第3講空間直線、平面的垂直(重點(diǎn)題型方法與技巧)目錄類型一：直線與平面垂直的判定定理類型二：利用直線與平面垂直證明線線平行類型三：利用直線與平面垂直證明線線垂直類型四：利用直線與平面垂直證明面面垂直類型五：面面垂直的性質(zhì)定理類型六：空間中的距離問題角度1：點(diǎn)面距角度2：線面距角度3：面面距類型七：直線與平面所成角角度1：求線面角角度2：由線面角求參數(shù)角度3：線面角最值問題角度4：直線與平面所成角探索性問題類型八：二面角角度1：求二面角角度2：由二面角求參數(shù)角度3：二面角最值問題角度4：二面角探索性問題類型九：新定義題類型一：直線與平面垂直的判定定理典型例題例題1．如圖，在四棱錐（圖一）和三棱錐（圖二）中，四邊形為正方形，平面，≌，將四棱錐和三棱錐重新組合成一個新的幾何體（圖三），且面和面完全重合，且，．(1)證明：平面；【答案】(1)證明見解析；【詳解】（1）因?yàn)槊婷?，故，?/，故底面為直角梯形，又，故可得，又，故，則；又面面，故，又四邊形為正方形，故，面，故面面，故；又面，故面.例題2．如圖，和都垂直于平面，且，，是的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求證：平面．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析（1）證明：（1）取的中點(diǎn)，連接，，∵是的中點(diǎn)，∴，，∵和都垂直于平面，∴，∵，∴，，∴四邊形為平行四邊形，從而，∵平面，平面，∴平面．（2）證明∵垂直于平面，平面，∴，∵，∴，∵，平面，∴平面，由（1）可知：，∴平面．例題3．如圖，在三棱錐中，，，為的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)若點(diǎn)在棱上，且，求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見解析；(2).【詳解】（1）連接OB，如圖，∵，∴，即△ABC是直角三角形，又O為AC的中點(diǎn)，∴，又∵，∴≌≌，∴．∴，OB、AC平面ABC∴PO⊥平面ABC．（2）由（1）得PO⊥平面ABC，在中，，．設(shè)點(diǎn)C到平面POM的距離為d，由，解得，∴點(diǎn)C到平面POM的距離為．同類題型演練1．如圖,四棱錐的底面為直角梯形,,底面,,設(shè)平面與平面的交線為．(1)證明:;(2)證明:平面;【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【詳解】（1）證明:由題可知,平面,平面,故平面,平面,平面平面,;（2）證明:底面,,底面為直角梯形,且,,平面,平面,平面,由(1)知,平面;2．在四棱錐中，底面是正方形，，．(1)求證：平面；(2)求異面直線與所成的角；【答案】(1)證明見解析，(2)，（1）證明：因?yàn)榈酌媸钦叫?，，，所以，所以，同理，因?yàn)?，平面，所以平面；?）解：連接，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以異面直線與所成的角為；3．如圖，在三棱錐中，底面，，分別為，的中點(diǎn).設(shè)平面與平面交于直線(1)求證：平面；(2)求證：∥.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.（1）因?yàn)槠矫?，平面，所?

因?yàn)?，，所以平?（2）在中，因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以.

因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?

