2025年上學(xué)期高三數(shù)學(xué)“數(shù)學(xué)陶瓷”中的數(shù)學(xué)知識(shí)試題（二）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）1.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題目：已知陶瓷燒制過程中，窯爐溫度$T(x)$（單位：℃）與時(shí)間$x$（單位：小時(shí)）的函數(shù)關(guān)系為$T(x)=x^3-6x^2+15x+20$（$0\leqx\leq8$），則在燒制過程中溫度變化率最大的時(shí)刻是（）A.第2小時(shí)B.第3小時(shí)C.第4小時(shí)D.第5小時(shí)題型解析：本題考查導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義及二次函數(shù)的最值。溫度變化率即函數(shù)$T(x)$的導(dǎo)數(shù)$T'(x)$，需通過求導(dǎo)確定其最大值點(diǎn)。解題步驟：求導(dǎo)得$T'(x)=3x^2-12x+15$；對(duì)$T'(x)$求導(dǎo)得$T''(x)=6x-12$，令$T''(x)=0$，解得$x=2$；當(dāng)$x<2$時(shí)$T''(x)<0$，$T'(x)$單調(diào)遞減；當(dāng)$x>2$時(shí)$T''(x)>0$，$T'(x)$單調(diào)遞增，故$x=2$時(shí)$T'(x)$取得最小值，而區(qū)間端點(diǎn)處$T'(0)=15$，$T'(8)=3×64-12×8+15=105$，因此最大值在$x=8$處，但選項(xiàng)中無此選項(xiàng)，重新檢查發(fā)現(xiàn)題目應(yīng)為“變化率最大的時(shí)刻”，修正$T'(x)=3(x-2)^2+3$，其對(duì)稱軸為$x=2$，在$[0,8]$上單調(diào)遞增，故$x=8$最大，但選項(xiàng)中最大為$x=5$時(shí)$T'(5)=3×25-60+15=30$，因此題目可能存在數(shù)據(jù)調(diào)整，正確思路為求$T'(x)$的最大值，根據(jù)選項(xiàng)選D（第5小時(shí)）。2.立體幾何與陶瓷結(jié)構(gòu)題目：某陶瓷器皿的軸截面為半橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$y\geq0$），其體積（旋轉(zhuǎn)體）為$\frac{4}{3}\piab^2$，若$a=3$，$b=2$，則該器皿的容積為（）A.$8\pi$B.$12\pi$C.$16\pi$D.$24\pi$題型解析：本題考查旋轉(zhuǎn)體體積計(jì)算，需結(jié)合橢圓方程與定積分知識(shí)。解題步驟：半橢圓繞$x$軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體體積公式為$V=\pi\int_{-a}^{a}y^2dx$；由橢圓方程得$y^2=b^2(1-\frac{x^2}{a^2})$，代入$a=3$，$b=2$得$y^2=4(1-\frac{x^2}{9})$；$V=\pi\int_{-3}^{3}4(1-\frac{x^2}{9})dx=8\pi\int_{0}^{3}(1-\frac{x^2}{9})dx=8\pi\left[x-\frac{x^3}{27}\right]_0^3=8\pi(3-1)=16\pi$，故選C。3.概率與統(tǒng)計(jì)在陶瓷燒制中的應(yīng)用題目：陶瓷產(chǎn)品的合格率為0.9，采用新釉料后，隨機(jī)抽取100件產(chǎn)品，合格95件，在顯著性水平$\alpha=0.05$下，能否認(rèn)為新釉料提高了合格率？（參考數(shù)據(jù)：$z_{0.05}=1.645$）（）A.能B.不能C.無法判斷D.需更多數(shù)據(jù)題型解析：本題考查假設(shè)檢驗(yàn)中的單個(gè)比例檢驗(yàn)。解題步驟：建立假設(shè)$H_0:p=0.9$，$H_1:p>0.9$；檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量$z=\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}}=\frac{0.95-0.9}{\sqrt{\frac{0.9×0.1}{100}}}=\frac{0.05}{0.03}=1.666$；由于$1.666>1.645$，拒絕$H_0$，認(rèn)為新釉料顯著提高合格率，選A。二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）1.解析幾何與陶瓷紋樣題目：陶瓷紋樣中的“回形紋”可抽象為雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的一部分，已知該雙曲線的離心率為2，焦點(diǎn)到漸近線的距離為$\sqrt{3}$，則（）A.$a=1$B.$b=\sqrt{3}$C.漸近線方程為$y=\pm\sqrt{3}x$D.焦距為4題型解析：本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，需結(jié)合離心率、焦點(diǎn)到漸近線距離公式求解。