函數(shù)的連續(xù)性教例教案（2025—2026學(xué)年）一、教學(xué)分析教材分析：本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容為函數(shù)的連續(xù)性，屬于高中數(shù)學(xué)課程中的函數(shù)性質(zhì)部分。根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求，這一部分旨在幫助學(xué)生深入理解函數(shù)的基本性質(zhì)，為后續(xù)學(xué)習(xí)極限、導(dǎo)數(shù)等概念打下基礎(chǔ)。在單元乃至整個(gè)課程體系中，函數(shù)的連續(xù)性是連接初等函數(shù)與高等數(shù)學(xué)的橋梁，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和邏輯推理能力有著重要的影響。核心概念包括函數(shù)連續(xù)性的定義、判斷方法以及連續(xù)性的性質(zhì)，技能方面則側(cè)重于連續(xù)性問題的分析和解決。學(xué)情分析：高中學(xué)生對(duì)函數(shù)已有一定的認(rèn)識(shí)，能夠理解函數(shù)的基本概念和性質(zhì)。在生活經(jīng)驗(yàn)方面，學(xué)生可能對(duì)連續(xù)性有一定的直觀感受，但對(duì)其數(shù)學(xué)定義和理論認(rèn)識(shí)較淺。技能水平上，學(xué)生對(duì)連續(xù)性問題的解決可能存在困難，尤其是對(duì)間斷點(diǎn)、極限等概念的理解和應(yīng)用。認(rèn)知特點(diǎn)上，學(xué)生可能對(duì)連續(xù)性的概念存在混淆，容易將連續(xù)性與函數(shù)的圖像變化混淆。興趣傾向方面，學(xué)生對(duì)抽象數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)可能興趣不高。因此，教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)關(guān)注學(xué)生的已有知識(shí)，通過實(shí)例和生活經(jīng)驗(yàn)激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)針對(duì)易錯(cuò)點(diǎn)和混淆點(diǎn)進(jìn)行重點(diǎn)講解。教學(xué)目標(biāo)與策略：教學(xué)目標(biāo)包括理解函數(shù)連續(xù)性的定義，掌握判斷連續(xù)性的方法，能夠解決與連續(xù)性相關(guān)的問題。教學(xué)策略上，將采用實(shí)例教學(xué)、小組討論、問題解決等方法，通過直觀演示和邏輯推理相結(jié)合的方式，幫助學(xué)生理解抽象概念。同時(shí)，注重學(xué)生的個(gè)性化學(xué)習(xí)，針對(duì)不同學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和學(xué)習(xí)困難，提供個(gè)性化的指導(dǎo)和支持。二、教學(xué)目標(biāo)知識(shí)目標(biāo)：說出函數(shù)連續(xù)性的定義，并能舉例說明。列舉并解釋函數(shù)間斷點(diǎn)的類型及其特征。解釋函數(shù)連續(xù)性與極限之間的關(guān)系。能力目標(biāo)：設(shè)計(jì)并判斷給定函數(shù)在特定區(qū)間內(nèi)的連續(xù)性。通過分析函數(shù)圖像，識(shí)別并描述函數(shù)的間斷點(diǎn)。應(yīng)用連續(xù)性性質(zhì)解決實(shí)際問題，如證明函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)連續(xù)。情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)抽象概念的興趣和探究欲望。增強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的信心。培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維和邏輯推理能力?？茖W(xué)思維目標(biāo)：發(fā)展學(xué)生通過觀察、分析、歸納等科學(xué)方法理解函數(shù)連續(xù)性的能力。培養(yǎng)學(xué)生從多個(gè)角度思考問題，形成多元思維習(xí)慣。提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)和交流的能力?？茖W(xué)評(píng)價(jià)目標(biāo)：能夠評(píng)價(jià)自己或他人對(duì)函數(shù)連續(xù)性概念的理解程度。