因?yàn)槠矫媾c平面交于直線，所以∥.類型二：利用直線與平面垂直證明線線平行典型例題例題1．圓柱如圖所示，為下底面圓的直徑，為上底面圓的直徑，底面，證明：面【答案】證明見解析【詳解】證明：連接，，，可得平面，∵平面，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴且，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵平面，平面，∴平面例題2．如圖，已知多面體，平面平面，且，證明：平面.【答案】證明見解析.【詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，則，又，即四邊形為平行四邊形，因此，而平面平面，所以平面.例題3．如圖，在多面體中四邊形是正方形，平面，平面，.證明：平面平面.【答案】證明見解析【詳解】證明：∵平面，平面，∴.∵平面，平面，∴平面.∵四邊形是正方形，∴.∵平面，平面，∴平面.∵平面，平面，且，∴平面平面.同類題型演練1．如圖，四邊形是菱形，平面，平面，且，分別是的中點(diǎn)，證明：平面平面【答案】證明見解析【詳解】因分別是的中點(diǎn)，則有，又平面，平面，于是得平面，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接FO，如圖，因四邊形ABCD為菱形，則O為AC中點(diǎn)，而F為AB1中點(diǎn)，于是得，因平面，平面，因此，平面，又平面，平面，則有，而，于是得四邊形是平行四邊形，則有，又，平面，所以平面平面.2．如圖所示的多面體中，四邊形為矩形，，平面，求證：平面.【答案】證明見解析【詳解】因，則，，而，平面ABCD，于是得平面ABCD，因平面ABCD，則有，而平面BCF，平面BCF，從而得平面BCF，在矩形ABCD中，則，平面BCF，平面BCF，于是得平面BCF，而，平面ADE，因此，平面平面BCF，平面ADE，所以平面BCF.3．如圖，是正三角形，和都垂直于平面，且，，是的中點(diǎn)，求證：平面．【答案】證明見解析【詳解】證明：取的中點(diǎn)，連接，，可得，．因?yàn)槠矫?，平面，所以．又因?yàn)椋?，．所以四邊形是平行四邊形，所以．又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．類型三：利用直線與平面垂直證明線線垂直典型例題例題1．在三棱錐中，底面為等腰直角三角形，.(1)求證：；【答案】(1)證明見解析【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)為E，連結(jié)，∵，∴，在和中，∴，∴，∵的中點(diǎn)為E，∴，∵，∴面，∵面，∴例題2．如圖，在直四棱柱中，四邊形是菱形，，，，點(diǎn)是棱上的一點(diǎn)（與，不重合）.(1)求證：；【答案】(1)證明見解析；【詳解】（1）證明：如圖1，連結(jié).由已知可得，平面，平面，所以.又因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所?又平面，平面，，所以平面.因?yàn)槠矫?，所?例題3．如圖，在四棱錐中，，，，，，，平面，點(diǎn)是棱上的動點(diǎn)．(1)證明：；(2)設(shè)，求當(dāng)平面時的值．【答案】(1)證明見解析(2)．【詳解】（1）證明：由于平面且，所以平面，又平面，所以．由，得，即，解得或（舍），所以，即，又平面，，且，所以平面，而平面，因此．（2）連，交于點(diǎn)N，連，因?yàn)槠矫?，平面，平面平面，所以，故．在梯形中，根?jù)與相似，可得，所以，即當(dāng)平面時的值為．同類題型演練1．四棱錐，平面ABCD，底面ABCD是菱形，，平面平面PBC.(1)證明：⊥；【答案】(1)證明過程見解析【詳解】（1）如圖，過點(diǎn)A作AE⊥PB于點(diǎn)E，因?yàn)槠矫嫫矫鍼BC，交線為PB，且AE平面PAB，所以AE⊥平面PBC，因?yàn)槠矫鍼BC，所以AE⊥BC，因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以PA⊥BC，因?yàn)?，平面PAB，所以BC⊥平面PAB，因?yàn)锳B平面PAB，所以BC⊥AB；2．如圖，在四棱錐中，平面，底面為正方形，為線段的中點(diǎn)，.(1)求證：；【答案】(1)證明見解析【詳解】（1）由平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知，又因?yàn)榈酌鏋檎叫?，所以，又因?yàn)?，且PA,BA含于平面PAB,所以平面；為線段的中點(diǎn)，平面，所以，3．如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，，，點(diǎn)O是的中點(diǎn)．(1)求證：；【答案】(1)證明過程見解析；【詳解】（1）因?yàn)?，點(diǎn)O是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，而平面，所以；類型四：利用直線與平面垂直證明面面垂直典型例題例題1．如圖，在三棱柱中，平面平面（1）證明：平面平面；【答案】（1）證明見解析；【詳解】（1）由題知，四邊形為菱形，則，又平面平面，且AC為交線，，則平面，又平面，則，又，則平面，又平面，則平面平面；例題2．如圖，多面體中，是菱形，，平面，，且.(1)求證：平面平面；(2)求多面體的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）如圖所示，連接，平面，平面，，四邊形為菱形，，又，且，平面，平面，平面，平面平面；（2）如圖所示，取中點(diǎn)，連接，四邊形為菱形，且，，，平面，平面，，又，且，平面，平面，所以四棱錐的體積為，又因?yàn)槠矫妫匀忮F的體積，所以幾何體的體積.例題3．如圖，四棱錐的底面為矩形，，，，分別是，的中點(diǎn)，.（1）求證：平面；（2）求證：平面平面.【答案】（1）證明過程見詳解；（2）證明過程見詳解.【詳解】（1）設(shè)的中點(diǎn)為，連接,因?yàn)镕是PC的中點(diǎn)，所以有,又因?yàn)樗睦忮FP﹣ABCD的底面為矩形,E是AB的中點(diǎn),所以有，因此有,所以四邊形是平行四邊形，因此有,平面PAD，平面PAD，所以EF∥平面PAD；（2）在矩形中，設(shè)交于點(diǎn)，因?yàn)镋是AB的中點(diǎn),所以，因?yàn)?，所以∽，因此，而，所以，而DE⊥PA，平面PAC，所以平面PAC，而平面PDE，因此平面PAC⊥平面PDE.同類題型演練1．如圖，在四棱錐中，，，，，，，平面PAD，點(diǎn)M滿足．(1)若，求證：平面平面；【答案】(1)證明見解析【詳解】（1）證明：∵，，，∴．∵，∴，而，∴，，∴．∵平面PAD，平面ABCD，∴平面平面PAD且平面平面，由平面PAD，平面ABCD，平面ABCD，∴，且，，，∴，∴，又∵，平面PCM，∴平面PCM．又∵平面，∴平面平面.2．如圖，在四棱錐中，底面四邊形是平行四邊形，平面，且，的中點(diǎn)為．(1)求證：平面平面；【答案】(1)證明見解析【詳解】（1）由題意證明如下在平行四邊形中，，∴，∴在四棱錐中，平面，∵∴∵，，∴∵∴3．如圖，四面體中，，E為的中點(diǎn)．證明：平面平面【答案】證明見解析【詳解】證明：因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以；在和中，因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以；又因?yàn)槠矫?，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?類型五：面面垂直的性質(zhì)定理典型例題例題1．已知四棱錐中，底面，平面平面，，.(1)求證：平面；【答案】(1)證明見解析【詳解】（1）證明；因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，在平面?nèi)作，則平面，平面，所以.因?yàn)镻A⊥底面ABCD，平面，所以,平面，則平面，因?yàn)?∴平面.例題2．如圖，在三棱柱中，側(cè)面為矩形，平面平面，，且為的中點(diǎn).(1)證明：平面平面；【答案】(1)證明見解析；【詳解】（1）證明：側(cè)面為矩形，，，、，且，，，，且平面平面，，，；例題3．如圖，已知平行四邊形與直角梯形所在的平面互相垂直，且，為的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)證明：平面．【答案】(1)見解析(2)見解析【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，，如圖，為的中點(diǎn)，，且，又，且，，且，四邊形是平行四邊形，，又平面，平面，平面.（2）證明：四邊形是平行四邊形，，又，在中，由余弦定理可得：，，，.平面平面，平面平面，平面.同類題型演練1．如圖所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且邊長為的菱形，側(cè)面PAD為正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD．(1)若G為AD邊的中點(diǎn)，求證：BG⊥平面PAD；(2)若E為BC邊的中點(diǎn)，能否在棱PC上找一點(diǎn)F，使得PA//平面DEF？并證明你的結(jié)論．【答案】(1)證明見解析(2)能；證明見解析【詳解】（1）在底面菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G為AD邊的中點(diǎn)，所以BG⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BG⊥平面PAD．（2）連接DE，EF，DF，設(shè)DE交AC于點(diǎn)H，連接HF因?yàn)镻A//平面DEF，PA平面PAC，平面PAC平面DEF，所以；由于底面ABCD為菱形，為的中點(diǎn)，易證，所以，由PA//，可得，所以存在點(diǎn)為棱上靠近的三等分點(diǎn)，可使PA//平面DEF.2．如圖，四棱錐中，為矩形，平面平面.求證：.【詳解】證明：因?yàn)闉榫匦?，所?又平面平面，平面平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?3．小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動，設(shè)計(jì)了一個封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面是邊長為（單位：）的正方形，、、、均為正三角形，且它們所在的平面都與平面垂直．證明：平面【答案】證明見解析【詳解】證明：分別取、的中點(diǎn)、，連接，如下圖所示：因?yàn)?、為全等的正三角形，所以?又平面平面，平面平面，平面，所以平面，同理可得平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知，而，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．類型六：空間中的距離問題角度1：點(diǎn)面距典型例題例題1．在棱長為1的正方體中，到平面的距離為________.【答案】【詳解】如圖，設(shè)到平面的距離為，，又，得.故答案為：例題2．如圖，在長方體中，，，，則點(diǎn)到平面的距離為______.【答案】【詳解】在長方體中，平面，則有，又，，，于是有，，而平面，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為h，由得：，即，解得，所以點(diǎn)到平面的距離為.故答案為：例題3．正方體的棱長為2，，分別是，的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為________.【答案】【詳解】取的中點(diǎn)，連接，則，點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，由等體積可得，解得，故答案為：例題4．已知，為平面外一點(diǎn)，，點(diǎn)到兩邊，的距離均為，那么到平面的距離為___________．【答案】.【詳解】作分別垂直于，平面，連，知，，平面，平面，，．，，，為平分線，，又，．例題5．如圖，在直三棱柱中，分別為的中點(diǎn)．(1)判斷直線與平面的位置關(guān)系，并說明理由；(2)求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)平行，證明見解析；(2)【詳解】（1）如圖，作中點(diǎn)，并連接,分別為的中點(diǎn),∥,平面，平面,∥平面,又在直三棱柱中，∥,平面，平面∥平面,且,平面，平面，故平面∥平面，而平面，故∥平面.（2）則底面為等邊三角形，且為的中點(diǎn)，,在直三棱柱中，,，且∥平面,平面,故,又,,，則中邊上高，故，故，∴點(diǎn)到平面的距離為.例題6．已知四棱錐中，底面，平面平面，，為中點(diǎn)，．(1)求證：平面；(2)求到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因?yàn)?，為中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，平面，所以，因?yàn)榈酌?，底面，所以，，平面，則平面，因?yàn)椋嗥矫?；?）因?yàn)槠矫妫?，，，，，到平面的距離為2，設(shè)到平面的距離為，因?yàn)?，所以，解得．所以到平面的距離為．角度2：線面距典型例題例題1．若正四棱柱的底面邊長為，與底面成角，則到底面的距離為__________.【答案】【詳解】∵正四棱柱，∴平面平面，平面，平面,到底面的距離為正四棱柱的高∵正四棱柱的底面邊長為，與底面成角，故答案為:．例題2．正方體的棱長為2，則直線與平面的距離是__．【答案】【詳解】因?yàn)?，平面，平面，所以平面，故點(diǎn)到平面的距離即為直線與平面的距離，連接交于點(diǎn)，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以⊥BD，又因?yàn)椤推矫鍭BCD，平面ABCD，所以⊥BD，因?yàn)椋矫?，所以BD⊥平面，故BO即為直線與平面的距離，因?yàn)檎襟w的棱長為2，所以，故直線與平面的距離為.故答案為：例題3．已知正方體中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).(1)求證：∥平面；(2)若正方體的棱長為1，求到平面的距離.【答案】(1)證明見解析；(2).(1)如圖，取的中點(diǎn)，連接，是的中點(diǎn)，∥，四邊形是平行四邊形，∥，又，且FM∥AD∥，四邊形是平行四邊形，∥，∥，又平面平面，∥平面.(2)∥平面，到平面的距離就是到平面的距離，設(shè)此距離為，，，即①，正方體的棱長為1，，，代入①得，到平面的距離為.例題4．已知長方體.（1）求證：平面（2）若，，求和平面的距離.【答案】(1)證明見解析；

