2025高考--圓錐曲線的方程（一輪復(fù)習(xí)）課時(shí)十四知識(shí)點(diǎn)一根據(jù)雙曲線的漸近線求標(biāo)準(zhǔn)方程,求雙曲線中的弦長(zhǎng),由中點(diǎn)弦坐標(biāo)或中點(diǎn)弦方程、斜率求參數(shù),根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù)典例1、已知雙曲線的離心率為2，F(xiàn)為雙曲線C的右焦點(diǎn)，M為雙曲線C上的任一點(diǎn)，且點(diǎn)M到雙曲線C的兩條漸近線距離的乘積為，（1）求雙曲線C的方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)F且與坐標(biāo)軸不垂直的直線l與雙曲線C相交于點(diǎn)P，Q，線段PQ的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)B，求的值．

隨堂練習(xí)：已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)F與x軸垂直的直線與雙曲線C交于M，N兩點(diǎn)，且.（1）求C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線C的左?右兩支分別交于D，E兩點(diǎn)，與雙曲線C的兩條漸近線分別交于G，H兩點(diǎn)，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.典例2、以雙曲線的右焦點(diǎn)為圓心作圓，與的一條漸近線切于點(diǎn)．（1）求雙曲線的離心率及方程；（2）點(diǎn)分別是雙曲線的左、右頂點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)作一條斜率為的直線，與雙曲線交于點(diǎn)，記直線的斜率分別為，．求的值．

隨堂練習(xí)：已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且點(diǎn)，，三個(gè)點(diǎn)中有且僅有兩點(diǎn)在雙曲線上．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線交雙曲線于軸右側(cè)兩個(gè)不同點(diǎn)的，連接分別交直線于點(diǎn)．若直線與直線的斜率互為相反數(shù)，證明：為定值．典例3、已知雙曲線的焦距為，且過(guò)點(diǎn)，直線與曲線右支相切（切點(diǎn)不為右頂點(diǎn)），且分別交雙曲線的兩條漸近線與、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求雙曲線的方程；（2）求證：面積為定值，并求出該定值.

知識(shí)點(diǎn)二拋物線的焦半徑公式,根據(jù)拋物線上的點(diǎn)求標(biāo)準(zhǔn)方程,拋物線中的參數(shù)范圍問(wèn)題,拋物線中的定值問(wèn)題典例4、已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上．（1）若，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，且滿足，原點(diǎn)到直線的距離不小于，求的取值范圍．

隨堂練習(xí)：已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1.（1）求C的方程；（2）已知點(diǎn)在C上，且線段AB的中垂線l的斜率為，求l在y軸上的截距的取值范圍.典例5、已知拋物線，點(diǎn)為其焦點(diǎn)，點(diǎn)、在拋物線上，且直線過(guò)點(diǎn)，.（1）求拋物線的方程；（2）過(guò)焦點(diǎn)作互相垂直的兩條直線，與拋物線分別相交于點(diǎn)、和、，點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)，求面積的最小值.

隨堂練習(xí)：已知拋物線C：，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，是拋物線C上點(diǎn)，且；（1）求拋物線C的方程；（2）過(guò)平面上一動(dòng)點(diǎn)作拋物線C的兩條切線PA，PB（其中A，B為切點(diǎn)），求的最大值.2025高考--圓錐曲線的方程（一輪復(fù)習(xí)）課時(shí)十四答案典例1、答案：（1）（2）1解：（1）由題意可得，漸近線的方程為，設(shè)，則有，即，因?yàn)辄c(diǎn)M到雙曲線C的兩條漸近線距離的乘積為，所以，又離心率，即，所以，所以，，所以雙曲線的方程為；（2）由（1）知，，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，所以，若，，則，，所以|，所以，所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以線段的垂直平分線的方程為，整理得，所以，則，所以．隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）解：（1）由題意得，解得故C的方程為.（2）顯然直線率存在，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，得，因?yàn)榕c雙曲線C的左，右兩支分別交于D，E兩點(diǎn)，故，解得，此時(shí)有.，，由，解得，同理可得，所以.因?yàn)?，?因?yàn)椋?，故?shí)數(shù)的取值范圍是.典例2答案：（1）離心率為，方程為；（2）．解：（1）雙曲線的漸近線為，所以圓與切于點(diǎn)，．①設(shè)，則，即，②又，③由①②③解得，，，所以雙曲線的離心率為，方程為．（2）因?yàn)椋?，，設(shè)的方程為，，，由，消去整理得，所以且解得，所以，，，，．故的值為．隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）證明見(jiàn)解析.解：（1）由題意知：不可能同時(shí)在雙曲線上；若在雙曲線上，則雙曲線焦點(diǎn)在軸上，可設(shè)為，，解得：，雙曲線方程為；若在雙曲線上，則雙曲線焦點(diǎn)在軸上，可設(shè)為，，方程組無(wú)解；綜上所述：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題意知：直線，即直線斜率存在，可設(shè)，，，由得：，且，即且；，，直線與直線的斜率互為相反數(shù)，，即，化簡(jiǎn)得：，整理可得：，即；當(dāng)時(shí)，，則，恒過(guò)點(diǎn)，與已知矛盾，舍去；當(dāng)，即時(shí)，直線直線，即，，，即；要證為定值，即證為定值，即證為定值，，，即為定值.典例3、答案：（1）；（2）證明見(jiàn)解析，面積為.解:（1）設(shè)雙曲線的焦距為，由題意可得：，則雙曲線的方程為；（2）由于直線與雙曲線右支相切（切點(diǎn)不為右頂點(diǎn)），則直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，則消得，，①設(shè)與軸交于一點(diǎn)，，，雙曲線兩條漸近線方程為：，聯(lián)立，聯(lián)立，則（定值）.典例4、答案：（1）或；（2）.解：（1）由題意及拋物線的定義得：，又因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，由可得或，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或．（2）設(shè)，，聯(lián)立消去可得：，則，，因?yàn)?，所以，所以，可得，由原點(diǎn)到直線的距離不小于，可得，解得或，因?yàn)?，所以不成立，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，所以，即的取值范圍為．隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）.解：（1）因拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1，則p=1，所以C的方程為.（2）依題意，設(shè)直線l的方程為，直線AB的方程為y=2x+m，設(shè)，由消去x得：，由題意知，得，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為，則，再由，可得，又點(diǎn)N在直線l上，則，于是，從而有，所以l在y軸上的截距的取值范圍為.典例5、答案：（1）；（2）16.解：（1）過(guò)點(diǎn)、分別作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為、，易知，，因?yàn)椋瑒t，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，則為的中位線，所以，，則，所以，點(diǎn)在線段的垂直平分線上，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，解得，所以，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）因?yàn)?，若直線、分別與兩坐標(biāo)軸垂直，則直線、中有一條與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意.所以，直線、的斜率均存在且不為，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，聯(lián)立，得，則，設(shè)、，則，設(shè)，則，則，所以，同理可得，故，，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故面積的最小值為.隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）.解：（1）依題意得：∴，∴，所求拋物線的方程為；（2）拋物線的方程為，即∴，設(shè)，，