評(píng)估自己解決連續(xù)性問題的策略和方法的有效性。在考試中準(zhǔn)確判斷函數(shù)的連續(xù)性，并給出合理的解釋。三、教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)連續(xù)性的定義、判斷方法和性質(zhì)，是理解函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)。教學(xué)難點(diǎn)：理解間斷點(diǎn)的類型和連續(xù)性的性質(zhì)，特別是如何分析復(fù)雜函數(shù)的連續(xù)性，對(duì)學(xué)生抽象思維和邏輯推理能力要求較高。這些難點(diǎn)與函數(shù)概念的抽象性和學(xué)生先備知識(shí)不足有關(guān)，需要通過實(shí)例分析和逐步引導(dǎo)來突破。四、教學(xué)準(zhǔn)備為了確保教學(xué)活動(dòng)的順利進(jìn)行，教師需準(zhǔn)備包括多媒體課件、圖表、模型等教具，以及音頻視頻資料，以輔助學(xué)生理解函數(shù)連續(xù)性的概念。學(xué)生方面，需預(yù)習(xí)教材內(nèi)容，并收集相關(guān)資料，準(zhǔn)備畫筆、計(jì)算器等學(xué)習(xí)用具。此外，還需設(shè)計(jì)合理的教學(xué)環(huán)境，如小組座位排列和黑板板書框架，以便于學(xué)生互動(dòng)和知識(shí)呈現(xiàn)。詳盡的準(zhǔn)備將有助于教學(xué)流程的順暢和高效。五、教學(xué)過程1.導(dǎo)入時(shí)間預(yù)估：5分鐘活動(dòng)設(shè)計(jì)：教師通過提問的方式引入話題：“同學(xué)們，你們?cè)谌粘Ｉ钪杏袥]有遇到過連續(xù)性的事物？比如，溫度的變化、時(shí)間的流逝等?！闭故疽幌盗羞B續(xù)性變化的圖片或視頻，如氣溫變化圖、日歷等，引導(dǎo)學(xué)生思考連續(xù)性的概念。學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生觀察圖片或視頻，思考并回答教師的問題。學(xué)生分享自己對(duì)連續(xù)性事物的理解。預(yù)期行為：學(xué)生能夠初步理解連續(xù)性的概念。學(xué)生能夠?qū)⑦B續(xù)性概念與實(shí)際生活聯(lián)系起來。2.新授時(shí)間預(yù)估：20分鐘活動(dòng)設(shè)計(jì)：函數(shù)連續(xù)性的定義：教師講解函數(shù)連續(xù)性的定義，并通過實(shí)例演示如何判斷函數(shù)在某一點(diǎn)處是否連續(xù)。連續(xù)性的性質(zhì)：介紹連續(xù)性的性質(zhì)，如介值定理、最大值最小值定理等，并通過實(shí)例講解這些性質(zhì)的應(yīng)用。間斷點(diǎn)：講解間斷點(diǎn)的類型，如可去間斷點(diǎn)、跳躍間斷點(diǎn)、無窮間斷點(diǎn)等，并舉例說明。學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生認(rèn)真聽講，記錄重點(diǎn)內(nèi)容。學(xué)生跟隨教師的演示，嘗試判斷函數(shù)在某一點(diǎn)處是否連續(xù)。學(xué)生參與討論，提出問題并解答。預(yù)期行為：學(xué)生能夠理解函數(shù)連續(xù)性的定義和性質(zhì)。學(xué)生能夠判斷函數(shù)在某一點(diǎn)處是否連續(xù)。學(xué)生能夠識(shí)別并解釋不同類型的間斷點(diǎn)。3.鞏固時(shí)間預(yù)估：15分鐘活動(dòng)設(shè)計(jì)：小組討論：將學(xué)生分成小組，每個(gè)小組討論一個(gè)關(guān)于函數(shù)連續(xù)性的問題，如“如何判斷一個(gè)分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)性？”問題解決：教師提出一系列關(guān)于函數(shù)連續(xù)性的問題，要求學(xué)生獨(dú)立解決，并給出解答思路。學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生參與小組討論，分享自己的觀點(diǎn)和解答思路。學(xué)生獨(dú)立解決問題，并嘗試給出解答。預(yù)期行為：學(xué)生能夠通過小組討論和問題解決，鞏固對(duì)函數(shù)連續(xù)性的理解。學(xué)生能夠運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題。4.