(2)

【詳解】(1)在長方體中，

又平面所以平面(2)由(1)平面，則直線上任意一點(diǎn)到平面的距離都相等,所以只需求直線上任意一點(diǎn)到平面的距離,在長方體中,平面且平面，則平面平面過點(diǎn)作交于,則平面,即為直線和平面間的距離在中，，,則.由等面積法得：所以和平面的距離.角度3：面面距典型例題例題1．平面，點(diǎn)，點(diǎn)，如果，且，在內(nèi)射影長分別為5和9，則平面與間的距離為________．【答案】12【詳解】如圖，，由題意可知，，，設(shè)，，則，解得：，平面與平面間的距離故答案為：12例題2．在長方體中，有一過且與平面平行的平面，棱，，則平面與平面的距離是_________．【答案】【詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，所以到平面的距離即為平面與平面間的距離，易知平面，從而點(diǎn)A到平面的距離即為所求的距離．如圖，過點(diǎn)A作于點(diǎn)．因?yàn)槠矫妫矫嫠云矫嫫矫?，又平面平?所以平面，則即為所求．在中，，，則，因?yàn)?，所以．故平面與平面的距離為．故答案為：例題3．如圖在直三棱柱中，，，，是上的一點(diǎn)，且，、、分別是、、的中點(diǎn)，與相交于．(1)求證：平面；(2)求平面與平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)(1)證明：由直三棱柱的性質(zhì)得平面平面，又，平面平面，平面，平面，又平面，，，在和中，，，即，又，平面平面．(2)解：由題意知，在中，，又，，平面，平面，平面，、分別為、的中點(diǎn)，，又，，平面，平面，平面，平面，平面，，平面平面．平面，平面平面，平面，為平行平面與之間的距離，，即平面與之間的距離為．例題4．如圖，在直三棱柱中，，，，分別為，，的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且，，.(1)求證：平面；(2)求證：平面平面；(3)求平面與平面的距離.【答案】(1)見解析(2)見解析(3)（1）證明：在直三棱柱中，為的中點(diǎn)，，，故，因?yàn)椋?，又平面，平面，所以，又因，，所以平面，又平面，所以，又，所以平面；?）證明：取的中點(diǎn)，連接，則為的中點(diǎn)，因?yàn)?，，分別為，，的中點(diǎn)，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以，又平面，平面，所以平面，因?yàn)椋裕制矫?，平面，所以平面，又因，平面，平面，所以平面平面；?）設(shè)，因?yàn)槠矫妫矫嫫矫?，所以平面，所以即為平面與平面的距離，因?yàn)槠矫?，所以，，所以，即平面與平面的距離為.類型六同類題型演練1．如圖，設(shè)P為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，直線PA⊥平面ABCD，AB=3，BC=4，PA=1，則點(diǎn)P到直線BD的距離為______.【答案】【詳解】過作于，連接，直線PA⊥平面ABCD,,又，面PAE，則面.為所求的距離，在中，,在中，,故答案為：2．如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，則直線AA1到平面BB1D1D的距離為______.【答案】【詳解】解：如圖，∵在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，∴BD⊥AC，又∵B1B⊥面ABCD，∴B1B⊥AO，又，面BB1D1D，面BB1D1D，∴AO⊥面BB1D1D，∵AA1∥平面BB1∴點(diǎn)A到面BB1D1D距離＝AA1和面BB1D1D的距離即為AO，則AO＝BA×cos45°＝，故答案為：．3．在棱長為1的正方體中，,是線段上的動點(diǎn)，過作平面的垂線交平面于點(diǎn)，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離最小值是___________．【答案】【詳解】連結(jié)，易知面面，而，即，在面內(nèi)，且點(diǎn)的軌跡是線段，連結(jié)，易知是等邊三角形，則當(dāng)為中點(diǎn)時，距離最小，易知最小值為4．如圖，三棱錐中，，均為等邊三角形，，O為AB中點(diǎn)，點(diǎn)D在AC上，滿足，且面面ABC．(1)證明：面POD；(2)若點(diǎn)E為PB中點(diǎn)，問：直線AC上是否存在點(diǎn)F，使得面POD，若存在，求出FC的長及EF到面POD的距離；若不存在，說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)見解析（1）由條件、為等邊三角形，為的中點(diǎn)，則，，，由余弦定理得從而在中，，得為直角三角形，且，又面面，面面，且，面,則由面面垂直的性質(zhì)定理可得面由面，因此由，，，面，即面POD.（2）存在AC上的點(diǎn)F，使得面點(diǎn)E為PB中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，可得，再在面內(nèi)作交于點(diǎn)，該點(diǎn)即為滿足題意的點(diǎn)（如圖）．下面證明面面由于，面，面，則面，，面，面，則面，面，面，，則由面面平行的判定定理可得面面，面，因此面POD又由于，從而可得，，，由（1）可知，面，則面，即為面與面間的距離，也即到面的距離．綜上：存在上的點(diǎn)，使得面，，到面的距離為．5．如圖，棱長為2的正方體ABCD–A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱AA1，CC1的中點(diǎn)，過E作平面，使得//平面BDF.(1)作出截正方體ABCD-A1B1C1D1所得的截面，寫出作圖過程并說明理由；(2)求平面與平面的距離.【答案】(1)答案見解析(2)（1）連接，由正方體性質(zhì)可得，；又，所以平面平面；因?yàn)?/平面，且，所以平面與平面重合，即平面就是截正方體ABCD-A1B1C1D1所得的截面.（2）由（1）可知平面與平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離；設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由題意可得，所以的面積為；的面積為；由可得，解得.所以平面與平面的距離為.6．如圖，在四棱錐中，平面，底面為菱形，，.點(diǎn)在上，且平面.(1)若，求的值；(2)求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由ABCD為菱形且是等邊三角形，，平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，，，又平面ACM，平面ACM，；設(shè)，，則，在和中，，即，解得：，；（2），是等腰直角三角形，，，過M點(diǎn)作直線，與BD的交點(diǎn)為H，則平面ABCD，，MH是三棱錐底面ABD的高，，，三棱錐P-ABD的體積，三棱錐M-APD的體積；設(shè)M點(diǎn)到平面PAD的距離為h，則；綜上，點(diǎn)M到平面PAD的距離為.7．如圖，在四棱錐中，底面ABCD，梯形ABCD中，，，E是PD的中點(diǎn).(1)求證：平面平面PBC；(2)若，求P到平面AEC的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）∵PC⊥平面ABCD，平面ABCD，∴.取AB的中點(diǎn)M，連接CM，∵，，∴，，∴四邊形ADCM為平行四邊形.∵，∴為菱形，∴.∵，∴四邊形BMDC為平行四邊形,∴,∴.又有，平面PBC,∴AC⊥平面PBC.平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC.（2）∵，，，∴，又有，，，∴.，E為PD的中點(diǎn)，，∴在中，.由,得,求得.在中，，則，∴的面積.設(shè)P到平面AEC的距離為d，又，解得.類型七：直線與平面所成角角度1：求線面角典型例題例題1．如圖示，三棱錐的底面是等腰直角三角形，，且，，則與面所成角的正弦值等于（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題知是等腰直角三角形且，是等邊三角形，設(shè)中點(diǎn)為，連接，，可知，，同時易知，，所以面，故即為與面所成角，有，故.故選：A.例題2．若正四棱錐的體積為4cm3，底面邊長為cm，則該正四棱錐的側(cè)棱與底面所成角的大小的正切值___________．【答案】【詳解】如圖，正四棱錐P-ABCD中，過點(diǎn)P作平面ABCD于O，連接AO，則AO是AP在底面ABCD上的射影，即為所求角；，，，，，故答案為：.例題3．如圖，在直角中，，斜邊，是中點(diǎn)，現(xiàn)將直角以直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個圓錐.點(diǎn)為圓錐底面圓周上一點(diǎn)，且.(1)求圓錐的體積與側(cè)面積；(2)求直線與平面所成的角的正切值.