九年級(jí)數(shù)學(xué)三角形專題復(fù)習(xí)：系統(tǒng)梳理與能力提升三角形作為平面幾何的基石，貫穿了整個(gè)初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)歷程，亦是中考數(shù)學(xué)的核心考查內(nèi)容之一。本專題旨在幫助同學(xué)們系統(tǒng)梳理三角形的相關(guān)知識(shí)，鞏固基礎(chǔ)，掌握常見題型的解題思路與方法，提升綜合運(yùn)用能力。我們將從基本概念入手，逐步深入到全等、相似等重要性質(zhì)與判定，最后輔以綜合題型的解析與練習(xí)，力求全面覆蓋，重點(diǎn)突出。一、三角形的基本概念與性質(zhì)（一）三角形的定義與構(gòu)成要素由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的封閉圖形叫做三角形。組成三角形的線段叫做三角形的邊，相鄰兩邊的公共端點(diǎn)叫做三角形的頂點(diǎn)，相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角。關(guān)鍵點(diǎn)撥：理解三角形的定義需注意“不在同一直線上”和“封閉圖形”這兩個(gè)核心條件。（二）三角形的分類1.按邊的關(guān)系分類：*不等邊三角形：三條邊都不相等的三角形。*等腰三角形：有兩條邊相等的三角形（等邊三角形是特殊的等腰三角形）。2.按角的關(guān)系分類：*銳角三角形：三個(gè)角都是銳角的三角形。*直角三角形：有一個(gè)角是直角的三角形（夾直角的兩邊叫做直角邊，直角所對(duì)的邊叫做斜邊）。*鈍角三角形：有一個(gè)角是鈍角的三角形。例題1：已知一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別為50°和60°，則這個(gè)三角形是（）A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.無法確定分析與解答：三角形內(nèi)角和為180°，故第三個(gè)角為180°-50°-60°=70°。三個(gè)角均為銳角，因此該三角形為銳角三角形，選A。解題反思：已知兩角求第三角，再根據(jù)角的大小判斷三角形類型是基本題型，關(guān)鍵在于牢記三角形內(nèi)角和定理。（三）三角形的重要性質(zhì)1.三邊關(guān)系：三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。*作用：判斷三條線段能否組成三角形；已知兩邊，確定第三邊的取值范圍。2.三角關(guān)系：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°。*推論：直角三角形的兩個(gè)銳角互余；三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角。3.穩(wěn)定性：三角形具有穩(wěn)定性，而四邊形不具有穩(wěn)定性。例題2：若三角形的兩邊長分別為3和5，則第三邊的長可能是（）A.1B.2C.8D.7分析與解答：設(shè)第三邊為x，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，5-3<x<5+3，即2<x<8。選項(xiàng)中只有D選項(xiàng)7在此范圍內(nèi)，故選D。解題反思：此類問題直接應(yīng)用三邊關(guān)系不等式即可解決，注意“大于”和“小于”是嚴(yán)格的，不包含等號(hào)。（四）三角形中的重要線段1.中線：連接三角形一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊中點(diǎn)的線段。*性質(zhì)：三角形的三條中線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)叫做三角形的重心。重心到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)距離的兩倍。2.高線（高）：從三角形一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段。*性質(zhì)：三角形的三條高線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)叫做三角形的垂心。銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)部，直角三角形的垂心在直角頂點(diǎn)，鈍角三角形的垂心在三角形外部。3.角平分線：三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段。*性質(zhì)：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心。內(nèi)心到三角形三邊的距離相等。4.中位線：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段。*性質(zhì)：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。例題3：如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，若BC=6，則DE的長為（）分析與解答：因?yàn)镈、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，所以DE是△ABC的中位線。根據(jù)三角形中位線性質(zhì)，DE=1/2BC=1/2×6=3。故DE的長為3。解題反思：中位線性質(zhì)是證明線段平行和數(shù)量關(guān)系的重要依據(jù)，應(yīng)熟練掌握。二、全等三角形（一）全等三角形的定義與性質(zhì)能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，重合的角叫做對(duì)應(yīng)角。性質(zhì)：1.全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等。2.全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。3.全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的中線、高線、對(duì)應(yīng)角的角平分線分別相等。4.全等三角形的周長相等，面積相等。關(guān)鍵點(diǎn)撥：“對(duì)應(yīng)”是理解和應(yīng)用全等三角形性質(zhì)的關(guān)鍵，書寫全等三角形時(shí)，通常把對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上，以便快速找到對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角。（二）全等三角形的判定1.SSS（邊邊邊）：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。2.SAS（邊角邊）：兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。*注意：“夾角”是指兩條邊所夾的角，不可誤用成“任意角”。3.ASA（角邊角）：兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。4.AAS（角角邊）：兩角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。5.HL（斜邊、直角邊）：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。（僅適用于直角三角形）例題4：已知：如圖，點(diǎn)A、F、C、D在同一直線上，AF=DC，AB∥DE，AB=DE。求證：△ABC≌△DEF。分析：要證△ABC≌△DEF，已知AF=DC，可得AF+FC=DC+FC，即AC=DF。又AB∥DE，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠A=∠D。已知AB=DE。此時(shí)有兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等，可利用SAS判定全等。證明：∵AF=DC，∴AF+FC=DC+FC，即AC=DF?！逜B∥DE，∴∠A=∠D（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）。在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠A=∠D，AC=DF，∴△ABC≌△DEF（SAS）。解題反思：證明三角形全等時(shí)，需仔細(xì)分析已知條件，選擇合適的判定方法。注意挖掘題目中的隱含條件，如公共邊、公共角、對(duì)頂角等。三、等腰三角形與直角三角形（一）等腰三角形1.定義：有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形。相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角。2.性質(zhì)：*等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡寫成“等邊對(duì)等角”）。