2025年上學期高三數(shù)學“數(shù)學器件”中的數(shù)學知識試題（一）一、選擇題（本大題共10小題，每小題6分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）集合與邏輯用語某智能工廠的質檢系統(tǒng)通過“數(shù)學器件”對零件尺寸進行篩選，設定合格尺寸范圍為集合(A={x\mid2.95\leqx\leq3.05})（單位：mm），誤差允許范圍為集合(B={x\mid|x-3|\leq0.04})。若某零件尺寸(x)同時滿足(x\inA)且(x\notinB)，則該零件的尺寸可能是（）A.2.96B.3.01C.3.04D.3.05函數(shù)與導數(shù)某“數(shù)學器件”的核心部件運行溫度(T)（單位：℃）與運行時間(t)（單位：h）的關系滿足函數(shù)(T(t)=20+15\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right)+t^2)，其中(t\in[0,12])。則該部件在運行過程中溫度變化率最大的時刻是（）A.(t=3)B.(t=6)C.(t=9)D.(t=12)三角函數(shù)與解三角形某工程隊使用“數(shù)學器件”測量一山體高度，在山腳(A)處測得山頂(B)的仰角為(30^\circ)，沿坡度為(1:\sqrt{3})的斜坡前進100米到達點(C)，再測得山頂仰角為(60^\circ)，則山體高度(BD)（單位：米）為（）A.(50(\sqrt{3}+1))B.(50(3+\sqrt{3}))C.(100(\sqrt{3}-1))D.(100(3-\sqrt{3}))平面向量與復數(shù)“數(shù)學器件”的信號傳遞模型中，復數(shù)(z_1=a+bi)與向量(\vec{m}=(a,b))對應，復數(shù)(z_2=\cos\theta+i\sin\theta)（(\theta\in\mathbb{R})）。若(|z_1|=2)，且(z_1\cdotz_2)的實部為1，則向量(\vec{m})與(\vec{n}=(\cos\theta,\sin\theta))的夾角為（）A.(30^\circ)B.(60^\circ)C.(120^\circ)D.(150^\circ)立體幾何某“數(shù)學器件”的內部結構為一個棱長為2的正方體，其中(E,F)分別為棱(AB,CC_1)的中點，過(D_1,E,F)三點的平面將正方體分割成兩部分，則較小部分的體積為（）A.(\frac{5}{3})B.(\frac{7}{3})C.(\frac{4}{3})D.(\frac{8}{3})數(shù)列與不等式“數(shù)學器件”的迭代運算程序中，定義數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=\frac{a_n^2+2}{2a_n})，則下列結論正確的是（）①數(shù)列({a_n})單調遞減；②(a_n\geq\sqrt{2})對(n\geq2)恒成立；③(a_{n+1}-\sqrt{2}<\frac{1}{4}(a_n-\sqrt{2})^2)A.①②B.②③C.①③D.①②③概率統(tǒng)計某“數(shù)學器件”的質量檢測系統(tǒng)中，每件產品的合格概率為(p)（(0<p<1)），且各產品是否合格相互獨立?，F(xiàn)檢測100件產品，記合格產品數(shù)為(X)，若(E(X)=80)，(D(X)=16)，則(P(X=80))的值為（）A.(\binom{100}{80}\left(\frac{4}{5}\right)^{80}\left(\frac{1}{5}\right)^{20})B.(\binom{100}{80}\left(\frac{3}{5}\right)^{80}\left(\frac{2}{5}\right)^{20})C.(\binom{100}{80}\left(\frac{2}{5}\right)^{80}\left(\frac{3}{5}\right)^{20})D.(\binom{100}{80}\left(\frac{1}{5}\right)^{80}\left(\frac{4}{5}\right)^{20})圓錐曲線“數(shù)學器件”的光學聚焦模型中，橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的左焦點為(F)，過(F)的直線與橢圓交于(A,B)兩點，若(AB)的中點坐標為((-1,1))，且橢圓離心率(e=\frac{\sqrt{2}}{2})，則橢圓方程為（）A.(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1)B.(\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1)C.(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1)D.(\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{6}=1)數(shù)學建模與優(yōu)化問題某工廠使用“數(shù)學器件”優(yōu)化生產計劃，生產甲、乙兩種產品，甲產品每件利潤30元，需消耗原料A2kg；乙產品每件利潤40元，需消耗原料A3kg。每天原料A供應不超過120kg，且甲產品產量不超過乙產品的2倍。設每天生產甲、乙產品分別為(x,y)件，則利潤(z)的最大值為（）A.1600元B.1760元C.1800元D.1920元創(chuàng)新題型（開放探究）“數(shù)學器件”的算法模塊中，定義“階梯函數(shù)”(f(n)=\begin{cases}n-3,&n\geq1000,\f(f(n+5)),&n<1000,\end{cases})（(n\in\mathbb{N}^*)）。