小結(jié)時(shí)間預(yù)估：5分鐘活動(dòng)設(shè)計(jì)：教師總結(jié)本節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)函數(shù)連續(xù)性的定義、性質(zhì)和間斷點(diǎn)。教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程，總結(jié)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，總結(jié)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生提出對(duì)本節(jié)課的疑問，教師解答。預(yù)期行為：學(xué)生能夠回顧并總結(jié)本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容。學(xué)生能夠提出問題，并嘗試解答。5.作業(yè)時(shí)間預(yù)估：10分鐘活動(dòng)設(shè)計(jì)：教師布置作業(yè)，要求學(xué)生完成以下任務(wù)：判斷給定函數(shù)在特定區(qū)間內(nèi)的連續(xù)性。分析并解釋一個(gè)復(fù)雜函數(shù)的連續(xù)性。證明一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)連續(xù)。學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成作業(yè)，并提交。預(yù)期行為：學(xué)生能夠運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題。學(xué)生能夠通過作業(yè)鞏固對(duì)函數(shù)連續(xù)性的理解。6.教學(xué)反思時(shí)間預(yù)估：5分鐘活動(dòng)設(shè)計(jì)：教師對(duì)本節(jié)課的教學(xué)過程進(jìn)行反思，總結(jié)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，并提出改進(jìn)措施。學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生分享自己的學(xué)習(xí)感受，提出對(duì)本節(jié)課的建議。預(yù)期行為：教師能夠反思教學(xué)過程，不斷改進(jìn)教學(xué)方法。學(xué)生能夠積極參與教學(xué)反思，提出建設(shè)性意見。六、作業(yè)設(shè)計(jì)基礎(chǔ)性作業(yè)：內(nèi)容：完成教材中關(guān)于函數(shù)連續(xù)性的練習(xí)題，包括判斷函數(shù)在某點(diǎn)處是否連續(xù)、分析間斷點(diǎn)類型等基礎(chǔ)題目。完成形式：書面練習(xí)，獨(dú)立完成。提交時(shí)限：下節(jié)課前。能力培養(yǎng)目標(biāo)：鞏固學(xué)生對(duì)函數(shù)連續(xù)性定義和性質(zhì)的理解，提高基本計(jì)算和判斷能力。拓展性作業(yè)：內(nèi)容：選擇一個(gè)實(shí)際生活中的場(chǎng)景，如氣溫變化、股票價(jià)格波動(dòng)等，分析其連續(xù)性，并嘗試用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述。完成形式：書面報(bào)告，包括問題描述、數(shù)學(xué)模型、分析過程和結(jié)論。提交時(shí)限：兩周后。能力培養(yǎng)目標(biāo)：提升學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問題的能力，培養(yǎng)邏輯思維和創(chuàng)新能力。探究性/創(chuàng)造性作業(yè)：內(nèi)容：設(shè)計(jì)一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)游戲，其中包含函數(shù)連續(xù)性的元素，并編寫游戲規(guī)則和玩法說明。完成形式：小組合作，制作游戲原型和說明文檔。提交時(shí)限：一個(gè)月后。能力培養(yǎng)目標(biāo)：激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力和團(tuán)隊(duì)合作精神，提高解決問題的綜合能力。七、教學(xué)反思學(xué)情分析與教學(xué)目標(biāo)達(dá)成：本節(jié)課通過引入實(shí)際生活情境，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，但部分學(xué)生在理解函數(shù)連續(xù)性的定義和性質(zhì)時(shí)仍顯吃力。