全國高考甘肅數(shù)學試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.若集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x>2}，則A∩B等于（）

A.{x|1≤x≤3}

B.{x|2<x≤3}

C.{x|1<x≤2}

D.{x|x>3}

2.函數(shù)f(x)=log?(x+1)的圖像關于y軸對稱的函數(shù)是（）

A.g(x)=log?(-x+1)

B.g(x)=log?(x-1)

C.g(x)=-log?(x+1)

D.g(x)=-log?(x-1)

3.在等差數(shù)列{a?}中，若a?+a?=20，則a?+a??等于（）

A.10

B.15

C.20

D.25

4.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)，則其最小正周期為（）

A.π/2

B.π

C.2π

D.4π

5.不等式|2x-1|<3的解集為（）

A.(-1,2)

B.(-2,1)

C.(-1,4)

D.(-2,4)

6.已知點A(1,2)和B(3,0)，則向量AB的模長為（）

A.√2

B.√5

C.2√2

D.√10

7.拋擲一枚質地均勻的硬幣，連續(xù)拋擲3次，則恰好出現(xiàn)兩次正面的概率為（）

A.1/8

B.3/8

C.1/4

D.1/2

8.已知圓O的半徑為2，圓心O到直線l的距離為1，則直線l與圓O的位置關系是（）

A.相交

B.相切

C.相離

D.無法確定

9.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，邊AC=2，則邊BC的長度為（）

A.√2

B.√3

C.2√2

D.2√3

10.已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上是增函數(shù)，且f(0)=0，f(1)=1，則對于任意x?∈[0,1]，有（）

A.f(x?)≥x?

B.f(x?)≤x?

C.f(x?)=x?

D.無法確定

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)的有（）

A.y=x2

B.y=sin(x)

C.y=ln(x)

D.y=x3

2.在等比數(shù)列{a?}中，若a?·a?=64，則a?的值可能為（）

A.2

B.4

C.8

D.16

3.下列命題中，正確的有（）

A.若x2=y2，則x=y

B.若a>b，則a2>b2

C.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是增函數(shù)，則對于任意x?<x?∈I，有f(x?)<f(x?)

D.若直線l?與直線l?平行，則它們的斜率相等

4.已知點P(x,y)在圓x2+y2=4上運動，則點P到直線x+y=2的距離的最大值為（）

A.2√2

B.2

C.4

D.0

5.在直角坐標系中，下列說法正確的有（）

A.點A(a,b)關于x軸對稱的點的坐標為(a,-b)

B.點A(a,b)關于y軸對稱的點的坐標為(-a,b)

C.點A(a,b)關于原點對稱的點的坐標為(-a,-b)

D.若點A(a,b)在第一象限，則點B(-a,-b)在第四象限

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=2x-1，則f(f(2))的值為______。

2.在△ABC中，若角A=45°，角B=60°，邊AC=√3，則角C的大小為______（用反三角函數(shù)表示）。

3.已知圓C的方程為(x-1)2+(y+2)2=4，則圓心C的坐標為______，半徑r為______。

4.在等差數(shù)列{a?}中，若a?=10，d=2，則a?的值為______。

5.已知函數(shù)g(x)=x3-3x，則函數(shù)g(x)的極小值點x為______。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.計算：lim(x→2)(x3-8)/(x-2)

2.解方程：2cos2θ+3sinθ-1=0(0≤θ<2π)

3.在△ABC中，已知角A=60°，角B=45°，邊AC=√3，求邊BC的長度。

4.求函數(shù)f(x)=x3-3x2+2在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。

5.已知等比數(shù)列{a?}的前n項和為Sn，若a?=4，S?=44，求該等比數(shù)列的公比q。

本專業(yè)課理論基礎試卷答案及知識點總結如下

一、選擇題答案及解析

1.B

解析：A∩B表示既屬于集合A又屬于集合B的元素構成的集合。集合A={x|1≤x≤3}，集合B={x|x>2}，所以A∩B={x|2<x≤3}。

2.A

解析：函數(shù)f(x)=log?(x+1)的圖像關于y軸對稱的函數(shù)是g(x)=f(-x)，即g(x)=log?(-x+1)。

3.C

解析：在等差數(shù)列{a?}中，a?=a?+2d，a?=a?+7d，所以a?+a?=2a?+9d=20。同理，a?=a?+4d，a??=a?+9d，所以a?+a??=2a?+13d。由于2a?+9d=20，所以a?+a??=20+d。又因為a?+a??=20，所以d=0。因此，a?+a??=20。