【答案】(1)，(2)【詳解】（1）由題意可得，所以底面圓面積，圓錐的高，所以圓錐的體積為.圓錐側(cè)面展開圖的半徑為，弧長為底面圓周長圓錐的側(cè)面積為.（2）取中點(diǎn)，連接，如下圖所示：在中，中位線，易知平面可得平面，所以即為直線與平面所成的角，易知，又，所以，所以.所以直線與平面所成的角的正切值為.例題4．已知點(diǎn)，分別是正方形的邊，的中點(diǎn).現(xiàn)將四邊形沿折起，使二面角為直二面角，如圖所示.（1）若點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【詳解】證明：（1）連接，設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，，在中，又因?yàn)辄c(diǎn)為中點(diǎn)，所以.同理可證得，又因?yàn)?，分別為正方形的邊，的中點(diǎn)，故，所以.又因?yàn)?，所以平面平?又因?yàn)槠矫?，所以平?（2）因?yàn)闉檎叫?，，分別是，的中點(diǎn)，所以四邊形為矩形，則.又因?yàn)槎娼菫橹倍娼牵矫嫫矫?，平面，所以平面，則為直線在平面內(nèi)的射影，因?yàn)闉橹本€與平面所成的角.不妨設(shè)正方形邊長為，則，在中，，因?yàn)槠矫?，平面，所以，在中，，，即為直線與平面所成角的正弦值.例題5．如圖，在三棱臺中，平面平面，，，，.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的余弦值.【答案】（1）證明詳見解析；（2）.【詳解】（Ⅰ）延長相交于一點(diǎn)，如圖所示.因?yàn)槠矫嫫矫?，且，所以平面，因此?又因?yàn)?，，，所以為等邊三角形，且為的中點(diǎn)，則所以平面.（Ⅱ）因?yàn)槠矫?，所以是直線與平面所成的角.在中，，得.所以，直線與平面所成的角的余弦值為.角度2：由線面角求參數(shù)典型例題例題1．已知圓錐的兩條母線，且與的夾角，的面積為，圓錐的母線與圓錐的底面圓所成的角為，則圓錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由圓錐的兩條母線，，可得三角形的面積為：，.設(shè)圓錐的高為h，底面圓O的半徑為R，由圓錐的母線SA與圓錐的底面圓O所成的角為，可得，，，則圓錐的體積：，故選：B例題2．若正三棱錐底面邊長為2，側(cè)棱與底面所成的角為，則其體積為_______．【答案】【詳解】解：先求正三棱錐的高，由題意，頂點(diǎn)在底面中的射影是底面的中心，為側(cè)棱與底面所成角，，從而有高，又底面積，所以正三棱錐的體積.故答案為：.例題3．如圖，在四棱錐中，平面，，，，，直線與平面成角.設(shè)四面體外接球的圓心為，則球的體積為__________.【答案】##【詳解】在底面ABCD上，，AD⊥AB，DC＝2，AD＝AB＝1，所以∠ADB＝∠ABD＝45°，所以，在△BCD上，，由余弦定理可得：，所以，所以∠CBD＝90°．所以BD⊥CB．又因?yàn)镻D⊥平面ABCD，所以PD⊥BC．又PD∩BD＝D，PD面PBD，BD面PBD所以BC⊥面PBD，所以BC⊥PB．則△PCD和△PBC均為直角三角形，當(dāng)O點(diǎn)為PC中點(diǎn)時，OP＝OD＝OB＝OC，此時O為四面體PBCD的外接球的球心．∵直線PA與平面ABCD成45°角．PD⊥平面ABCD，則∠PAD＝45°，∴PD＝AD＝1，又，∴四面體PBCD外接球的半徑為，所以四面體PBCD外接球的體積為．故答案為：．例題4．如圖，四邊形為平行四邊形，點(diǎn)在上，，且．以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且．(1)求證：平面平面；(2)若直線與平面所成角的正切值為，求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)（1）∵BE⊥CD，∴BE⊥EF又EF∩CD＝E，EF，CD?平面DEF，∴BE⊥平面DEF，又FD?平面DEF，∴DF⊥BE，∵CE＝2ED＝2，∴DE＝1，EF＝2，又∠FED＝60°，由余弦定理得DF，則DF2+DE2＝EF2，∴DF⊥DE，又BE∩DE＝E，BE，DE?平面ABDE，∴DF⊥平面ABED，又DF?平面FAD，∴平面FAD⊥平面ABED；（2）由（1）知，DF⊥平面ABED，連接BD，∴∠FBD為直線BF與平面ABED所成角，則tan，由（1）知，DF，則BD，又DE＝1，則BE＝2，AB＝CD＝3DE＝3，設(shè)A到平面BEF的距離為h，則VA﹣BEF＝VF﹣ABE，∴，解得h，即點(diǎn)A到平面BEF的距離為．例題5．如圖，菱形中，把沿折起，使得點(diǎn)至處.(1)證明：平面平面；(2)若與平面所成角的余弦值為，，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)1（1）如圖所示，取AC與BD的交點(diǎn)為O，連接PO，∵四邊形ABCD為菱形，現(xiàn)把△BDC沿BD折起，使得點(diǎn)C至P處，，∴，∵AC平面PAC，PO平面PAC，,∴BD⊥平面PAC，又BD平面ABCD，∴平面PAC⊥平面ABCD．（2）作于H點(diǎn)，∵，∴△PAC為直角三角形，因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面，所以PH⊥平面ABCD，所以，∵PA與平面ABD所成角的余弦值為，即，∴△PAC為等腰直角三角形，∴H與O重合，∵，菱形ABCD中，∴，.角度3：線面角最值問題典型例題例題1．在三棱錐中，互相垂直，，是線段上一動點(diǎn)，且直線與平面所成角的正切值的最大值是，則三棱錐外接球的體積是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：因?yàn)槭蔷€段上一動點(diǎn)，連接．因?yàn)榛ハ啻怪保允侵本€與平面所成的角，則．所以當(dāng)最短，即時，直線與平面所成角的正切值最大，此時，所以，在中，，則，解得．將三棱錐擴(kuò)充為長方體，則長方體的體對角線長為．故三棱錐外接球的半徑，三棱錐外接球的體積為．故選：B例題2．如圖，在圓錐中，為圓錐的底面直徑，為等腰直角三角形，為底面圓周上一點(diǎn)，且，為上一動點(diǎn)，設(shè)直線與平面所成的角為，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連，∵平面，平面，∴，又，，平面，∴平面，又∵平面，∴，故為直線與平面所成的角，在中，越小，越大，越大，當(dāng)時，最小，此時最大，∵為等腰直角三角形，又，在中，,在中，，則,在等腰直角三角形中，，在中，,,則，故選：C.例題3．三棱錐中，面面，，，，，,為射線上一動點(diǎn)，求直線與面所成角的正弦的最大值為______________【答案】【詳解】如圖，過作，垂足點(diǎn)為，連接,根據(jù)面面，面面，可得底面，即為直線與面所成角，設(shè)，設(shè)，又，則，因?yàn)?，，，，則，易知，且，在中，，由余弦定理可得：，又，，所以，，令，則，，當(dāng)時，取得最大值.所以，直線與面所成角的正弦的最大值為．故答案為：．例題4．已知正方體棱長為4.若是平面內(nèi)的動點(diǎn)，且，則與平面所成角的正切值的最大值為________.【答案】【詳解】連接，如圖，易知平面，平面，所以，又，，故平面，平面，所以，即點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡為以為直徑的圓（除去點(diǎn)C），又平面，故與平面所成角即為，又，故要使最大，則最小，將平面及點(diǎn)軌跡畫出如下圖：設(shè)為中點(diǎn)，連接，則，故最小為，此時.故答案為：.角度4：直線與平面所成角探索性問題典型例題例題1．如圖1，已知直四棱柱，側(cè)棱且垂直于底面，光線沿方向投影得到的主視圖是直角梯形（如圖2），，分別是棱，上的動點(diǎn)，且．(1)證明：無論點(diǎn)運(yùn)動到的哪個位置，四邊形都為矩形；(2)當(dāng)直線與平面所成角的正弦值為時，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)1【詳解】（1）在直四棱柱中，．又∵，∴．∵平面平面，平面平面，平面平面，∴，∴四邊形為平行四邊形．∵側(cè)棱底面，平面，∴，∴平行四邊形為矩形．（2）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，，則．∵，，，∴，∴．設(shè)直線與平面所成的角為．∵，∴，化簡得，∴，即CE的長為1.例題2．已知在四棱錐中，底面是矩形，且，，平面，?分別是線段,的中點(diǎn).(1)證明：；(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面，若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，說明理由；(3)若與平面所成的角為45°，求與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)存在，且滿足；(3)(1)證明：連接，則，又，所以，所以；又平面ABCD，所以；因?yàn)?，所以平面，所?