2025年數(shù)學(xué)專升本復(fù)變函數(shù)練習(xí)試卷含答案考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題2分，共10分。請(qǐng)將正確選項(xiàng)的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）1.函數(shù)$f(z)=\frac{z^2-1}{z-1}$在$z=1$處（）。A.可導(dǎo)但不可微B.不可導(dǎo)但可微C.既是可導(dǎo)又是可微D.既不可導(dǎo)又不可微2.函數(shù)$f(z)=|z|^2$在$z$平面上（）。A.處處解析B.處處不可解析C.僅在$z=0$處解析D.僅在$z=0$處可微3.如果函數(shù)$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$在區(qū)域$D$內(nèi)解析，則$u(x,y)$和$v(x,y)$必滿足（）。A.$\frac{\partialu}{\partialx}=\frac{\partialv}{\partialy}$且$\frac{\partialu}{\partialy}=-\frac{\partialv}{\partialx}$B.$\frac{\partialu}{\partialx}=\frac{\partialv}{\partialy}$且$\frac{\partialu}{\partialy}=\frac{\partialv}{\partialx}$C.$\frac{\partialu}{\partialx}=-\frac{\partialv}{\partialy}$且$\frac{\partialu}{\partialy}=\frac{\partialv}{\partialx}$D.$\frac{\partialu}{\partialx}=-\frac{\partialv}{\partialy}$且$\frac{\partialu}{\partialy}=-\frac{\partialv}{\partialx}$4.如果函數(shù)$f(z)=\frac{1}{z^2+1}$，則$f(z)$在$z=i$處的留數(shù)是（）。A.$\frac{1}{2i}$B.$-\frac{1}{2i}$C.$i$D.$-i$5.函數(shù)$f(z)=\frac{z^2+1}{z(z-1)}$在$z=0$處的洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)式中，$z^{-1}$項(xiàng)的系數(shù)是（）。A.1B.-1C.0D.2二、填空題（每小題2分，共10分。請(qǐng)將答案填在題后的橫線上）1.柯西積分定理的內(nèi)容是：如果函數(shù)$f(z)$在簡(jiǎn)單閉曲線$C$及其內(nèi)部解析，則$\oint_Cf(z)\,dz$。2.函數(shù)$f(z)=e^z$在整個(gè)$z$平面上是解析的。3.函數(shù)$f(z)=\frac{1}{(z-1)(z-2)}$在$z=1$處的留數(shù)是。4.函數(shù)$f(z)=\frac{1}{z(z-1)}$在$|z|<1$內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)式為。5.將函數(shù)$f(z)=\frac{1}{z^2+1}$展開(kāi)成$z$的冪級(jí)數(shù)，其收斂半徑為。三、計(jì)算題（每小題5分，共20分）1.計(jì)算積分$\oint_C\frac{z^2+1}{z^2}\,dz$，其中$C$是圓周$|z|=2$。2.計(jì)算積分$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{x^2+2x+2}$。3.將函數(shù)$f(z)=\frac{1}{z^2-2z+2}$展開(kāi)成$z$的泰勒級(jí)數(shù)。4.求將上半平面$\operatorname{Im}(z)>0$映射為單位圓盤(pán)$|w|<1$的分式線性映射$w=\frac{az+b}{cz+d}$，且滿足$w(i)=0$，$w(-1)=1$。四、證明題（每小題10分，共20分）1.證明：如果函數(shù)$f(z)$在區(qū)域$D$內(nèi)解析，且$f(z)\neq0$，則$f(z)$在$D$內(nèi)不存在零點(diǎn)。2.證明：函數(shù)$f(z)=\overline{z}$在$z$平面上處處不可解析。試卷答案一、選擇題1.C2.B3.A4.B5.B二、填空題1.等于零2.解析3.-14.$\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nz^{n-1}$，$|z|<1$5.1三、計(jì)算題1.解析思路：將$\frac{z^2+1}{z^2}$拆分為$\frac{1}{z^2}+1$，利用柯西積分公式和柯西積分定理計(jì)算。