2025年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)周測（第四周）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(3,-4)，則sinα+cosα的值為（）A.-1/5B.1/5C.-7/5D.7/5解析：由三角函數(shù)定義，r=√(32+(-4)2)=5，sinα=y/r=-4/5，cosα=x/r=3/5，∴sinα+cosα=-4/5+3/5=-1/5，選A.函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期是（）A.π/2B.πC.2πD.4π解析：由周期公式T=2π/|ω|，ω=2，∴T=2π/2=π，選B.cos(-2025°)的值為（）A.√2/2B.-√2/2C.1D.0解析：-2025°=-6×360°+135°，∴cos(-2025°)=cos135°=-√2/2，選B.函數(shù)y=tan(x-π/4)的定義域是（）A.{x|x≠kπ+π/4,k∈Z}B.{x|x≠kπ+3π/4,k∈Z}C.{x|x≠kπ,k∈Z}D.{x|x≠kπ+π/2,k∈Z}解析：正切函數(shù)定義域?yàn)閤-π/4≠kπ+π/2，∴x≠kπ+3π/4，選B.已知sinα=3/5，α∈(π/2,π)，則tanα=（）A.3/4B.-3/4C.4/3D.-4/3解析：α∈(π/2,π)，cosα=-√(1-sin2α)=-4/5，tanα=sinα/cosα=-3/4，選B.函數(shù)f(x)=3sinx+4cosx的最大值是（）A.5B.7C.1D.-5解析：f(x)=5sin(x+φ)，其中tanφ=4/3，∴最大值為5，選A.若sinθ+cosθ=1/5，θ∈(0,π)，則sinθ-cosθ=（）A.7/5B.-7/5C.±7/5D.25/49解析：(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=1/25，∴2sinθcosθ=-24/25<0，θ∈(π/2,π)，(sinθ-cosθ)2=1-2sinθcosθ=49/25，∴sinθ-cosθ=7/5，選A.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A.y=sinxB.y=tanxC.y=x3+sinxD.y=cosx解析：A在R上非單調(diào)；B在定義域內(nèi)非連續(xù)增函數(shù)；C滿足奇函數(shù)定義且導(dǎo)數(shù)y’=3x2+cosx≥0，選C.已知tanα=2，則sin2α=（）A.1/5B.2/5C.3/5D.4/5解析：sin2α=2sinαcosα=2tanα/(1+tan2α)=4/5，選D.函數(shù)y=sin2x-cos2x的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A.kπ,kπ+π/2B.kπ-π/2,kπC.kπ-π/4,kπ+3π/4D.kπ+π/4,kπ+5π/4解析：y=-cos2x，增區(qū)間即cos2x減區(qū)間，2kπ≤2x≤2kπ+π，∴kπ≤x≤kπ+π/2，選A.在△ABC中，若sinA=sinB，則△ABC是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形解析：sinA=sinB?A=B或A=π-B（舍），∴A=B，等腰三角形，選A.已知函數(shù)f(x)=sinωx(ω>0)在[0,π/3]上單調(diào)遞增，則ω的最大值是（）A.3/2B.2C.3D.4解析：由單調(diào)區(qū)間：ω·π/3≤π/2，∴ω≤3/2，選A.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）已知向量a=(sinθ,1)，b=(1,cosθ)，若a⊥b，則tanθ=______解析：a·b=sinθ+cosθ=0?tanθ=-1，答案：-1函數(shù)f(x)=cosx-sinx的對稱中心坐標(biāo)為______解析：f(x)=√2cos(x+π/4)，對稱中心滿足x+π/4=kπ+π/2，∴x=kπ+π/4，對稱中心(kπ+π/4,0)(k∈Z)，答案：(kπ+π/4,0)(k∈Z)已知α,β為銳角，cosα=1/7，cos(α+β)=-11/14，則cosβ=______解析：sinα=4√3/7，sin(α+β)=5√3/14，cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=(-11/14)(1/7)+(5√3/14)(4√3/7)=1/2，答案：1/2關(guān)于x的方程sinx+√3cosx+a=0在[0,2π]上有兩個(gè)不同的實(shí)根，則a的取值范圍是______解析：2sin(x+π/3)=-a，令t=x+π/3∈[π/3,7π/3]，方程等價(jià)于sint=-a/2在[π/3,7π/3]有兩解，∴-a/2∈(-1,√3/2)∪(√3/2,1)，∴a∈(-2,-√3)∪(√3,2)，答案：(-2,-√3)∪(√3,2)三、解答題（本大題共6小題，共70分）17.（10分）已知sinα=2/3，α∈(π/2,π)，求cos(α-π/4)的值.解析：∵α∈(π/2,π)，∴cosα=-√(1-sin2α)=-√5/3，cos(α-π/4)=cosαcosπ/4+sinαsinπ/4=(-√5/3)(√2/2)+(2/3)(√2/2)=√2(2-√5)/6.18.（12分）已知函數(shù)f(x)=sin2x+√3sinxcosx+2cos2x.（1）求f(x)的最小正周期；（2）求f(x)在[0,π/2]上的最大值和最小值.解析：（1）f(x)=1/2(1-cos2x)+√3/2sin2x+1+cos2x=√3/2sin2x+1/2cos2x+3/2=sin(2x+π/6)+3/2，T=2π/2=π；（2）x∈[0,π/2]，2x+π/6∈[π/6,7π/6]，sin(2x+π/6)∈[-1/2,1]，∴f(x)∈[1,5/2]，最大值5/2，最小值1.19.（12分）已知tanα=3，計(jì)算：（1）(sinα+cosα)/(sinα-cosα)；（2）sin2α+sinαcosα+2cos2α.解析：（1）原式=(tanα+1)/(tanα-1)=(3+1)/(3-1)=2；（2）原式=(sin2α+sinαcosα+2cos2α)/(sin2α+cos2α)=(tan2α+tanα+2)/(tan2α+1)=(9+3+2)/(9+1)=14/10=7/5.20.（12分）已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π/2)的部分圖像如圖所示（圖略，描述：圖像過點(diǎn)(0,1)，(π/3,0)，且在x=π/12處取得最大值2）.（1）求f(x)的解析式；（2）求f(x)在[0,π]上的單調(diào)遞減區(qū)間.解析：（1）由最大值知A=2，T/4=π/3-π/12=π/4?T=π?ω=2，f(π/12)=2sin(π/6+φ)=2?π/6+φ=π/2?φ=π/3，∴f(x)=2sin(2x+π/3)；（2）令π/2+2kπ≤2x+π/3≤3π/2+2kπ，得π/12+kπ≤x≤7π/12+kπ，在[0,π]上遞減區(qū)間為[π/12,7π/12].21.（12分）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知sinA+sinB=2sinC，a=2b.（1）求cosC；（2）若S△ABC=3√15/4，求c的值.解析：（1）由正弦定理得a+b=2c，∵a=2b，∴c=3b/2，cosC=(a2+b2-c2)/(2ab)=(4b2+b2-9b2/4)/(4b2)=11/16；（2）sinC=√(1-cos2C)=3√15/16，S=1/2absinC=1/2×2b×b×3√15/16=3√15b2/16=3√15/4，∴b2=4?b=2，c=3b/2=3.22.（12分）已知函數(shù)f(x)=sinx+cosx，g(x)=sinx-cosx.（1）求證：f(π/2-x)=g(x)；（2）若f(x)=2g(x)，求(sin2x+sinxcosx)/(1+tanx)的值.解析：（1）f(π/2-x)=sin(π/2-x)+cos(π/2-x)=cosx+sinx=g(x)