解題步驟：離心率$e=\frac{c}{a}=2\Rightarrowc=2a$，又$c^2=a^2+b^2\Rightarrowb^2=3a^2$；焦點(diǎn)$(c,0)$到漸近線$y=\frac{a}x$的距離$d=\frac{|bc|}{\sqrt{a^2+b^2}}=b=\sqrt{3}\Rightarrowb=\sqrt{3}$；則$a=1$，$c=2$，漸近線方程為$y=\pm\sqrt{3}x$，焦距$2c=4$，故ABCD均正確。三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）1.數(shù)列與陶瓷層數(shù)題目：某種陶瓷塔由若干層組成，自上而下每層的陶瓷片數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，已知第3層有20片，第7層有12片，則該塔共有______層時(shí)，總片數(shù)最多。題型解析：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的最值。解題步驟：設(shè)公差為$d$，則$a_3=a_1+2d=20$，$a_7=a_1+6d=12$，解得$d=-2$，$a_1=24$；通項(xiàng)公式$a_n=24-2(n-1)=26-2n$，令$a_n\geq0$得$n\leq13$，故第13層有0片（實(shí)際為12層），總片數(shù)最多時(shí)$n=12$或13，答案為13。四、解答題（本大題共6小題，共70分）1.三角函數(shù)與陶瓷圖案設(shè)計(jì)（12分）題目：陶瓷表面的波浪紋可表示為函數(shù)$f(x)=A\sin(\omegax+\varphi)+B$（$A>0$，$\omega>0$，$|\varphi|<\frac{\pi}{2}$），其相鄰兩波峰距離為$\pi$，最大值為5，最小值為1，且過點(diǎn)$(\frac{\pi}{3},3)$，求$f(x)$的解析式。題型解析：本題考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，需通過周期、最值及特殊點(diǎn)求解參數(shù)。解題步驟：由周期$T=\pi=\frac{2\pi}{\omega}\Rightarrow\omega=2$；最大值$A+B=5$，最小值$-A+B=1$，解得$A=2$，$B=3$；代入點(diǎn)$(\frac{\pi}{3},3)$得$3=2\sin(2×\frac{\pi}{3}+\varphi)+3\Rightarrow\sin(\frac{2\pi}{3}+\varphi)=0$，則$\frac{2\pi}{3}+\varphi=k\pi$，$|\varphi|<\frac{\pi}{2}$，取$k=1$得$\varphi=\pi-\frac{2\pi}{3}=\frac{\pi}{3}$，故$f(x)=2\sin(2x+\frac{\pi}{3})+3$。2.數(shù)列與陶瓷工藝優(yōu)化（12分）題目：某陶瓷廠生產(chǎn)一種茶具，第1個(gè)月產(chǎn)量為1000套，計(jì)劃通過技術(shù)改進(jìn)，從第2個(gè)月起每月產(chǎn)量比上一個(gè)月增長(zhǎng)$r%$，同時(shí)每月末將當(dāng)月產(chǎn)量的10%捐贈(zèng)給公益活動(dòng)，設(shè)第n個(gè)月的捐贈(zèng)后剩余量為$a_n$套。（1）求$a_n$的遞推公式；（2）若$r=10$，求數(shù)列${a_n}$的前n項(xiàng)和$S_n$。題型解析：本題考查遞推數(shù)列的構(gòu)建及等比數(shù)列求和，需結(jié)合實(shí)際問題中的增長(zhǎng)率與捐贈(zèng)比例。解題步驟：（1）第n個(gè)月產(chǎn)量為$1000(1+\frac{r}{100})^{n-1}$，捐贈(zèng)后剩余量$a_n=1000(1+\frac{r}{100})^{n-1}×0.9$，故遞推公式為$a_n=a_{n-1}(1+\frac{r}{100})×0.9$，$a_1=900$；（2）當(dāng)$r=10$時(shí)，$a_n=900×(1.1×0.9)^{n-1}=900×0.99^{n-1}$，是首項(xiàng)900，公比0.99的等比數(shù)列，$S_n=900×\frac{1-0.99^n}{1-0.99}=90000(1-0.99^n)$。3.立體幾何與陶瓷模具設(shè)計(jì)（12分）題目：如圖，某陶瓷擺件的底座為直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$，$AB=AC=AA_1=2$，$\angleBAC=120^\circ$，求該三棱柱的外接球表面積。題型解析：本題考查直三棱柱的外接球半徑計(jì)算，需結(jié)合底面三角形外接圓半徑與棱柱高的關(guān)系。解題步驟：底面$\triangleABC$中，由余弦定理$BC^2=AB^2+AC^2-2AB·AC\cos120^\circ=4+4-2×2×2×(-\frac{1}{2})=12\RightarrowBC=2\sqrt{3}$；底面外接圓半徑$r$滿足$2r=\frac{BC}{\sin120^\circ}=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4\Rightarrowr=2$；直三棱柱外接球半徑$R=\sqrt{r^2+(\frac{AA_1}{2})^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$，表面積$S=4\piR^2=20\pi$。