性質，根與系數的關系，進行解答，即可．

12

【詳解】直線ykx1與拋物線yx交于A、B兩點，

4

1

∴kx1x2，

4

1

整理得：0x2kx1，

4

c1

xx4

∴12a1，

4

∴①正確；

1

∵0x2kx1，

4

解得：2，2，

x12kk1x22kk1

∴2，2，

y12kkk11y22kkk11

2

∴y1y24k2；

∴②正確；

∵222，

ABx1x2y1y24k1

當k0時，即AB∥x軸時，AB有最小值，

∴AB4，

1

∴S412；

AOB2

∴③正確；

當點N(0,1)時，假設ANBN，則：

ABN是直角三角形，

取AB的中點為點G，連接NG，

1

∴AGBGNGAB2k21，

2

1

∵0x2kx1，

4

b

∴xx4k，yy4k22，

12a12

xxyy

∴點G12,12，

22

∴點G2k,2k21，

∵點N(0,1)，

2

∴NG4k24k21，

1

∴k0時，NGAB，

2

即AN與BN不一定垂直；

∴④錯誤；

∴正確的為：①②③．

故選：C．

10．（2023·四川遂寧·中考真題）拋物線yax2bxca0的圖象如圖所示，對稱軸為直線x2．下列

2≥

說法：①abc0；②c3a0；③4a2abatatb（t為全體實數）；④若圖象上存在點Ax1,y1和點

Bx2,y2，當mx1x2m3時，滿足y1y2，則m的取值范圍為5m2．其中正確的個數有（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

【答案】C

【分析】開口方向，對稱軸，與y軸的交點位置判斷①，特殊點判斷②，最值判斷③，對稱性判斷④即可．

b

【詳解】∵拋物線的開口向下，對稱軸為直線x20，

2a

∴a0,b0，x4和x0的函數值相同，

由圖可知，當x4時的函數值小于0，

∴c0，

∴abc0，

故①正確；

由圖象可知，abc0，根據對稱軸，得b4a，

∴a4ac0

∴c3a0，

故②正確；

b

∵拋物線的開口向下，對稱軸為直線x20，

2a

∴拋物線的最大值為y4a2bc，

當xt時，其函數值為yat2btc，

∴4a2bcat2btc，

∴4a2bat2bt，

∵a0，

∴a4a2baat2bt，

∴4a22abatatb，

故③錯誤；

如圖所示，Ax1,y1和點Bx2,y2滿足y1y2，

∴Ax1,y1和點Bx2,y2關于對稱軸對稱，

∴x12,x22,

∵mx1x2m3,

∴mx12,2x2m3,

解得5m2，

故④正確；

故選C．

11．（2023·四川廣安·中考真題）如圖所示，二次函數yax2bxc(a、b、c為常數，a0)的圖象與x軸交

于點A3,0,B1,0．有下列結論：①abc0；②若點2,y1和0.5,y2均在拋物線上，則y1y2；

③5abc0；④4ac0．其中正確的有（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

【答案】C

【分析】根據二次函數圖像的性質、二次函數圖像與系數的關系以及與x軸交點問題逐項分析判斷即可.

【詳解】解：由圖可知，二次函數開口方向向下，與y軸正半軸交于一點，

a<0，c>0.

b

<0，

2a

b<0.

abc>0.

故①正確.

A3,0,B1,0是關于二次函數對稱軸對稱，

b

1.

2a

2,y1在對稱軸的左邊，0.5,y2在對稱軸的右邊，如圖所示，

y1y2.

故②正確.

圖象與x軸交于點A3,0,B1,0，

9a3bc0，abc0.

10a2b2c0.

5abc0.

故③正確.

b

1，

2a

b2a.

當x1時，y0，

abc0.

3ac0，

c3a，

4ac4a3aa<0.

故④不正確.

綜上所述，正確的有①②③.

故選：C.

2

12．（2024·四川雅安·中考真題）已知一元二次方程axbxc0有兩實根x11，x23，且abc0，則

下列結論中正確的有（）

4c

①2ab0；②拋物線yax2bxc的頂點坐標為1,；

3

③a<0；④若mamb4a2b，則0m1．

A．1個B．2個C．3個D．4個

【答案】B

【分析】本題主要考查了二次函數圖象與系數的關系、根與系數的關系、根的判別式、拋物線與x軸的交點，

解題時要熟練掌握并能靈活運用二次函數的性質是關鍵．