2025年下學期高中數學香港版試卷一、考試結構（一）必修部分卷一（傳統(tǒng)題，65%）考試時間：2小時15分鐘題型分布：甲部（1）：8-11題簡易問題（35分），覆蓋基礎課題（如代數運算、概率初步）；甲部（2）：4-7題較難題（35分），涉及綜合應用（如函數與圖像結合）；乙部：4-7題綜合題（35分），需跨模塊知識（如幾何證明與三角計算）。卷二（多項選擇題，35%）考試時間：1小時15分鐘題型分布：甲部（全卷三分之二）：基礎課題（如集合、方程求解）；乙部（全卷三分之一）：非基礎課題（如微積分初步、統(tǒng)計圖表分析）。（二）延伸部分（選修）單元一：微積分與統(tǒng)計考試時間：2小時30分鐘題型分布：甲部：8-12題短題目（50分），側重應用（如導數求極值、概率計算）；乙部：3-5題長題目（50分），需建模分析（如回歸方程與實際問題結合）。二、題型示例及解析（一）必修部分·卷一（傳統(tǒng)題）1.甲部（1）簡易問題題目：已知集合(A={x\mid-2\leqx<3,x\in\mathbb{Z}})，集合(B={x\midx^2-4x+3=0})，求(A\capB)及(A\cupB)。解析：集合(A)的元素為整數：({-2,-1,0,1,2})；解方程(x^2-4x+3=0)，得(x=1)或(x=3)，故(B={1,3})；交集(A\capB={1})，并集(A\cupB={-2,-1,0,1,2,3})。2.甲部（2）較難題題目：函數(f(x)=ax^2+bx+c)的圖像經過點((1,2))、((2,1))、((3,6))，求(a)、(b)、(c)的值，并判斷函數在區(qū)間([1,3])上的單調性。解析：將三點代入函數得方程組：[\begin{cases}a+b+c=2\4a+2b+c=1\9a+3b+c=6\end{cases}]解得(a=3)，(b=-10)，(c=9)，故(f(x)=3x^2-10x+9)；對稱軸(x=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}\approx1.67)，開口向上，因此函數在([1,\frac{5}{3}])單調遞減，在([\frac{5}{3},3])單調遞增。3.乙部綜合題題目：在平面直角坐標系中，直線(L:y=2x+1)與圓(C:(x-2)^2+(y-3)^2=r^2)相切，求圓的半徑(r)，并求過圓心且與(L)垂直的直線方程。解析：圓心((2,3))到直線(L)的距離(d=\frac{|2\times2-3+1|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac{2}{\sqrt{5}})，因相切故(r=d=\frac{2\sqrt{5}}{5})；(L)的斜率為2，垂線斜率為(-\frac{1}{2})，方程為(y-3=-\frac{1}{2}(x-2))，化簡得(x+2y-8=0)。（二）必修部分·卷二（多項選擇題）題目：若隨機變量(X)服從二項分布(B(n,p))，且(E(X)=4)，(Var(X)=2.4)，則(p=)（）A.0.4B.0.5C.0.6D.0.7解析：二項分布中(E(X)=np=4)，(Var(X)=np(1-p)=2.4)；代入得(4(1-p)=2.4)，解得(p=0.4)，選A。（三）延伸部分·單元一題目：某公司銷售一款產品，每月利潤(P(x))（單位：萬元）與銷量(x)（單位：千件）的關系為(P(x)=-x^3+6x^2+15x-10)，其中(x\geq0)。（1）求利潤最大時的銷量；（2）若每月固定成本為5萬元，求銷量為3千件時的凈利潤。解析：（1）求導(P'(x)=-3x^2+12x+15)，令(P'(x)=0)，解得(x=5)（(x=-1)舍去），故銷量為5千件時利潤最大；（2）銷量3千件時，毛利潤(P(3)=-27+54+45-10=62)萬元，凈利潤(62-5=57)萬元。三、命題特點與備考建議注重應用：題目常結合生活場景（如利潤計算、概率問題），需強化數學建模能力；跨模塊綜合：