4.B

解析：函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期T滿足T=2π/|ω|，其中ω是正弦函數(shù)的角頻率。這里ω=2，所以T=2π/2=π。

5.A

解析：不等式|2x-1|<3可以轉化為-3<2x-1<3，解得-2<2x<4，即-1<x<2。

6.√10

解析：向量AB的模長|AB|=√((x?-x?)2+(y?-y?)2)=√((3-1)2+(0-2)2)=√(22+(-2)2)=√8=2√2。

7.3/8

解析：拋擲一枚質地均勻的硬幣，連續(xù)拋擲3次，共有23=8種可能的結果。恰好出現(xiàn)兩次正面的結果有C(3,2)=3種，即HHT、HTH、THH。所以概率為3/8。

8.相交

解析：圓O的半徑為2，圓心O到直線l的距離為1。因為1<2，所以直線l與圓O相交。

9.2√2

解析：在△ABC中，由正弦定理得：BC/sinA=AC/sinB，即BC/sin60°=2/sin45°，解得BC=2sin60°/sin45°=2(√3/2)/(√2/2)=√6=2√2。

10.B

解析：函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上是增函數(shù)，且f(0)=0，f(1)=1。對于任意x?∈[0,1]，若x?<1，則f(x?)<f(1)=1。又因為f(x?)≥f(0)=0，所以0≤f(x?)<1。若x?=1，則f(x?)=f(1)=1。綜上所述，對于任意x?∈[0,1]，有f(x?)≤1。又因為f(x)是增函數(shù)，所以f(x?)≤f(x)對于所有x∈[0,1]成立。特別地，取x=x?，則f(x?)≤f(x?)，即f(x?)≤x?。

二、多項選擇題答案及解析

1.B,D

解析：奇函數(shù)滿足f(-x)=-f(x)。對于B.y=sin(x)，有sin(-x)=-sin(x)，所以是奇函數(shù)。對于D.y=x3，有(-x)3=-x3，所以是奇函數(shù)。對于A.y=x2，有(-x)2=x2，所以是偶函數(shù)。對于C.y=ln(x)，ln(-x)無意義，所以不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。

2.B,C,D

解析：在等比數(shù)列{a?}中，a?·a?=a?·a?=a?q·a?q3=a?2q?=64。所以a?2q?=64，即a?2=64/q?。因為a?=a?q?，所以a?2=a?2q?=64q?。所以a?2=64q?=64/q??。因此，a?=±8/q2。當q=1/2時，a?=8/(1/2)2=8/1/4=32，不符合選項。當q=2時，a?=8/(22)=8/4=2，符合選項B。當q=-2時，a?=8/(-2)2=8/4=2，符合選項B。當q=-1/2時，a?=8/(-1/2)2=8/1/4=32，不符合選項。因此，a?的值可能為4或16，即選項B和D。

3.C,D

解析：對于A.若x2=y2，則x=±y，所以不正確。對于B.若a>b，則a2>b2當且僅當a>0且b<0，所以不正確。對于C.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是增函數(shù)，則對于任意x?<x?∈I，有f(x?)<f(x?)，這是增函數(shù)的定義，所以正確。對于D.若直線l?與直線l?平行，則它們的斜率相等或都為0，所以正確。

4.A

解析：點P到直線x+y=2的距離d=|Ax?+By?+C|/√(A2+B2)，其中直線方程為Ax+By+C=0，點P(x?,y?)。這里直線方程為x+y-2=0，A=1，B=1，C=-2，點P(x,y)在圓x2+y2=4上。所以d=|x+y-2|/√(12+12)=|x+y-2|/√2。當點P到直線x+y=2的距離最大時，點P到圓心O(0,0)的距離最大，即點P為圓x2+y2=4上的最遠點。這個最遠點是(2,0)或(-2,0)。當點P為(2,0)時，d=|2+0-2|/√2=0/√2=0。當點P為(-2,0)時，d=|-2+0-2|/√2=4/√2=2√2。所以點P到直線x+y=2的距離的最大值為2√2。

5.A,B,C

解析：點A(a,b)關于x軸對稱的點的坐標為(a,-b)，所以A正確。點A(a,b)關于y軸對稱的點的坐標為(-a,b)，所以B正確。點A(a,b)關于原點對稱的點的坐標為(-a,-b)，所以C正確。若點A(a,b)在第一象限，則a>0且b>0，所以點B(-a,-b)在第三象限，所以D不正確。

