2025年下學期高中數(shù)學重點強化訓練試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）已知集合A={x|x2-3x+2≤0}，B={x|log?(x-1)≥1}，則A∩B=（）A.[1,2]B.[2,+∞)C.[2,3]D.[1,3]函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期和對稱軸方程分別是（）A.π，x=kπ/2+π/12(k∈Z)B.2π，x=kπ+π/12(k∈Z)C.π，x=kπ+π/12(k∈Z)D.2π，x=kπ/2+π/12(k∈Z)已知向量a=(1,2)，b=(m,-1)，若a⊥(a+b)，則實數(shù)m=（）A.-3B.3C.-5D.5等比數(shù)列{an}中，a1=2，a4=16，則數(shù)列{an}的前5項和S5=（）A.30B.62C.126D.254某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積是（）A.12πcm3B.18πcm3C.24πcm3D.36πcm3已知直線l：y=kx+1與圓C：x2+y2-2x-3=0相交于A，B兩點，若|AB|=2√3，則k=（）A.±√3B.±√3/3C.±1D.±2從5名男生和4名女生中選出3人參加志愿者活動，要求至少有1名女生，則不同的選法共有（）A.70種B.80種C.90種D.100種函數(shù)f(x)=x3-3x2+2在區(qū)間[-1,2]上的最大值是（）A.0B.2C.4D.6已知α，β為銳角，cosα=3/5，sin(α+β)=5/13，則cosβ=（）A.16/65B.33/65C.56/65D.63/65拋物線y2=4x上一點P到焦點F的距離為5，則點P的坐標是（）A.(4,±4)B.(5,±2√5)C.(3,±2√3)D.(2,±2√2)已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2-(2a+1)x(a>0)，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A.(0,1/a)B.(1/a,+∞)C.(0,1)和(1/a,+∞)D.(0,1/a)和(1,+∞)在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC=2，∠BAC=90°，PA=3，則異面直線PB與AC所成角的余弦值是（）A.√5/5B.2√5/5C.√10/10D.3√10/10二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）若x，y滿足約束條件{x+y≥1，x-y≥-1，2x-y≤2}，則z=x+2y的最大值是______。已知tanθ=2，則sin2θ+cos2θ=______。雙曲線x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的離心率為√3，且過點(√3,2)，則雙曲線的標準方程是______。已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f(x)=x2-2x，則不等式f(x)>x的解集是______。三、解答題（本大題共6小題，共70分）（本小題滿分10分）已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足2bcosA=ccosA+acosC。（1）求角A的大??；（2）若a=√3，b+c=3，求△ABC的面積。（本小題滿分12分）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn=2an-2(n∈N*)。（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設bn=log2an，求數(shù)列{1/(bnbn+1)}的前n項和Tn。（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，E是PC的中點。（1）求證：BE∥平面PAD；（2）求三棱錐P-BDE的體積。（本小題滿分12分）某學校為了解學生的體育鍛煉情況，隨機抽取了100名學生進行調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：|性別|經(jīng)常鍛煉|不經(jīng)常鍛煉|合計||------|----------|------------|------||男生|40|20|60||女生|25|15|40||合計|65|35|100|（1）根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認為“學生的性別與是否經(jīng)常鍛煉有關”；（2）從經(jīng)常鍛煉的學生中按性別分層抽樣抽取13人，再從這13人中隨機抽取2人參加體育知識競賽，求至少有1名女生的概率。參考公式：K2=n(ad-bc)2/[(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]參考數(shù)據(jù)：|P(K2≥k0)|0.050|0.010|0.001||----------|-------|-------|-------||k0|3.841|6.635|10.828|（本小題滿分12分）已知橢圓C：x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為√3/2，且過點(2,1)。（1）求橢圓C的標準方程；（2）設直線l：y=kx+m與橢圓C交于A，B兩點，O為坐標原點，若OA⊥OB，求△AOB面積的最大值。（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=e^x-ax-1(a∈R)。（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)f(x)有兩個零點x1，x2(x1<x2)，求證：x1+x2<2lna。參考答案及評分標準一、選擇題C2.A3.C4.B5.B6.C7.B8.B9.C10.A11.D12.B二、填空題514.115.x2/3-y2/6=116.(-3,0)∪(3,+∞)三、解答題（1）由正弦定理得2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC=sin(A+C)=sinB，因為sinB≠0，所以cosA=1/2，又0<A<π，所以A=π/3。（5分）（2）由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-3bc，即3=9-3bc，解得bc=2，所以△ABC的面積S=1/2bcsinA=√3/2。