(2)過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則平面，且有；再過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則平面且.所以平面平面，所以平面，從而滿足的點(diǎn)即為所求.(3)因?yàn)槠矫?，所以是與平面所成的角，且，.取的中點(diǎn)，則，平面，連接，則為與平面所成角在直角三角形中，，所以，又，所以，所以例題3．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面V，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．(1)求證：平面(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使直線與平面所成的角為？若存在，求出的長，若不存在，請說明理由？【答案】(1)證明見解析(2)存在；（1）連接AC，設(shè)AC交BD于O，連接OQ，因?yàn)榈酌鍭BCD是矩形，則O是AC中點(diǎn)，又點(diǎn)Q是PC的中點(diǎn)，故OQ是三角形CPA的中位線，則，又平面BDQ，平面BDQ，故平面；（2）因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，則，又底面ABCD是矩形，則，又PD，平面PAD，，則平面PAD，即平面PAD，故就是直線PF與平面PAD所成的角，又則，故故當(dāng)時，在線段AB上是存在點(diǎn)F，使直線PF與平面PAD所成的角為；綜上，存在F點(diǎn)，使直線PF與平面PAD所成的角為，.類型七同類題型演練1．如圖，在圓柱中，底面半徑為，為圓柱的母線.(1)若，為的中點(diǎn)，求直線與底面的夾角大??；(2)若圓柱的軸截面為正方形，求該圓柱的側(cè)面積和體積.【答案】(1)；(2)側(cè)面積，體積.【詳解】（1）解：因?yàn)榕c圓柱的上底面垂直，則直線與底面所成的角為，易知，在中，，，故，故直線與底面的夾角大小為.（2）解：若圓柱的軸截面為正方形，則，故圓柱的側(cè)面積為，體積為.2．如圖，三棱錐中，側(cè)面PAB垂直于底面ABC，，底面ABC是斜邊為AB的直角三角形，且，記O為AB的中點(diǎn)，E為OC的中點(diǎn).(1)求證：；(2)若，直線PC與底面ABC所成角的大小為60°，求四面體PAOC的體積.【答案】(1)證明見解析(2)線面角的定義可得，結(jié)合錐體體積公式求四面體PAOC的體積.【詳解】（1）連接，因?yàn)?，所以，?cè)面垂直于底面，平面，平面平面，所以底面，底面，所以，是斜邊為的直角三角形，且，所以，又因?yàn)镺為AB的中點(diǎn)，所以,所以為等邊三角形，又E為OC的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，，，，所以平面，又平面，所以；?）由（1）知底面ABC，所以直線PC與底面ABC所成角為，因?yàn)橹本€PC與底面ABC所成角的大小為，，因?yàn)椋?，在中，，，所?3．如圖，在四棱錐中，，，，，.(1)求證：平面.(2)設(shè)E為BC的中點(diǎn)，求PE與平面ABCD所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)【詳解】（1）∵，，PB=PD，∴Rt△PDC≌Rt△PBC，∴BC=DC，又PB∩PD=P，∴PC⊥平面PBD，∵BD平面PBD，∴PC⊥BD，∵AB=AD，BC=CD，∴易知AC⊥BD，又∵AC∩PC=C，AC,PC含于面PAC∴BD⊥平面PAC；（2）如圖，設(shè)AC交BD于O，則O是BD的中點(diǎn)，連接OP，過作，連接，由（1）得，BD⊥平面PAC，面，故，又，所以，面，故為PE與平面ABCD所成角，設(shè)，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，且，故在中，，又由BC=CD，且BD=，，∴在△BCD中，由余弦定理得：，即，解得，故，∴，，，，∵PC⊥平面PBD，∴，所以，在中，利用等面積法，得到，故，所以，在中，4．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為正方形，PD＝BC＝1，二面角P－CD－A為直二面角．(1)若E為線段PC的中點(diǎn)，求證：DE⊥PB；(2)若PC＝，求PC與平面PAB所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2).【詳解】（1）證明：因?yàn)镻D＝DC＝1，且E為PC的中點(diǎn)，所以DE⊥PC，又因?yàn)槎娼荘－CD－A為直二面角，所以平面PCD⊥平面ABCD，因?yàn)锽C⊥CD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，平面ABCD，所以BC⊥平面PCD，因?yàn)槠矫鍼CD，所以BC⊥DE.因?yàn)锽C?平面PBC，PC?平面PBC，BC∩PC＝C，所以DE⊥平面PBC，又因?yàn)镻B?平面PBC，所以DE⊥PB.（2）解：在中，，，由余弦定理可得，因?yàn)樗浴螾DC＝120°，過點(diǎn)P作PH⊥CD的延長線于H，如圖，因?yàn)槎娼荘－CD－A為直二面角，平面平面，平面，所以平面，在中，，過H點(diǎn)作HG∥DA，且HG與BA的延長線交于G點(diǎn)．因?yàn)樗?，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以在中，，所以，設(shè)點(diǎn)C到平面PAB的距離為h，則，解得，設(shè)PC與平面PAB所成的角為θ，，即PC與平面PAB所成角的正弦值為.5．如圖，在直角三角形中，，斜邊，直角三角形可以通過以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角是直二面角，動點(diǎn)在斜邊上.(1)求證：平面平面；(2)當(dāng)為的中點(diǎn)時，求異面直線與所成角的正切值；(3)求與平面所成角的正切值的最大值.【答案】(1)證明見解析(2)(3)．【詳解】（1）證明：因?yàn)?，，所以為二面角的平面角，即，，又，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面；?）解：取中點(diǎn)．連接，如圖，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，所以異面直線與所成角為（或其補(bǔ)角），由已知，，，平面，所以平面，而平面，所以，所以，又，，所以，，從而，，，；（3）由（1）知平面，所以是與平面所成角，又平面，則，，直角中，到上點(diǎn)的距離的最小值為邊上的高即，所以的最大值為．6．如圖，在三棱柱中，點(diǎn)在平面上的射影為的中點(diǎn)，，，，.（1）求證：平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍.【答案】（1）證明見解析；（2）．【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫?，平面，所以平面平?因?yàn)?，，所?又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面?）解：取中點(diǎn)，連接，，則，所以四邊形是平行四邊形.因?yàn)?，，，，平面，所以平面，又平面所以平面平?作于，則平面，連接，則為直線與平面所成的角.由，，，知，又由（1）知平面，所以，，.則.由于，所以，所以.故直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為.7．如圖，在三棱錐D－ABC中，△ABC是邊長為2的正三角形，△ADC是以AC為底邊的等腰直角三角形，E為AC的中點(diǎn)．(1)證明：平面BED⊥平面ACD；(2)若BD＝2，點(diǎn)F在BD上，當(dāng)△AFC的面積最小時，求FA與平面ABC所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)(1)因?yàn)槭钦切?，E為AC的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槭且訟C為底邊的等腰直角三角形，所以，因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面BED⊥平面ACD；(2)因?yàn)槠矫?，平面，所以，所以?dāng)最小時，△AFC的面積最小，此時，由題可得，，因?yàn)?，滿足，所以，且，又，，所以平面，過作，所以平面，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以在直角中，，設(shè)FA與平面ABC所成角為，則.8．如圖所示，在四棱錐中，已知底面是邊長為6的菱形，，，，為線段上的點(diǎn)，且．(1)證明：平面平面；(2)為線段上的一點(diǎn)，且平面，求的值及直線與平面的夾角．【答案】(1)證明見解析(2)，(1)證明：設(shè)與相交于點(diǎn)，連接，四邊形為菱形，，