三、填空題答案及解析

1.3

解析：f(f(2))=f(2*2-1)=f(3)=2*3-1=6-1=3。

2.arctan(√3/3)

解析：在△ABC中，由正弦定理得：AC/sinB=BC/sinA，即√3/sin60°=BC/sin45°，解得BC=√3sin45°/sin60°=√3(√2/2)/(√3/2)=√2。由余弦定理得：cosC=(AB2+BC2-AC2)/(2AB·BC)，即cosC=(22+√22-√32)/(2*2*√2)=(4+2-3)/(4√2)=3/(4√2)=√2/2。所以角C=arccos(√2/2)=arctan(√3/3)。

3.(1,-2),2

解析：圓C的方程為(x-1)2+(y+2)2=4，標準方程為(x-h)2+(y-k)2=r2，其中(h,k)為圓心坐標，r為半徑。所以圓心C的坐標為(1,-2)，半徑r為√4=2。

4.2

解析：在等差數(shù)列{a?}中，a?=a?+4d=10，d=2。所以a?+4*2=10，即a?+8=10，解得a?=2。

5.1

解析：函數(shù)g(x)=x3-3x的導數(shù)為g'(x)=3x2-3。令g'(x)=0，得3x2-3=0，即x2=1，解得x=±1。當x<1時，g'(x)>0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增；當x>1時，g'(x)<0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞減。所以x=1是函數(shù)g(x)的極小值點。

四、計算題答案及解析

1.12

解析：lim(x→2)(x3-8)/(x-2)=lim(x→2)[(x-2)(x2+2x+4)]/(x-2)=lim(x→2)(x2+2x+4)=22+2*2+4=4+4+4=12。

2.θ=π/2,5π/2

解析：2cos2θ+3sinθ-1=0。因為cos2θ=1-sin2θ，所以2(1-sin2θ)+3sinθ-1=0，即-2sin2θ+3sinθ+1=0，即2sin2θ-3sinθ-1=0。令t=sinθ，則2t2-3t-1=0。解得t=(3±√(9+8))/4=(3±√17)/4。因為-1≤sinθ≤1，所以t=(3-√17)/4和t=(3+√17)/4不在區(qū)間[-1,1]內(nèi)。所以sinθ無解。因此，方程無解。

3.√3

解析：在△ABC中，由正弦定理得：BC/sinA=AC/sinB，即BC/sin60°=√3/sin45°，解得BC=√3sin60°/sin45°=√3(√3/2)/(√2/2)=3/√2=√6=√3。

4.最大值=3，最小值=-1

解析：f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)。令f'(x)=0，得x=0或x=2。f(0)=03-3*02+2=2，f(2)=23-3*22+2=8-12+2=-2，f(-1)=(-1)3-3*(-1)2+2=-1-3+2=-2，f(3)=33-3*32+2=27-27+2=2。所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,3]上的最大值為max{2,-2,2,-1}=3，最小值為min{2,-2,2,-1}=-2。

5.q=2

解析：在等比數(shù)列{a?}中，a?=a?q2=4，S?=a?(1-q?)/(1-q)=44。所以a?=4/q2。代入S?的表達式，得4/q2(1-q?)/(1-q)=44，即(1-q?)/(q2(1-q))=11。因為q≠1，所以可以約去1-q，得(1+q+q2+q3+q?)/q2=11，即1+q+q2+q3+q?=11q2。整理得q?-10q2+1=0。令t=q2，則t2-10t+1=0。解得t=(10±√(100-4))/2=(10±√96)/2=(10±4√6)/2=5±2√6。因為q>0，所以q2=5+2√6，即q=√(5+2√6)=2。

知識點總結

本試卷涵蓋了高中數(shù)學的基礎知識，主要包括集合、函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、不等式、向量、解析幾何、導數(shù)等內(nèi)容。具體知識點如下：

1.集合：集合的概念、集合的運算（交集、并集、補集）、集合的性質。

2.函數(shù)：函數(shù)的概念、函數(shù)的定義域和值域、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的周期性、函數(shù)的圖像變換。

3.數(shù)列：數(shù)列的概念、等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列的通項公式、數(shù)列的前n項和。

4.三角函數(shù)：任意角的概念、三角函數(shù)的定義、三角函數(shù)的圖像和性質、