第12章

全等三角形12.4逆命題和逆定理2.

線段垂直平分線

知識關(guān)聯(lián)探究與應用 課堂小結(jié)與檢測知識關(guān)聯(lián)線段垂直平分線的定義是什么？如果一條直線垂直平分已知線段，那么該直線是已知線段的垂直平分線(簡稱“中垂線”).如圖，直線l⊥AB于點O且OA=OB,則直線l是AB的垂直平分線.ABlO

【探究1】線段垂直平分線的性質(zhì)定理【猜想】探究與應用1.作線段AB并作它的垂直平分線MN；2.在MN上任取一點P，將線段沿直線MN對折，連結(jié)PA、PB；3.量一量PA、PB的長，你發(fā)現(xiàn)了什么？4.在MN上另取一點Q,連結(jié)QA、QB，量一量QA、QB的長，你又發(fā)現(xiàn)了什么？猜想：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等.MABNPQ

【探究1】線段垂直平分線的性質(zhì)定理探究與應用【證明】MNPACB已知：如圖，MN丄AB，垂足為點C，AC=BC，點P是直線MN上的任意一點.求證：PA=PB.分析：要得到PA=PB△APC≌△BPC邊:角:邊:AC=BC∠ACP=∠BCPPC=PC

【探究1】線段垂直平分線的性質(zhì)定理探究與應用MNPACB證明：∵MN⊥AB,∴∠ACP=∠BCP=90°.在△ACP和△BCP中,

∵

∴△ACP≌△BCP(SAS).

∴PA=PB(全等三角形的對應邊相等).AC=BC,∠ACP=∠BCP,PC=PC,

【探究1】線段垂直平分線的性質(zhì)定理【知識要點】探究與應用線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等.幾何語言：∵MN⊥AB，AC＝BC，點P在MN上，∴AP＝BP.MNPACBl點在線段垂直平分線上距離（線段）相等【作用】利用該性質(zhì)定理可以解決線段相等的問題.

【探究1】線段垂直平分線的性質(zhì)定理【應用】探究與應用解：∵DE是AB的垂直平分線，∴AD＝BD，∴BD＋CD＝AD＋CD＝AC＝5.(1)∵△BCD的周長為8，∴BC＝△BCD的周長－(BD＋CD)＝8－5＝3.(2)∵BC＝4，∴△BCD的周長＝BC＋(BD＋CD)＝4＋5＝9.

例1

如圖，在△ABC中，AC＝5，AB的垂直平分線DE分別交AB，AC于點E，D.(1)若△BCD的周長為8，求BC的長；(2)若BC＝4，求△BCD的周長．轉(zhuǎn)化思想

【探究2】線段垂直平分線的判定定理探究與應用【探索】寫出該性質(zhì)定理與它的逆命題的條件和結(jié)論，你有什么發(fā)現(xiàn)？條件結(jié)論性質(zhì)定理逆命題一個點在線段的垂直平分線上這個點到線段兩端的距離相等一個點到線段兩端的距離相等這個點在線段的垂直平分線上線段垂直平分線的性質(zhì)定理，條件和結(jié)論反過來會有什么結(jié)果呢？這個逆命題是不是一個真命題？你能證明嗎？

【探究2】線段垂直平分線的判定定理【證明】探究與應用逆命題如果一個點到線段兩端的距離相等，那么這個點在線段的垂直平分線上.已知：如圖，QA＝QB.求證：點Q在線段AB的垂直平分線上．分析：為了證明點Q在線段AB的垂直平分線上，思路1可以先過點Q作線段AB的垂線，然后證明該垂線平分線段AB；思路2可以先平分線段AB，設線段AB的中點為點C，然后證明QC垂直于線段AB．

【探究2】線段垂直平分線的判定定理探究與應用(法一)證明：過點Q作MN⊥AB，垂足為點C，∵QA=QB，QC⊥AB，∴AC=BC（等腰三角形的三線合一）.∴點Q在線段AB的垂直平分線上．已知：如圖，QA＝QB.求證：點Q在線段AB的垂直平分線上．你能寫出后一種添加輔助線的證明過程嗎？

【探究2】線段垂直平分線的判定定理探究與應用(法二)證明：取線段AB的中點C,則AC=BC.∵QA＝QB,AC=BC,∴QC⊥AB（等腰三角形的三線合一）.∴點Q在線段AB的垂直平分線上.ACBNMQ已知：如圖，QA＝QB.求證：點Q在線段AB的垂直平分線上．

【探究2】線段垂直平分線的判定定理【知識要點】探究與應用幾何語言:∵PA=PB，∴點P在AB的垂直平分線上．作用：判斷一個點是否在線段的垂直平分線上.PAB到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上.線段垂直平分線的判定定理：

【探究2】線段垂直平分線的判定定理探究與應用線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等PABlO點P在線段AB的垂直平分線上PA=PB線段垂直平分線的性質(zhì)定理到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上線段垂直平分線的判定定理結(jié)論：線段垂直平分線的性質(zhì)定理和判定定理是互逆定理.

【探究2】線段垂直平分線的判定定理探究與應用例2如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E.求證：直線AD是CE的垂直平分線．

證明：∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAC.∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°，∴∠AED＝∠ACB，在△ADE和△ADC中，∠DAE＝∠DAC，∵

∠AED＝∠ACB，AD=AD,∴△ADE≌△ADC，∴CD＝DE，AC＝AE，∴點D在CE的垂直平分線上，點A也在CE的垂直平分線上，∴直線AD是CE的垂直平分線．

【探究3】三角形三邊的垂直平分線交于一點【試一試】探究與應用分析：如圖，要證明三角形三邊的垂直平分線交于一點，只需證明其中兩條邊的垂直平分線的交點一定在第三條邊的垂直平分線上就可以了.其思路可表示如下：l是AB的垂直平分線m是BC的垂直平分線OA=OBOB=OCOA=OC點O在AC的垂直平分線n上試試看，現(xiàn)在你會證明了嗎？你能給出三角形三邊的垂直平分線交于一點的證明嗎？

【探究3】三角形三邊的垂直平分線交于一點探究與應用證明：連接OA，OB，OC.∵點O在AB，AC的垂直平分線上，∴OA=OB，OA=OC（線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等）.∴OB=OC.∴點O在BC的垂直平分線上(到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上）.BCAOlnm

課堂小結(jié)課堂小結(jié)與檢測線段垂直平分線性質(zhì)到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上

內(nèi)容判定內(nèi)容作用線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等

作用見垂直平分線，得線段相等判斷一個點是否在線段的垂直平分線上

達標檢測課堂小結(jié)與檢測1.如圖，直線CD是線段AB的垂直平分線，P為直線CD上的一點，已知線段PA＝5，則線段PB的長度為()A．6B．5C．4D．3B

達標檢測課堂小結(jié)與檢測2.如圖，點D在△ABC的BC邊上，且BC＝BD＋AD，則點D在線段()的垂直平分線上．A．AB

B．AC

C．BC

D．不確定B

達標檢測課堂小結(jié)與檢測3.有A、B、C三個村莊，現(xiàn)準備要建一所學校，要求學校到三個村莊的距離相等，請你確定學校的位置.ABCO分析：將A、B、C三個村莊看做A,B,C三點，將三點連起來，構(gòu)成一個三角形，實際上找的是一個到△ABC的三頂點距離相等的點，也就是三角形三邊垂直平分線的交點。mn解：步驟一，作線段AC的垂直平分線m；步驟二，作線段BC的垂直平分線n，與m交于點O.