，，

又，平面，

則平面，

平面，平面平面.(2)解：在線段上作點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于，連接，，，，則，故，，，四點(diǎn)共面，平面，平面，平面平面，

，故四邊形為平行四邊形，則，，，

，，

在中，，，在（1）知，又，平面，

平面，

過作，交于點(diǎn)，故且，在中，，，

連接，在中，，平面，則為直線與平面的夾角，在中，，，直線與平面的夾角為.9．如圖，在棱長為3的正方體中.(1)求證：平面；(2)若平面，求證：點(diǎn)E為的中心；(3)若點(diǎn)P是平面內(nèi)一個動點(diǎn)，且，求直線與平面所成角大小.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3).（1）如圖，連接，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則，∵平面，平面，則，因?yàn)?，∴平面，∵平面，∴，同理可證，∵，平面.（2）如圖，由（1）知，平面，∵，∴，∴，∴E為的外心.∵，∴是正三角形；∴E為正的中心.（3）如圖，由（2）知E為正的中心，，在中，由正弦定理得，，，∵，∴，∵平面，平面，∴，即，，∵，即，∵，解得，所以，點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)E為圓心，半徑為1的圓，∵平面，所以，與平面所成的角為，而，∵，故.10．已知梯形ABCD中，，，E為線段CD上一點(diǎn)（不在端點(diǎn)），沿線段AE將折成，使得在平面ABC上的射影落在線段BE上.(1)當(dāng)點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)時，證明：平面平面；(2)若與平面所成角的正弦值為，求.【答案】(1)證明見解析(2)2（1）當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時，由題得，故，，且都在平面中，故平面.又平面，故平面平面；（2）如圖過A作交BE于點(diǎn)，連，因?yàn)樵谄矫鍭BC上的射影落在線段BE上，則平面ABCD，平面平面ABCD，又平面平面，，平面ABCD，故平面.所以是直線在平面上的投影，直線與平面所成角即為直線與直線所成角，即為，∴，又，在中，，所以,所以,所以,所以,,在中，，在中，，所以，所以，所以H與B重合，.11．如圖，在直四棱柱中，底面為平行四邊形，，.(1)證明：平面；(2)若點(diǎn)在棱上，直線與平面所成角的大小為.①畫出平面與平面的交線，并寫出畫圖步驟；②求的最大值.【答案】(1)證明見解析(2)①作圖見解析；②(1)因?yàn)?，，故，所?又直四棱柱，故平面，又平面，故，又，平面，故平面(2)①過作于，連接，分別交于，連接，則直線為平面與平面的交線.②由①，因?yàn)?，故四點(diǎn)共面，設(shè)，則直線為平面與平面的交線，故三點(diǎn)共線.過作于，連接，又，且根據(jù)線面平行的性質(zhì)可得，故平面，所以，又，平面.故直線與平面所成角為.當(dāng)不重合，即與不重合時，易得，又均為銳角，故.當(dāng)重合時，有與重合，此時由（1）平面，故平面，故為與平面所成角.故當(dāng)與重合時，取得最大值，此時，故的最大值為類型八：二面角角度1：求二面角典型例題例題1．在正方體中，平面與平面所成的銳二面角的大小是___________.【答案】##【詳解】正方體中，平面，又平面，所以，又，所以是平面與平面所成的銳二面角的平面角，在直角中，，所以平面與平面所成的銳二面角的大小是．故答案為：．例題2．如圖,在錐體中，四邊形為邊長為1的菱形，且，，，,分別是，的中點(diǎn)，(1)證明：平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明過程見解析；(2)【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，∵四邊形ABCD是邊長為1的菱形，且，是邊長為1的正三角形，得，且，，，且，∵，平面，平面分別是的中點(diǎn)，，即四邊形為平行四邊形，∴，∵平面DEF，平面DEF，∴PB平面DEF，同理可證：OB平面DEF，∵，平面平面，平面；（2）由（1）知：∠POB為二面角P-AD-B的平面角，又PB=2，所以，即二面角P-AD-B的余弦值為例題3．如圖，在直角梯形中，，，，沿對角線將折至的位置，記二面角的平面角為．(1)當(dāng)時，求證：平面平面；(2)若為的中點(diǎn)，當(dāng)時，求二面角的正切值．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）當(dāng)時，平面平面．在直角梯形中，，所以，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面．?）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以．因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，連接，則為的中位線，所以．因?yàn)?，所以，所以為二面角的平面角，即．因?yàn)?，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以平面平面．因?yàn)槠矫嫫矫?，所以過作，交于點(diǎn)，則平面．平面，，過作與點(diǎn)，連結(jié)，．所以．所以為二面角的平面角．在中，，，．在中，．在中，，所以，故二面角的正切值為．例題4．在四棱錐中，底面是正方形，，．(1)求證：平面；(2)求異面直線與所成的角；(3)求二面角的大?。敬鸢浮?1)證明見解析，(2)，(3).（1）證明：因?yàn)榈酌媸钦叫危?，，所以，所以，同理，因?yàn)?，平面，所以平面；?）解：連接，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以異面直線與所成的角為；（3）解：設(shè)，作于，連接，，由（2）知，因?yàn)椋矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以為二面角的平面角，因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，在中，，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)闉殇J角，所以，所以二面角的大小為．例題5．如圖，在四棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，平面，，且，，為棱的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)若，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).（1）在四棱錐中，取PB的中點(diǎn)E，連OE，CE，如圖，因?yàn)槔獾闹悬c(diǎn)，則，，因平面，有平面，而平面，則，則有，在直角梯形中，，又是邊長為2的等邊三角形，即，又，因此，而，則，于是得四邊形為平行四邊形，有，又平面，平面，所以平面.（2）因，，則，由（1）知，即，解得，有，延長BC，AD交于點(diǎn)Q，連PQ，由且得：點(diǎn)D是AQ中點(diǎn)，即有，因此，即，由平面，平面，得,而，平面，則平面，平面，即得，因此是二面角的平面角，，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值是.角度2：由二面角求參數(shù)典型例題例題1．在三棱錐中，底面是邊長為的等邊三角形?若二面角的大小為，則三棱錐的外接球表面積大小為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，所以，所以，因此為二面角的平面角，設(shè)，則，，，在中，由余弦定理得，即，解得：，所以三棱錐的外接球的直徑，所以三棱錐的外接球的表面積為.故選：C.例題2．如圖所示，在四棱錐中，底面，四邊形是直角梯形，，，點(diǎn)在側(cè)棱上.(1)求證：平面平面；(2)若平面與平面的夾角的余弦值為，求的值.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：∵平面ABCD，平面ABCD，∴.∵四邊形ABCD是直角梯形，，，，∴，取AB中點(diǎn)為F,連接，∵四邊形ABCD是直角梯形，，，，∴，，，，∴四邊形ADCF為矩形，，∴.∴⊥，又，平面，∴平面PBC.∵平面EAC，∴平面平面PBC.（2）方法一：由（1）知平面PBC，又∵平面PBC，∴⊥，由（1）知，所以是二面角的平面角.由圖知平面PAC與平面ACE的夾角即為二面角，∵平面PAC與平面ACE的夾角的余弦值為，∴，∵平面ABCD，平面ABCD，∴.在中，由，得：，∴，∴，，∵∠CPB與∠CBP互余，∠PCE與∠ECB互余，∴，，∴；例題3．如圖，四棱錐中，底面，，，，，是上一點(diǎn)，且，是中點(diǎn)．(1)求證：；(2)若二面角大小為，求棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析；(2).（1）在中,,由余弦定理得,，即，所以有，，在中，.由正弦定理得，,即，解得，又，，所以有,于是有.連結(jié)，則三角形為正三角形,所以,又,所以,又因底面平面,所以，是平面內(nèi)兩相交直線,所以有面,又平面,所以.（2）由(1)知,又底面平面，所以,又是平面內(nèi)兩相交直線,所以平面，平面，所以，所以即為二面角的平面角,因二面角大為,所以,由,又底面平面，所以知,所以,圖2因,所以,又因?yàn)橹悬c(diǎn),所以,由,設(shè)到平面的距離為,則,解得,也就是到平面的距離為，又,所以三棱雉的體積.例題4．