以下關于該函數(shù)的說法正確的是（）①(f(997)=997)；②對任意(n<1000)，均有(f(n)=997)；③函數(shù)(f(n))的值域為({997,998,999})A.①B.①②C.②③D.①②③二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）多空題某“數(shù)學器件”的誤差分析模型中，隨機變量(X)服從正態(tài)分布(N(\mu,\sigma^2))，若(P(X\leq1)=0.2)，(P(X\geq5)=0.3)，則(\mu=)，(P(1<X<3)=)。數(shù)列與數(shù)學歸納法“數(shù)學器件”的迭代程序中，數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=\frac{a_n}{1+a_n})，則其前(n)項和(S_n=)，若(S_n>\frac{9}{10})，則(n)的最小值為。立體幾何（空間向量）在“數(shù)學器件”的三維結構中，直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB\perpAC)，(AB=AC=AA_1=2)，(M)為(B_1C_1)的中點，則直線(AM)與平面(A_1BC)所成角的正弦值為______。概率統(tǒng)計（貝葉斯定理）某“數(shù)學器件”的故障診斷系統(tǒng)中，設備故障率為5%，故障時系統(tǒng)報警概率為90%，未故障時誤報概率為10%。若系統(tǒng)報警，則設備實際故障的概率為______（結果用分數(shù)表示）。圓錐曲線與參數(shù)方程“數(shù)學器件”的軌跡模擬中，曲線(C)的參數(shù)方程為(\begin{cases}x=2+\cos\theta,\y=\sin\theta\end{cases})（(\theta)為參數(shù)），直線(l)的極坐標方程為(\rho\cos\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2})，則曲線(C)與直線(l)的交點個數(shù)為______。數(shù)學文化與中國古代數(shù)學《九章算術》中的“竹九節(jié)”問題：“今有竹九節(jié)，下三節(jié)容四升，上四節(jié)容三升，問中間二節(jié)欲均容各多少？”其大意為：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，下3節(jié)的容積共4升，上4節(jié)的容積共3升，若各節(jié)容積成等差數(shù)列，則中間第5節(jié)的容積為______升。三、解答題（本大題共6小題，共70分）代數(shù)綜合題（10分）“數(shù)學器件”的信號處理中，函數(shù)(f(x)=\sin\omegax+\cos\omegax)（(\omega>0)）的最小正周期為(\pi)。（1）求(\omega)的值及函數(shù)(f(x))的單調遞增區(qū)間；（2）若(f\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{\sqrt{2}}{3})，(\alpha\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right))，求(\sin2\alpha)的值。立體幾何綜合題（12分）“數(shù)學器件”的精密結構中，四棱錐(P-ABCD)的底面為菱形，(PA\perp)底面(ABCD)，(AB=2)，(\angleABC=60^\circ)，(PA=3)。（1）求證：平面(PBD\perp)平面(PAC)；（2）若點(M)在線段(PC)上，且(PM=\frac{1}{3}PC)，求二面角(M-BD-C)的余弦值。概率統(tǒng)計與數(shù)據(jù)分析（12分）某“數(shù)學器件”的性能測試中，對100次實驗數(shù)據(jù)進行整理，得到如下頻率分布直方圖：（注：直方圖中各組數(shù)據(jù)區(qū)間為([50,60),[60,70),\ldots,[90,100])，頻率分別為0.1,0.2,0.3,0.3,0.1）（1）求測試數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差（同一組數(shù)據(jù)用區(qū)間中點值代替）；（2）若從測試成績不低于80分的樣本中隨機抽取2個，記成績在([90,100])的個數(shù)為(X)，求(X)的分布列及數(shù)學期望。數(shù)學建模與實際應用（12分）某物流公司使用“數(shù)學器件”規(guī)劃配送路線，從倉庫(O)出發(fā)，向(A,B)兩個配送點送貨，(OA=30km)，(OB=40km)，(\angleAOB=60^\circ)。（1）若直接配送至(A)再到(B)，求總路程；（2）現(xiàn)規(guī)劃經(jīng)中轉點(C)配送，(C)在線段(AB)上，要求(OC)最短，求此時(AC)的長度及總配送路程（(O\toC\toA\toB)）。函數(shù)與導數(shù)綜合題（12分）“數(shù)學器件”的能耗優(yōu)化模型中，函數(shù)(f(x)=x\lnx-ax^2+(2a-1)x)（(a\in\mathbb{R})）。（1）討論函數(shù)(f(x))的單調性；（2）若(f(x))在(x=1)處取得極大值，且對任意(x\geq1)，(f(x)\leqk(x-1))恒成立，求實數(shù)(k)的取值