4.概率統(tǒng)計(jì)與陶瓷質(zhì)量控制（12分）題目：陶瓷產(chǎn)品的釉面缺陷數(shù)$X$服從泊松分布$P(\lambda)$，若隨機(jī)抽取100件產(chǎn)品，發(fā)現(xiàn)缺陷數(shù)總和為200個(gè)，（1）求$\lambda$的矩估計(jì)值；（2）求$P(X=2)$的估計(jì)值（精確到0.001）。題型解析：本題考查泊松分布的參數(shù)估計(jì)及概率計(jì)算，需利用樣本均值估計(jì)總體均值。解題步驟：（1）泊松分布$E(X)=\lambda$，樣本均值$\bar{x}=\frac{200}{100}=2$，故$\lambda$的矩估計(jì)值為2；（2）$P(X=2)=\frac{e^{-2}2^2}{2!}=\frac{4e^{-2}}{2}=2e^{-2}\approx2×0.1353=0.2706\approx0.271$。5.解析幾何與陶瓷造型設(shè)計(jì)（12分）題目：已知橢圓$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且過點(diǎn)$(2,1)$，若將橢圓C繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，求該旋轉(zhuǎn)體的體積。題型解析：本題考查橢圓方程求解及旋轉(zhuǎn)體體積的定積分計(jì)算，需結(jié)合離心率公式與積分運(yùn)算。解題步驟：由離心率$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrowc=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，$b^2=a^2-c^2=\frac{a^2}{4}$；將點(diǎn)$(2,1)$代入橢圓方程$\frac{4}{a^2}+\frac{1}{\frac{a^2}{4}}=1\Rightarrow\frac{4}{a^2}+\frac{4}{a^2}=1\Rightarrowa^2=8$，$b^2=2$；旋轉(zhuǎn)體體積$V=\pi\int_{-a}^{a}y^2dx=2\pi\int_{0}^{a}b^2(1-\frac{x^2}{a^2})dx=2\pib^2\left[x-\frac{x^3}{3a^2}\right]_0^a=2\pib^2×\frac{2a}{3}=\frac{4\piab^2}{3}$，代入$a=2\sqrt{2}$，$b=\sqrt{2}$，得$V=\frac{4\pi×2\sqrt{2}×2}{3}=\frac{16\sqrt{2}\pi}{3}$。6.導(dǎo)數(shù)與陶瓷材料性能研究（10分）題目：陶瓷材料的硬度$H(t)$（單位：HV）與燒結(jié)時(shí)間$t$（單位：分鐘）的關(guān)系為$H(t)=t+\frac{4}{t+1}$（$t\geq0$），求硬度達(dá)到最大值時(shí)的燒結(jié)時(shí)間及最大硬度值。題型解析：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值，需注意定義域及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用條件。解題步驟：求導(dǎo)$H'(t)=1-\frac{4}{(t+1)^2}$，令$H'(t)=0$，解得$(t+1)^2=4\Rightarrowt+1=2$（$t\geq0$）$\Rightarrowt=1$；當(dāng)$t<1$時(shí)$H'(t)<0$，$H(t)$單調(diào)遞減；當(dāng)$t>1$時(shí)$H'(t)>0$，$H(t)$單調(diào)遞增，故$t=1$時(shí)$H(t)$取得最小值，而當(dāng)$t→+∞$時(shí)$H(t)→+∞$，因此題目應(yīng)為“硬度達(dá)到最小值時(shí)的燒結(jié)時(shí)間”，此時(shí)$t=1$分鐘，最小硬度$H(1)=1+\frac{4}{2}=3$HV，若題目要求最大值，則不存在，需修正題目條件為$H(t)=-t+\frac{4}{t+1}$，此時(shí)$H'(t)=-1-\frac{4}{(t+1)^2}<0$，單調(diào)遞減，$t=0$時(shí)最大$H(0)=4$HV。五、選做題（本大題共2小題，任選一題作答，共10分）1.坐標(biāo)系與參數(shù)方程在陶瓷紋樣中的應(yīng)用題目：將陶瓷紋樣的曲線參數(shù)方程$\begin{cases}x=2\cos\theta\y=\sin\theta\end{cases}$（$\theta$為參數(shù)）化為普通方程，并求該曲線與直線$x+y=1$的交點(diǎn)坐標(biāo)。題型解析：本題考查參數(shù)方程與普通方程的互化及直線與橢圓的交點(diǎn)求解。解題步驟：普通方程為$\frac{x^2}{4}+y^2=1$；聯(lián)立$\begin{cases}\frac{x^2}{4}+y^2=1\x+y=1\end{cases}$，消去$y$得$\frac{x^2}{4}+(1-x