*等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合（簡寫成“三線合一”）。3.判定：*定義法：有兩邊相等的三角形是等腰三角形。*如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡寫成“等角對(duì)等邊”）。例題5：等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為70°，則它的另外兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別是（）分析與解答：本題需分情況討論。情況一：70°角為頂角，則底角的度數(shù)為（180°-70°）÷2=55°。此時(shí)另外兩個(gè)內(nèi)角為55°，55°。情況二：70°角為底角，則另一個(gè)底角也為70°，頂角的度數(shù)為180°-70°-70°=40°。此時(shí)另外兩個(gè)內(nèi)角為70°，40°。綜上，另外兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別是55°，55°或70°，40°。解題反思：等腰三角形中，當(dāng)已知一個(gè)內(nèi)角求其他角時(shí)，需注意該內(nèi)角可能是頂角也可能是底角（鈍角只能是頂角），必要時(shí)進(jìn)行分類討論，避免漏解。（二）等邊三角形1.定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，也叫正三角形。2.性質(zhì)：*等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)內(nèi)角都等于60°。*等邊三角形具有等腰三角形的所有性質(zhì)，并且“三線合一”的性質(zhì)更為突出。3.判定：*定義法：三條邊都相等的三角形是等邊三角形。*三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。*有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形。（三）直角三角形1.定義：有一個(gè)角是直角（90°）的三角形叫做直角三角形。2.性質(zhì)：*直角三角形的兩個(gè)銳角互余。*在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。*在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半。*勾股定理：直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，即a2+b2=c2。3.判定：*定義法：有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形。*有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形。*勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a、b、c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形。例題6：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=4，則AB的長為（）分析與解答：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，根據(jù)直角三角形性質(zhì)，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。因?yàn)锽C是∠A的對(duì)邊，AB是斜邊，所以BC=1/2AB。已知BC=4，所以AB=2BC=8。解題反思：30°角直角三角形的性質(zhì)是解決線段長度問題的常用工具，應(yīng)牢記。四、相似三角形（一）相似三角形的定義與性質(zhì)1.定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形。相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比（或相似系數(shù)）。2.性質(zhì)：*相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等。*相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例。*相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比。*相似三角形周長的比等于相似比。*相似三角形面積的比等于相似比的平方。（二）相似三角形的判定1.預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。2.AA（角角）：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似。3.SAS（邊角邊）：如果一個(gè)三角形的兩條邊和另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。4.SSS（邊邊邊）：如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似。5.直角三角形相似的特殊判定：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似。例題7：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，DE∥BC。若AD=2，DB=3，AE=1，則EC的長為（）分析：因?yàn)镈E∥BC，根據(jù)相似三角形的預(yù)備定理，可得△ADE∽△ABC。所以AD/AB=AE/AC。已知AD=2，DB=3，則AB=AD+DB=5。AE=1，設(shè)EC=x，則AC=AE+EC=1+x。代入比例式：2/5=1/(1+x)，解得x=3/2。故EC的長為3/2。解題反思：由平行線得到相似是常見的相似三角形模型，注意找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)邊，正確列出比例式求解。（三）相似三角形的應(yīng)用相似三角形的知識(shí)在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，如測量物體的高度、寬度，計(jì)算不可直接到達(dá)的距離等，其基本思路是構(gòu)造相似三角形，利用相似比求解。五、三角形綜合題選講例題8：已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AD上。求證：BE=CE。分析：要證BE=CE，可考慮證明△ABE≌△ACE或△BDE≌△CDE。已知AB=AC，點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，易知AD是等腰△ABC底邊BC上的中線，根據(jù)“三線合一”，AD也是頂角∠BAC的平分線和底邊BC上的高。因此，∠BAE=∠CAE，且AD⊥BC，BD=CD。證法一（利用△ABE≌△ACE）：∵AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴AD平分∠BAC（等腰三角形三線合一）。∴∠BAE=∠CAE。在△ABE和△ACE中，AB=AC，∠BAE=∠CAE，AE=AE（公共邊），∴△ABE≌△ACE（SAS）?！郆E=CE。證法二（利用△BDE≌△CDE）：∵AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC（等腰三角形三線合一）?！唷螧DE=∠CDE=90°?！唿c(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴BD=CD。在△BDE和△CDE中，BD=CD，∠BDE=∠CDE，DE=DE（公共邊），∴△BDE≌△CDE（SAS）?！郆E=CE。解題反思：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)?！叭€合一”是等腰三角形中一個(gè)非常重要的性質(zhì)，它為我們提供了角相等、線段相等以及垂直關(guān)系的證明依據(jù)，應(yīng)靈活運(yùn)用。六、鞏固練習(xí)A組基礎(chǔ)題1.三角形的內(nèi)角和等于______度。2.若一個(gè)三角形的兩邊長分別是2和4，則第三邊的長可能是（）A.1B.2C.4D.63.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，則AC的長為______。4.已知△ABC≌△DEF，若∠A=50°，∠B=60°，則∠F=______度。5.等腰三角形的兩邊長分別為3和7，則它的周長為______。B組提高題6.如圖，點(diǎn)B、E、C、F在同一直線上，AB=DE，AC=DF，BE=CF。求證：AB∥DE。7.已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC的中點(diǎn)，DE⊥AB于E。求證：BE2=AE2+BC2。8.如圖，在△ABC中，AB