高一必修一數(shù)學(xué)知識點歸納總結(jié)同學(xué)們進(jìn)入高中，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深度和廣度都有了新的要求。高一數(shù)學(xué)必修一是整個高中數(shù)學(xué)的基石，尤其是函數(shù)部分，更是貫穿始終的核心內(nèi)容。這份歸納總結(jié)希望能幫助同學(xué)們系統(tǒng)梳理所學(xué)知識，鞏固基礎(chǔ)，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)。一、集合集合是高中數(shù)學(xué)的起始章節(jié)，也是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本語言。它為我們后續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)、不等式等內(nèi)容提供了有力的工具。1.1集合的概念與表示*集合的定義：某些指定的對象集在一起就成為一個集合，簡稱集。集合中的每個對象叫做這個集合的元素。*集合元素的特性：*確定性：對于一個給定的集合，任何一個對象是否屬于這個集合是明確的。*互異性：集合中的元素互不相同。*無序性：集合中的元素沒有先后順序。*集合的表示方法：*列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來。例如：{1,2,3}。*描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合。一般形式為{x|P(x)}，其中x是代表元素，P(x)是元素x所滿足的條件。例如：{x|x是大于1的整數(shù)}。*圖示法（Venn圖）：用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，形象直觀。*常用數(shù)集及其記法：*自然數(shù)集：N*正整數(shù)集：N*或N+*整數(shù)集：Z*有理數(shù)集：Q*實數(shù)集：R1.2集合間的基本關(guān)系*子集：如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，我們說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合A是集合B的子集，記作A?B（或B?A）。讀作“A包含于B”或“B包含A”。*真子集：如果A?B，且存在元素x∈B，但x?A，則稱集合A是集合B的真子集，記作A?B（或B?A）。*相等集合：如果集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，那么集合A與集合B相等，記作A=B。*空集：不含任何元素的集合叫做空集，記作?。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。1.3集合的基本運算*交集：由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，叫做A與B的交集，記作A∩B，即A∩B={x|x∈A且x∈B}。*并集：由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合，叫做A與B的并集，記作A∪B，即A∪B={x|x∈A或x∈B}。*補(bǔ)集：設(shè)U是一個全集，A是U的一個子集，由U中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做U中子集A的補(bǔ)集（或余集），記作?UA，即?UA={x|x∈U且x?A}。二、函數(shù)的概念與基本性質(zhì)函數(shù)是描述變量之間依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容。2.1函數(shù)的概念*函數(shù)的定義：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y=f(x)，x∈A。其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域。*函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域。（當(dāng)定義域和對應(yīng)關(guān)系確定時，值域也就隨之確定）*區(qū)間的概念：為了簡便地表示某些數(shù)集，我們引入?yún)^(qū)間的概念。設(shè)a，b是兩個實數(shù)，且a<b：*閉區(qū)間：[a,b]={x|a≤x≤b}*開區(qū)間：(a,b)={x|a<x<b}*半開半閉區(qū)間：[a,b)={x|a≤x<b}，(a,b]={x|a<x≤b}*無窮區(qū)間：[a,+∞)，(-∞,b]，(a,+∞)，(-∞,b)，(-∞,+∞)2.2函數(shù)的表示法*解析法：用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系。例如：y=2x+1。*列表法：列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系。例如：平方根表。*圖像法：用圖像表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系。函數(shù)的圖像通常是一條曲線（或直線）。2.3函數(shù)的基本性質(zhì)*單調(diào)性（增減性）：*增函數(shù)：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x?，x?，當(dāng)x?<x?時，都有f(x?)<f(x?)，那么就說函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)。*減函數(shù)：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x?，x?，當(dāng)x?<x?時，都有f(x?)>f(x?)，那么就說函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)。*單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間：如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，這一區(qū)間叫做函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間。*奇偶性：*偶函數(shù)：如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)。偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱。*奇函數(shù)：如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(-x)=-f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)。奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱。*判斷函數(shù)奇偶性的步驟：1.首先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱。若不對稱，則函數(shù)是非奇非偶函數(shù)。2.若定義域?qū)ΨQ，再判斷f(-x)與f(x)的關(guān)系。*最值：*最大值：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：對于任意的x∈I，都有f(x)≤M；存在x?∈I，使得f(x?)=M。那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值。*最小值：類似最大值定義。三、基本初等函數(shù)（I）這部分主要學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)，它們是構(gòu)成更復(fù)雜函數(shù)的基本“積木”。3.1指數(shù)函數(shù)*根式：如果x?=a，那么x叫做a的n次方根。當(dāng)n為奇數(shù)時，正數(shù)的n次方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的n次方根是負(fù)數(shù)，記作√[n]{a}。當(dāng)n為偶數(shù)時，正數(shù)的n次方根有兩個，它們互為相反數(shù)，記作±√[n]{a}（負(fù)數(shù)沒有偶次方根）。*分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：*規(guī)定：a^(m/n)=√[n]{a?}(a>0,m,n∈N*,n>1)*a^(-m/n)=1/(a^(m/n))=1/√[n]{a?}(a>0,m,n∈N*,n>1)*指數(shù)冪的運算性質(zhì)：(a>0,b>0,r,s∈Q)*a?·a?=a^(r+s)*(a?)?=a^(rs)*(ab)?=a?b?*指數(shù)函數(shù)的定義：一般地，函數(shù)y=a?(a>0,且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是R。*指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)：*當(dāng)a>1時：*圖像：從左向右逐漸上升。*定義域：R*值域：(0,+∞)*過定點：(0,1)*單調(diào)性：在R上是增函數(shù)。*當(dāng)0<a<1時：*圖像：從左向右逐漸下降。*定義域：R*值域：(0,+∞)*過定點：(0,1)*單調(diào)性：在R上是減函數(shù)。3.2對數(shù)函數(shù)*對數(shù)的定義：一般地，如果a?=N(a>0,且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x=log?N，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。*常用對數(shù)：以10為底的對數(shù)，記作lgN。*自然對數(shù)：以無理數(shù)e(e≈2.____...)為底的對數(shù)，記作lnN。*對數(shù)的性質(zhì)：*負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù)。*log?1=0*log?a=1*對數(shù)恒等式：a^(log?N)=N(N>0)*對數(shù)的運算性質(zhì)：如果a>0,且a≠1,M>0,N>0，那么：*log?(MN)=log?M+log?N*log?(M/N)=log?M-log?N*log?(M?)=nlog?M(n∈R)*換底公式：log_bN=log?N/log?b(a>0,且a≠1;b>0,且b≠1;N>0)*對數(shù)函數(shù)的定義：一般地，我們把函數(shù)y=log?x(a>0,且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0,+∞)。*對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)：*當(dāng)a>1時：*圖像：從左向右逐漸上升。*定義域：(0,+∞)*值域：R*過定點：(1,0)*單調(diào)性：在(0,+∞)上是增函數(shù)。*當(dāng)0<a<1時：*圖像：從左向右逐漸下降。*定義域：(0,+∞)*值域：R*過定點：(1,0)*單調(diào)性：在(0,+∞)上是減函數(shù)。*指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系：指數(shù)函數(shù)y=a?(a>0,且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y=log?x(a>0,且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖像關(guān)于直線y=x對稱。3.3冪函數(shù)*冪函數(shù)的定義：一般地，形如y=x?(a∈R)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，a是常數(shù)。*幾種常見冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)（以a=1,2,3,-1,1/2為例）：*定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、過定點等。（具體分析需結(jié)合圖像）*共性：所有冪函數(shù)都過點(1,1)。四、函數(shù)的應(yīng)用學(xué)習(xí)函數(shù)的目的在于應(yīng)用，用函數(shù)的觀點和方法解決實際問題。4.1函數(shù)與方程*函數(shù)的零點：對于函數(shù)y=f(x)，我們把使f(x)=0的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點。*函數(shù)零點與方程根的關(guān)系：函數(shù)y=f(x)的零點就是方程f(x)=0的實數(shù)根，也就是函數(shù)y=f(x)的圖像與x軸交點的橫坐標(biāo)。*零點存在性定理：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，這個c也就是方程f(x)=0的根。*二分法：對于在區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷且f(a)·f(b)<0的函數(shù)y=f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進(jìn)而得到零點近似值的方法叫做二分法。4.2函數(shù)模型及其應(yīng)用*幾類不同增長的函數(shù)模型：*一次函數(shù)模型：y=kx+b(k≠0)*二次函數(shù)模型：y=ax2+bx+c(a≠0)*指數(shù)函數(shù)模型：y=a·b?+c(a≠0,b>0,b≠1)*對數(shù)函數(shù)模型：y=m·log?x+n(m≠0,a>0,a≠1)*冪函數(shù)模型：y=a·x?+c(a≠0)*應(yīng)用函數(shù)模型解決實際問題的基本步驟：1.審題：理解題