雖然教學(xué)目標(biāo)基本達(dá)成，但學(xué)生的個(gè)體差異明顯，需要進(jìn)一步細(xì)化教學(xué)策略，針對(duì)不同層次的學(xué)生提供差異化支持。教學(xué)環(huán)節(jié)與生成性問題：在小組討論環(huán)節(jié)，學(xué)生參與度較高，但討論過程中出現(xiàn)了一些偏離主題的現(xiàn)象。對(duì)此，我及時(shí)引導(dǎo)討論方向，確保了教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)。然而，對(duì)于一些生成性問題，如學(xué)生提出的關(guān)于函數(shù)連續(xù)性在實(shí)際工程中的應(yīng)用，我沒有及時(shí)給出滿意的答案，這提醒我在今后的教學(xué)中要更加關(guān)注學(xué)生的個(gè)性化需求。教學(xué)資源的運(yùn)用與改進(jìn)思路：教學(xué)中使用了多媒體課件和實(shí)際案例，這些資源有效提高了學(xué)生的參與度和理解力。但同時(shí)也發(fā)現(xiàn)，部分學(xué)生對(duì)于直觀教具的依賴性較強(qiáng)，因此在今后的教學(xué)中，我將更多地鼓勵(lì)學(xué)生自主探索，通過實(shí)驗(yàn)和操作來加深對(duì)知識(shí)的理解，同時(shí)提升學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力。八、本節(jié)知識(shí)清單及拓展1.函數(shù)連續(xù)性的定義：函數(shù)在某一點(diǎn)連續(xù)意味著在該點(diǎn)的左極限、右極限和函數(shù)值都相等，且極限存在。2.連續(xù)性的性質(zhì)：函數(shù)在連續(xù)區(qū)間內(nèi)保持其連續(xù)性，且連續(xù)函數(shù)的可導(dǎo)性是連續(xù)性的必要條件。3.間斷點(diǎn)的類型：間斷點(diǎn)分為可去間斷點(diǎn)、跳躍間斷點(diǎn)和無窮間斷點(diǎn)，每種類型都有其特定的特征和判斷方法。4.連續(xù)性的判斷方法：通過分析函數(shù)在間斷點(diǎn)附近的極限和函數(shù)值來判斷其連續(xù)性。5.介值定理：如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，那么在這個(gè)區(qū)間內(nèi)任意兩點(diǎn)之間的函數(shù)值所對(duì)應(yīng)的值，函數(shù)值都能取到。6.最大值最小值定理：連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上一定能取得最大值和最小值。7.分段函數(shù)的連續(xù)性：分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)性需要特別考慮左右極限的存在性和相等性。8.連續(xù)性與極限的關(guān)系：函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)是函數(shù)在該點(diǎn)極限存在的充分必要條件。9.連續(xù)性在幾何直觀上的表現(xiàn)：連續(xù)函數(shù)的圖像是一條不間斷的曲線。10.連續(xù)性在實(shí)際問題中的應(yīng)用：連續(xù)性概念在物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用，如溫度變化、價(jià)格波動(dòng)等。11.連續(xù)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：連續(xù)函數(shù)在其連續(xù)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，但可導(dǎo)函數(shù)不一定連續(xù)。12.連續(xù)性在數(shù)學(xué)證明中的應(yīng)用：連續(xù)性是證明函數(shù)性質(zhì)和解決數(shù)學(xué)問題的重要工具。13.連續(xù)性與微分方程的關(guān)系：連續(xù)函數(shù)可以用于構(gòu)建微分方程，研究動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的行為。14.連續(xù)性與拓?fù)鋵W(xué)的關(guān)系：連續(xù)性是拓?fù)鋵W(xué)中的一個(gè)基本概念，用于描述空間的結(jié)構(gòu)。15.連續(xù)性與積分的關(guān)系：連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上可以積分，積分可以用來計(jì)算面積、體積等。16.連續(xù)性與實(shí)際測(cè)量誤差的關(guān)