如圖，在中，，，且，分別為，的中點(diǎn)．現(xiàn)將沿折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，連接，，為的中點(diǎn)，連接．(1)證明：平面；(2)若二面角的余弦值為，求四棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）設(shè)為的中點(diǎn)，連接，，又，則．因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，，，，所以，，所以為平行四邊形，則，故，又因?yàn)?，平面，所以平面．?）因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，所以是二面角的平面角，于是．因?yàn)?，，，平面，所以平面，于是有平面．因?yàn)槠矫?，所以．在中，，，故，，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，，平面，所以平面．故．例題5．如圖，是正四棱柱.(1)求證：平面；(2)若二面角的大小為，求異面直線與所成角的大小.【答案】(1)證明見解析；(2).【詳解】（1）因?yàn)槭钦睦庵?，所以底面且四邊形為正方?因?yàn)榈酌?，所?因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所?因?yàn)?面,面,所以平面.（2）設(shè)與交點(diǎn)為，連結(jié).因?yàn)榈酌媸钦叫?所以,且為的中點(diǎn),所以，所以為ニ面角的平面角，所以.設(shè),則，.因?yàn)?所以異面直線與所成角即為與所成角,即為.連結(jié),則△中,，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為.角度3：二面角最值問題典型例題例題1．在正2021棱錐中，相鄰兩側(cè)面所成的二面角的取值范圍是______．【答案】【詳解】解：當(dāng)正棱錐的頂點(diǎn)無限趨近于底面正多邊形中心時，則底面正多邊形便為極限狀態(tài)，此時棱錐相鄰兩側(cè)面所成二面角且小于；當(dāng)棱錐高無限大時，正棱柱便又是另一極限狀態(tài)，此時且大于，所以正棱錐中，相鄰兩側(cè)面所成的二面角的取值范圍是；故答案為：．例題2．如圖，在矩形中，、分別是線段、的中點(diǎn)，，，將沿翻折，在翻折過程中點(diǎn)記為點(diǎn)．(1)從翻折至的過程中，求點(diǎn)運(yùn)動的軌跡長度；(2)翻折過程中，二面角的平面角為，求的最大值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：取DM的中點(diǎn)E，則從翻折至的過程中，點(diǎn)P運(yùn)動的軌跡是以點(diǎn)E為圓心，AE為半徑的半圓，因?yàn)?，，所以，所以點(diǎn)P運(yùn)動的軌跡長度為.（2）解：由（1）得，連接AN，并延長交BC延長線于F，，折起后，有面，過P作，則面，再過點(diǎn)O作，則就是二面角P?BC?D的平面角θ，設(shè)，，，，令，所以，所以，解得.所以的最大值為.例題3．在矩形中，．點(diǎn)，分別在，上，且，沿將四邊形翻折至四邊形，點(diǎn)平面．(1)若平面⊥平面，求三棱錐的體積；(2)在翻折的過程中，設(shè)二面角的平面角為，求tan的最大值．【答案】(1)(2)1(1)解：在平面內(nèi)作交于．∵平面⊥平面，平面平面，平面，∴⊥平面．∴即點(diǎn)到平面的距離．在梯形中，過點(diǎn)作交于，則，∴，．在中，∴三棱錐的體積(2)如圖，在平面內(nèi)作直線交FE延長線于點(diǎn)O，交CB延長線于點(diǎn)K．∵，，，平面，∴平面，又∵平面，∴平面⊥平面，作交OK于點(diǎn)M．∵平面⊥平面，平面平面，，平面，∴⊥平面，∴．作交BC于點(diǎn)N，連接．∵，∴BC⊥平面，∴，又∵，∴為二面角的平面角．∵在中，，∴，設(shè)，則，∴令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，取到最大值1，綜合可知的最大值為1例題4．如圖1，在矩形中，已知，為的中點(diǎn).將沿向上翻折，進(jìn)而得到多面體（如圖2）.（1）求證：；（2）在翻折過程中，求二面角的最大值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【詳解】解：（1）如圖1，連接交于F.因?yàn)?，且E為的中點(diǎn)，，在矩形中，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，?由題意可知平面，所以平面.因?yàn)槠矫?，所?（2）如圖2，過作，垂足為H，過H作，垂足為G，連接.因?yàn)槠矫嫫矫?，所?又因?yàn)槠矫?，所以平?因?yàn)槠矫?，所?又因?yàn)槠矫?，所以平?因?yàn)槠矫?，所?所以是二面角的平面角.在翻折過程中，設(shè).在矩形中，由，E為的中點(diǎn)，得.在直角三角形中，，所以，因?yàn)?，所以，所以，所?在直角三角形中，.設(shè)，所以.所以，即.解得，當(dāng)時，等號成立，故，因?yàn)?，所以，所以二面角的最大值?角度4：二面角探索性問題典型例題例題1．如圖：長為3的線段與邊長為2的正方形垂直相交于其中心．(1)若二面角的正切值為，試確定在線段的位置；(2)在（1）的前提下，以，，，，，為頂點(diǎn)的幾何體是否存在內(nèi)切球？若存在，試確定其內(nèi)切球心的具體位置；若不存在，請說明理由．【答案】(1)存在，在線段上的靠近點(diǎn)的三分點(diǎn)位置(2)存在，內(nèi)切球心在點(diǎn)距離為的位置上．【詳解】（1）取線段的中點(diǎn)為點(diǎn)，連接，，．由于四邊形是正方形，為其中心，所以，又面,面，所以.而，面,面,所以面.因?yàn)槊?，所?同理可以證出，為二面角的平面角，．設(shè)，，，則．且在中，，同理在中，由，得：故在線段上的靠近點(diǎn)的三分點(diǎn)位置.（2）幾何體存在內(nèi)切球，令球心為.若設(shè)線段的中點(diǎn)為點(diǎn)，內(nèi)切球的半徑為，由對稱性可知：平面四邊形的內(nèi)切圓的圓心為，半徑即為，故，而，．所以，得．由三角形相似有：所以．故其內(nèi)切球心在點(diǎn)距離為的位置上．例題2．如圖，在正四棱錐中，，點(diǎn)為底面的中心，點(diǎn)在棱上，且的面積為1．(1)若點(diǎn)是的中點(diǎn)，求證：平面平面；(2)在棱上是否存在一點(diǎn)使得二面角的余弦值為？若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，說明強(qiáng)由．【答案】(1)證明見解析(2)存在，P為棱SD靠近端點(diǎn)S的三等分點(diǎn).【詳解】（1）在四棱錐S-ABCD中，正方形ABCD的邊長是，則AC=2，因點(diǎn)S在底面ABCD上的射影為底面ABCD的中心點(diǎn)O，即SO⊥底面ABCD，而AC底面ABCD，則SO⊥AC，又△SAC的面積為1，即，解得，于是得，則，因點(diǎn)P是SD的中點(diǎn)，則有SD⊥AP，SD⊥CP，而，平面PAC，從而得SD⊥平面PAC，又平面SCD，所以平面SCD⊥平面PAC.（2）假定在棱SD上存在一點(diǎn)P使得平面PAC和平面ACD夾角的余弦值為，連OP，OD，如圖，由(1)知，SO⊥AC，而DO⊥AC，，平面SOD，則有AC⊥平面SOD，又平面SOD，從而有PO⊥AC，因此，是二面角P-AC-D的平面角，令PD=a，由(1)知，SO⊥DO，SO=DO=1，則，且，過P作PM//SO交DO于M，則PM⊥DO，，，因，則，而，即有，，解得：，即有，所以在棱SD上存在一點(diǎn)P使得二面角的余弦值為，P為棱SD靠近端點(diǎn)S的三等分點(diǎn).例題3．如圖，在棱長為2的正方體中，、分別是和的中點(diǎn).（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求異面直線與之間的距離（3）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的大小為30°?若存在，求出的長，若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）；（3）存在，.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，如圖，又為中點(diǎn)，，連結(jié)，則或其補(bǔ)角即為異面直線與所成角，為中點(diǎn)，正方體邊長為2，，，，異面直線與所成角的余弦值為．（2）因?yàn)?，所以異面直線EF與AB之間的距離即為直線與平面間的距離，即點(diǎn)B與平面的距離，連接，交于,因?yàn)?所以，又,所以平面,即為點(diǎn)B到平面的距離.因?yàn)?所以，即異面直線EF與AB之間的距離為.（3）假設(shè)棱BB1上存在一點(diǎn)P滿足題意，連接交于，連接,所以為二面角的平面角，設(shè)，，即，所以，故當(dāng)存在長為時，二面角的大小為．例題4．如圖1，在平行四邊形中，，，，將沿折起，使得平面平面，如圖2．(1)證明：平面；(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使得二面角的大小為45°？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】(1)證明見解析；(2)存在點(diǎn)M，；【詳解】（1）在中，因?yàn)?，，，由余弦定理得，所以，所以，所以如圖所示：作于點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，所以?/p>

