2024年高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)梳理與模擬試題高考數(shù)學(xué)作為衡量學(xué)生邏輯思維與綜合應(yīng)用能力的重要學(xué)科，其復(fù)習(xí)備考向來是考生關(guān)注的焦點(diǎn)。隨著2024年高考的臨近，科學(xué)梳理核心考點(diǎn)，精準(zhǔn)把握命題趨勢，并輔以有效的模擬演練，對于提升備考效率至關(guān)重要。本文旨在結(jié)合近年來高考數(shù)學(xué)的命題特點(diǎn)與核心素養(yǎng)要求，為同學(xué)們提供一份相對全面的考點(diǎn)梳理，并附上精心設(shè)計(jì)的模擬試題與解析，希望能為大家的最后沖刺助力。一、核心考點(diǎn)梳理高考數(shù)學(xué)的考點(diǎn)繁多，但核心內(nèi)容相對穩(wěn)定。以下將按照知識模塊進(jìn)行梳理，力求突出重點(diǎn)，兼顧全面。（一）函數(shù)與導(dǎo)數(shù)函數(shù)是貫穿高中數(shù)學(xué)的主線，也是高考的重中之重。*函數(shù)的概念與基本性質(zhì)：定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性是函數(shù)的基本屬性，理解這些概念并能靈活運(yùn)用是解決函數(shù)問題的基礎(chǔ)。高考中常以小題形式直接考查，或在解答題中作為隱含條件。*基本初等函數(shù)：一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是必須熟練掌握的內(nèi)容。尤其要關(guān)注二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，指數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)用，以及三角函數(shù)的圖象變換、周期性、奇偶性和最值。*函數(shù)的應(yīng)用：包括函數(shù)與方程（零點(diǎn)問題）、函數(shù)模型及其應(yīng)用。這類問題往往與實(shí)際背景相結(jié)合，考查學(xué)生抽象概括和數(shù)學(xué)建模能力。*導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用：導(dǎo)數(shù)的幾何意義（切線方程）、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性、極值與最值中的應(yīng)用是高考的核心考點(diǎn)，常以解答題形式出現(xiàn)，難度中等偏上。有時(shí)也會結(jié)合不等式證明、恒成立問題等進(jìn)行綜合考查。（二）幾何類幾何部分包括立體幾何與解析幾何，側(cè)重考查空間想象能力和代數(shù)運(yùn)算能力。*立體幾何：*空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、三視圖與直觀圖、表面積與體積的計(jì)算是小題?？純?nèi)容。*空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系（平行與垂直的判定與性質(zhì)）是核心，既可以出小題，也可以作為解答題的第一問。*空間向量在立體幾何中的應(yīng)用：主要用于求空間角（異面直線所成角、線面角、二面角）和空間距離，是解決立體幾何問題的重要工具，尤其是對于理科考生。*解析幾何：*直線與圓：直線方程的幾種形式、兩直線的位置關(guān)系、圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系是基礎(chǔ)，多為小題或解答題的基礎(chǔ)部分。*圓錐曲線：橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)是解析幾何的核心內(nèi)容。高考常以解答題形式考查，難度較大，往往涉及到軌跡方程的求解、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、定點(diǎn)定值問題、最值問題等。運(yùn)算能力是解決此類問題的關(guān)鍵。（三）代數(shù)與數(shù)論類這部分內(nèi)容強(qiáng)調(diào)邏輯推理和運(yùn)算求解能力。*集合與常用邏輯用語：集合的基本運(yùn)算、四種命題、充分必要條件的判斷，多為送分題，位于試卷開頭。*數(shù)列：等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式是基礎(chǔ)。遞推數(shù)列求通項(xiàng)、數(shù)列求和（如裂項(xiàng)相消、錯(cuò)位相減）以及數(shù)列與不等式的綜合是高考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)。*不等式：不等式的性質(zhì)、一元二次不等式的解法、基本不等式的應(yīng)用。不等式常與函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等知識結(jié)合考查。