答案：$\oint_C\frac{z^2+1}{z^2}\,dz=\oint_C\left(\frac{1}{z^2}+1\right)dz=\oint_C\frac{1}{z^2}\,dz+\oint_C1\,dz=0+0=0$.2.解析思路：利用留數(shù)定理計(jì)算。將積分路徑擴(kuò)展為半圓弧，并利用$z=x+iy$代入被積函數(shù)。答案：$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{x^2+2x+2}=\pii\cdot\text{Res}\left(\frac{1}{(z+1)^2+1},z=-1\right)=\pii\cdot\frac{1}{2i}=\frac{\pi}{2}$.3.解析思路：將分母配方，然后利用$\frac{1}{1-w}=\sum_{n=0}^{\infty}w^n$展開(kāi)級(jí)數(shù)。答案：$f(z)=\frac{1}{(z-1)^2+1}=\frac{1}{(z-1-i)(z-1+i)}=\frac{1}{2i}\left(\frac{1}{z-1-i}-\frac{1}{z-1+i}\right)=\frac{1}{2i}\left(\frac{1}{z-1-i}+\frac{1}{1-\frac{z-1}{z-1+i}}\right)$$=\frac{1}{2i}\left(\frac{1}{z-1-i}+\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{z-1}{z-1+i}\right)^n\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2i}(z-1)^{n-2}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n(z-1)^n}{(z-1+i)^{n+2}}$在$|z-1|<\sqrt{2}$內(nèi)收斂。4.解析思路：利用分式線性映射的性質(zhì)，設(shè)$w=\frac{az+b}{cz+d}$，代入條件$w(i)=0$和$w(-1)=1$，解出$a,b,c,d$。答案：設(shè)$w=\frac{az+b}{cz+d}$，則$0=\frac{ai+b}{ci+d}$和$1=\frac{-a+b}{-c+d}$。解得$b=-ai(ci+d)=-ac-ad$和$-a+b=-c+d$。將$b=-ac-ad$代入$-a+b=-c+d$得$-a-ac-ad=-c+d$。又因?yàn)?w(-1)=1$，所以$1=\frac{-a-ad}{-c-d}$，即$-a-ad=-c-d$。聯(lián)立以上兩式得$a=c$，$d=0$。代入$b=-ac-ad$得$b=-a^2$。所以$w=\frac{az-a^2}{cz}$，令$k=\frac{a}{c}$，則$w=\frac{kz-ka^2}{kz}=\frac{z-ka}{z}$。由$w(i)=0$得$0=\frac{i-ka}{i}$，即$i-ka=0$，所以$k=\frac{i}{a}$。代入$w(-1)=1$得$1=\frac{-1-\frac{i^2}{a}}{-1}=1+\frac{1}{a}$，所以$a=-1$，$k=-i$。最終映射為$w=\frac{z+i}{z}$。四、證明題1.證明思路：反證法。假設(shè)$f(z_0)=0$，則在$z_0$的鄰域內(nèi)$f(z)$可以展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)，且常數(shù)項(xiàng)為零。這與$f(z)\neq0$矛盾。證明：假設(shè)存在$z_0\inD$使得$f(z_0)=0$。因?yàn)?f(z)$在$D$內(nèi)解析，所以在$z_0$的鄰域內(nèi)$f(z)$可以展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)：$f(z)=a_0+a_1(z-z_0)+a_2(z-z_0)^2+\cdots$由于$f(z_0)=0$，所以$a_0=0$。因此，$f(z)=a_1(z-z_0)+a_2(z-z_0)^2+\cdots$這與$f(z)\neq0$矛盾，因?yàn)楫?dāng)$z=z_0$時(shí)，$f(z)=0$，而在$z_0$的鄰域內(nèi)$f(z)$的泰勒級(jí)數(shù)只有$z-z_0$這一項(xiàng)非零，這與$f(z)\neq0$矛盾。因此，假設(shè)不成立，$f(z)$在$D$內(nèi)不存在零點(diǎn)。2.證明思路：利用柯西-黎曼方程判斷。計(jì)算$\frac{\partialu}{\partialx},\frac{\partialu}{\partialy},\frac{\partialv}{\partialx},\frac{\partialv}{\partialy}$，并驗(yàn)證柯西-黎曼方程是否成立。證明：令$u(x,y)=x$，$v(x,y)=-y$。則$\frac{\partialu}{\partialx}=1,\fra