（10分）（1）當n=1時，S1=2a1-2，解得a1=2；當n≥2時，Sn-1=2an-1-2，所以an=Sn-Sn-1=2an-2an-1，即an=2an-1，所以數(shù)列{an}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以an=2^n。（6分）（2）bn=log2an=n，所以1/(bnbn+1)=1/[n(n+1)]=1/n-1/(n+1)，所以Tn=1-1/2+1/2-1/3+...+1/n-1/(n+1)=1-1/(n+1)=n/(n+1)。（12分）（1）取PD的中點F，連接AF，EF，因為E是PC的中點，所以EF∥CD且EF=1/2CD，又因為四邊形ABCD是菱形，所以AB∥CD且AB=CD，所以EF∥AB且EF=AB，所以四邊形ABEF是平行四邊形，所以BE∥AF，又AF?平面PAD，BE?平面PAD，所以BE∥平面PAD。（6分）（2）因為PA⊥平面ABCD，所以PA是三棱錐P-BCD的高，PA=2，底面BCD的面積S=1/2×BC×CD×sin60°=√3，所以三棱錐P-BCD的體積V=1/3×S×PA=2√3/3，因為E是PC的中點，所以三棱錐E-BCD的體積是三棱錐P-BCD體積的1/2，即√3/3，所以三棱錐P-BDE的體積=三棱錐P-BCD的體積-三棱錐E-BCD的體積=√3/3。（12分）（1）K2=100×(40×15-20×25)2/[60×40×65×35]=100×(600-500)2/[60×40×65×35]=100×10000/546000≈1.83<3.841，所以沒有95%的把握認為“學生的性別與是否經(jīng)常鍛煉有關”。（6分）（2）經(jīng)常鍛煉的學生中男生有40人，女生有25人，按分層抽樣抽取13人，其中男生8人，女生5人，從13人中隨機抽取2人，共有C132=78種不同的選法，至少有1名女生的選法有C51C81+C52=40+10=50種，所以所求概率P=50/78=25/39。（12分）（1）由題意得e=c/a=√3/2，且4/a2+1/b2=1，又a2=b2+c2，解得a2=8，b2=2，所以橢圓C的標準方程為x2/8+y2/2=1。（4分）（2）聯(lián)立方程組{x2/8+y2/2=1，y=kx+m}，消去y得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-8=0，設A(x1,y1)，B(x2,y2)，則x1+x2=-8km/(1+4k2)，x1x2=(4m2-8)/(1+4k2)，因為OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0，即x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0，整理得(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0，代入得(1+k2)(4m2-8)/(1+4k2)-8k2m2/(1+4k2)+m2=0，化簡得5m2=8(1+k2)，所以m2=8(1+k2)/5。（8分）|AB|=√(1+k2)|x1-x2|=√(1+k2)√[(x1+x2)2-4x1x2]=√(1+k2)√[64k2m2/(1+4k2)2-4(4m2-8)/(1+4k2)]=√(1+k2)√[32(4k2+1-m2)/(1+4k2)2]=√(1+k2)√[32(4k2+1-8(1+k2)/5)/(1+4k2)2]=√(1+k2)√[32(12k2-3)/5(1+4k2)2]=4√6√[(1+k2)(4k2-1)]/[5(1+4k2)]，原點O到直線l的距離d=|m|/√(1+k2)=√[8(1+k2)/5]/√(1+k2)=√(8/5)，所以△AOB面積S=1/2|AB|d=1/2×4√6√[(1+k2)(4k2-1)]/[5(1+4k2)]×√(8/5)=4√3√[(1+k2)(4k2-1)]/[5(1+4k2)]，令t=4k2+1(t≥1)，則4k2-1=t-2，1+k2=(t+3)/4，所以S=4√3√[(t+3)/4×(t-2)]/(5t)=4√3√[(t+3)(t-2)]/(10t)=2√3√(t2+t-6)/(5t)，令u=1/t(0<u≤1)，則S=2√3√(1/u2+1/u-6)/(5/u)=2√3√(1+u-6u2)/5=2√3√[-6(u-1/12)2+25/24]/5≤2√3×5/(2√6)/5=√2，當且僅當u=1/12，即t=12，k2=11/4時取等號，所以△AOB面積的最大值為√2。（12分）（1）f'(x)=e^x-a，當a≤0時，f'(x)>0恒成立，所以f(x)在R上單調(diào)遞增；當a>0時，令f'(x)=0，得x=lna，當x<lna時，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，當x>lna時，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增。（4分）（2）由（1）知，當a≤0時，f(x)在R上單調(diào)遞增，最多有一個零點，不符合題意；當a>0時，f(x)在(-∞,lna)上單調(diào)遞減，在(lna,+∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)min=f(lna)=a-alna-1，因為函數(shù)f(x)有兩個零點，所以f(lna)=a-alna-1<0，即lna+1/a>1，令g(a)=lna+1/a(a>0)，則g'(a)=1/a-1/a2=(a-1)/a2，當0<a<1時，g'(a)<0，g(a)單調(diào)遞減，當a>1時，g'(a)>0，g(a)單調(diào)遞增，所以g(a)min=g(1)=1，所以當a>0且a≠1時，g(a)>1，又因為當a=1時，g(a)=1，所以a>0且a≠1，又因為f(0)=0，所以x1=0，要證x1+x2<2lna，即證x2<2lna，因為f(x)在(lna,+∞)上單調(diào)遞增，所以只需證f(2lna-x2)<f(x2)=0，又因為f(x2)=e^x2-ax2-1=0，所以e^x2=ax2+1，f(2lna-x2)=e^(2lna-x2)-a(2lna-x2)-1=a2/e^x2-2alna+ax2-1=a2/(ax2+1)-2alna+ax2-1=(a2-2alna(ax2+1)+(ax2+1)(ax2-1))/(ax2+1)=(a2-2a2xlna-2alna+a2x22-1)/(ax2+1)，因為a2x22-2a2xlna+a2-2alna-1=a2(x2-lna)2-2alna-1+a2lna2，又因為f(lna)=a-al