*計(jì)數(shù)原理與概率統(tǒng)計(jì)（理）/概率統(tǒng)計(jì)（文）：*計(jì)數(shù)原理：排列、組合的概念及應(yīng)用，二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用（理科）。*概率：古典概型、幾何概型、互斥事件與獨(dú)立事件的概率。*統(tǒng)計(jì)：抽樣方法、用樣本估計(jì)總體（頻率分布直方圖、數(shù)字特征）、回歸分析、獨(dú)立性檢驗(yàn)。這部分內(nèi)容貼近生活，考查實(shí)際應(yīng)用能力，是解答題的必考內(nèi)容之一。*復(fù)數(shù)：復(fù)數(shù)的概念、四則運(yùn)算，為小題必考內(nèi)容，難度較低。*算法初步：程序框圖的識別與運(yùn)行結(jié)果的判斷，多為小題。（四）其他重要內(nèi)容*三角函數(shù)與三角恒等變換：同角三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式、兩角和與差的三角函數(shù)公式、二倍角公式是進(jìn)行三角化簡求值的基礎(chǔ)。正弦定理、余弦定理則是解三角形的核心工具。*平面向量：向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積及其幾何意義，向量在幾何、物理中的應(yīng)用。二、模擬試題與解析（一）選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合A={x|x2-3x+2<0}，B={x|log?x>0}，則A∩B=（）A.(1,2)B.(0,1)C.(1,+∞)D.(2,+∞)解析：本題考查集合的運(yùn)算及不等式解法。解不等式x2-3x+2<0，得(x-1)(x-2)<0，即1<x<2，所以A=(1,2)。解不等式log?x>0，即log?x>log?1，得x>1，所以B=(1,+∞)。則A∩B=(1,2)，故選A。2.函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期和圖象的一條對稱軸方程分別是（）A.π，x=π/12B.2π，x=π/12C.π，x=π/6D.2π，x=π/6解析：本題考查三角函數(shù)的周期性和對稱性。函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期T=2π/|ω|，這里ω=2，所以T=π。對稱軸方程滿足2x+π/3=kπ+π/2(k∈Z)，解得x=kπ/2+π/12(k∈Z)。當(dāng)k=0時(shí)，x=π/12，故選A。3.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積是（）（此處省略三視圖，假設(shè)為一個(gè)底面半徑為1，高為3的圓柱挖去一個(gè)同底等高的圓錐）A.πcm3B.2πcm3C.3πcm3D.4πcm3解析：本題考查由三視圖還原幾何體及體積計(jì)算。由三視圖可知，該幾何體為一個(gè)圓柱挖去一個(gè)同底等高的圓錐。圓柱體積V?=πr2h=π×12×3=3π。圓錐體積V?=(1/3)πr2h=(1/3)π×12×3=π。所以該幾何體體積V=V?-V?=3π-π=2π，故選B。4.已知向量a=(1,m)，b=(m,2)，若a//b，則實(shí)數(shù)m等于（）A.√2B.-√2C.√2或-√2D.0解析：本題考查向量平行的坐標(biāo)表示。若向量a=(x?,y?)與向量b=(x?,y?)平行，則x?y?-x?y?=0。由題意得1×2-m×m=0，即m2=2，解得m=√2或m=-√2，故選C。（二）填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）5.若x，y滿足約束條件x+y≥1，x-y≤1，y≤1，則z=2x+y的最大值為______。解析：本題考查線性規(guī)劃求最值。畫出可行域（由三條直線x+y=1，x-y=1，y=1圍成的三角形區(qū)域）。目標(biāo)函數(shù)z=2x+y可化為y=-2x+z，其斜率為-2。平移直線y=-2x，可知當(dāng)直線經(jīng)過可行域的頂點(diǎn)(2,1)時(shí)，z取得最大值。代入得z=2×2+1=5。故填5。6.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a?+a?=10，a?=7，則數(shù)列{an}的公差d=______。解析：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及性質(zhì)。方法一：因?yàn)閧an}是等差數(shù)列，所以a?+a?=2a?=10，得a?=5。又a?=a?+2d=5+2d=7，解得d=1。方法二：設(shè)首項(xiàng)為a?，公差為d，則有a?+(a?+2d)=10，a?+3d=7。即2a?+2d=10，a?+3d=7。化簡得a?+d=5，與a?+3d=7聯(lián)立，兩式相減得2d=2，d=1。故填1。（三）解答題（本大題共3小題，共40分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）7.