又因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又由，所以平?（2）如圖所示：存在點(diǎn)M，當(dāng)M是的中點(diǎn)，二面角的大小為45°.證明如下：由（1）知平面，且，，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，同理可得：BM=，

取BD的中點(diǎn)為O，DC的中點(diǎn)為E，連接MO，EM，OE，因?yàn)?，所以是二面角的平面角，又因?yàn)椋?此時.類型八同類題型演練1．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分別是AA1，B1C1的中點(diǎn)．(1)求證：平面C1BD；(2)若DC1⊥BD，AC＝BC＝1，AA1＝2，求二面角B﹣DC1﹣C的正切值．【答案】(1)證明過程見解析；(2).【詳解】（1）連接交于于，連接，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，且，又因?yàn)镈是AA1的中點(diǎn)，所以有，且，所以，且，因此四邊形是平行四邊形，所以，而平面C1BD，平面C1BD，所以平面C1BD；（2）因?yàn)?，，所以，，同理可得，因此，即，而DC1⊥BD，所以是二面角B﹣DC1﹣C的平面角，因?yàn)槠矫?，所以平面，而平面，因此，因?yàn)槠矫?，而平面，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，而平面，所以，所?2．在軸截面為正方形的圓柱中，分別為弧，弧的中點(diǎn)，且在平面的兩側(cè)．(1)求證：四邊形是矩形；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：設(shè)軸截面正方形邊長為，取弧另一側(cè)的中點(diǎn)，則與垂直平分，且，所以四邊形為正方形，，因?yàn)?/p>