（本小題滿分12分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cosA=3/5，a=4。（Ⅰ）若b=5，求sinB的值；（Ⅱ）若△ABC的面積S=6，求b+c的值。解析：本題考查正弦定理、余弦定理及三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用。（Ⅰ）在△ABC中，因?yàn)閏osA=3/5，且0<A<π，所以sinA=√(1-cos2A)=√(1-(9/25))=4/5。由正弦定理a/sinA=b/sinB，得4/(4/5)=5/sinB，即5=5/sinB，解得sinB=1。（Ⅱ）因?yàn)椤鰽BC的面積S=(1/2)bcsinA=6，sinA=4/5，所以(1/2)bc×(4/5)=6，即(2/5)bc=6，解得bc=15。由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，得16=b2+c2-2×15×(3/5)。即16=b2+c2-18，所以b2+c2=34。則(b+c)2=b2+c2+2bc=34+2×15=64，所以b+c=8（負(fù)值舍去）。8.（本小題滿分14分）已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x。（Ⅰ）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,3]上的最大值和最小值。解析：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值。（Ⅰ）函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽。f'(x)=3x2-6x+2。令f'(x)=0，即3x2-6x+2=0，解得x=[6±√(36-24)]/(2×3)=[6±√12]/6=[6±2√3]/6=1±(√3)/3。當(dāng)x變化時(shí)，f'(x)，f(x)的變化情況如下表：x|(-∞,1-√3/3)|1-√3/3|(1-√3/3,1+√3/3)|1+√3/3|(1+√3/3,+∞)f'(x)|+|0|-|0|+f(x)|↗|極大值|↘|極小值|↗所以，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,1-√3/3)和(1+√3/3,+∞)；單調(diào)遞減區(qū)間是(1-√3/3,1+√3/3)。（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，函數(shù)f(x)在[0,1+√3/3]上單調(diào)遞減，在[1+√3/3,3]上單調(diào)遞增。計(jì)算函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)及極值點(diǎn)處的值：f(0)=03-3×02+2×0=0。f(1+√3/3)：此處計(jì)算略復(fù)雜，可先計(jì)算f(1)=1-3+2=0，f(2)=8-12+4=0。1+√3/3≈1+0.577≈1.577，在(1,2)之間，且f(x)在該點(diǎn)取極小值，由f(1)=f(2)=0，可推測極小值為負(fù)（具體計(jì)算f(1.5)=3.375-6.75+3=-0.375<0）。f(3)=27-27+6=6。比較可得，函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,3]上的最大值為f(3)=6，最小值為f(1+√3/3)（具體值可不求，但其值小于f(1)=0）。9.（本小題滿分14分）已知橢圓C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為√2/2，且過點(diǎn)(1,√2/2)。（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)直線l:y=kx+m與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若kOA·kOB=-1/2，求證：△AOB的面積為定值。解析：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)以及直線與橢圓的位置關(guān)系，涉及定值問題。（Ⅰ）由題意得e=c/a=√2/2，所以c=(√2/2)a。又a2=b2+c2，所以a2=b2+(1/2)a2，即b2=(1/2)a2，a2=2b2。因?yàn)闄E圓過點(diǎn)(1,√2/2)，代入橢圓方程得12/a2+((√2/2))2/b2=1，即1/a2+(1/2)/b2=1。將a2=2b2代入上式，得1/(2b2)+1/(2b2)=1，即2/(2b2)=1，b2=1，所以a2=2。故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2/2+y2=1。（Ⅱ）證明：設(shè)A(x?,y?)，B(x?,y?)。聯(lián)立方程組{y=kx+m,x2/2+y2=1}，消去y得x2/2+(kx+m)2=1。整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0。則Δ