人教版七年級數(shù)學(xué)下冊期末考試題附解析一、選擇題1．如圖，已知直線a，b被直線c所截，下列有關(guān)與說法正確的是（）A．與是同位角 B．與是內(nèi)錯角C．與是同旁內(nèi)角 D．與是對頂角2．下列圖中的“笑臉”，由如圖平移得到的是（）A． B． C． D．3．在直角坐標(biāo)系中內(nèi)點在第三象限，那么點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．下列命題：①過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行；②在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；③圖形平移的方向一定是水平的；④內(nèi)錯角相等．其中真命題為（）A．①② B．①④ C．①②③ D．①②④5．如圖，，將一個含角的直角三角尺按如圖所示的方式放置，若的度數(shù)為，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．6．下列說法正確的是（）A．是分?jǐn)?shù) B．互為相反數(shù)的數(shù)的立方根也互為相反數(shù)C．的系數(shù)是 D．的平方根是7．如圖，AB∥CD，直線EF分別交AB、CD于點E、F，F(xiàn)H平分∠EFD，若∠1＝110°，則∠2的度數(shù)為（）A．45° B．40° C．55° D．35°8．如圖，將邊長為1的正方形OAPB沿x軸正方向連續(xù)翻轉(zhuǎn)2021次，點P依次落在點P1、P2、P3……P2021的位置，由圖可知P1（1，1），P2（2，0），P3（2，0），P4（3，1），則P2021的坐標(biāo)（）A．（2020，0） B．（2020，1） C．（2021，0） D．（2021，1）九、填空題9．若，則x+y+z=________．十、填空題10．在平面直角坐標(biāo)系中，點P（-3,2）關(guān)于x軸對稱的點P1的坐標(biāo)是______________.十一、填空題11．如圖，AD∥BC，∠ABC的角平分線BP與∠BAD的角平分線AP相交于點P，作PE⊥AB于點E．若PE＝2，則兩平行線AD與BC間的距離為_____．十二、填空題12．如圖，直線m與∠AOB的一邊射線OB相交，∠3＝120°，向上平移直線m得到直線n，與∠AOB的另一邊射線OA相交，則∠2－∠1＝_______o．十三、填空題13．如圖，將ABC沿著AC邊翻折得到AB1C，連接BB1交AC于點E，過點B1作B1DAC交BC延長線于點D，交BA延長線于點F，連接DA，若∠CBE＝45°，BD＝6cm，則ADB1的面積為_________．十四、填空題14．已知有理數(shù)，我們把稱為的差倒數(shù)，如：2的差倒數(shù)是，的差倒數(shù)是，如果，是的差倒數(shù)，是的差倒數(shù)，是的差倒數(shù)…依此類推，那么的值是______．十五、填空題15．第二象限內(nèi)的點滿足＝，＝，則點的坐標(biāo)是___．十六、填空題16．如圖，點A（0，1），點（2，0），點（3，2），點（5，1）…，按照這樣的規(guī)律下去，點的坐標(biāo)為_____．十七、解答題17．（1）計算：（2）比較與-3的大小十八、解答題18．求下列各式中的x值:（1）16（x+1）2＝25;（2）8（1﹣x）3＝125十九、解答題19．完成下面的證明：已知：如圖，，，．求證：．證明：（已知），∵∠______（____________________）．∴，（已知），∵__________．即∠______∴（______________________________）．二十、解答題20．已知在平面直角坐標(biāo)系中有三點，，，請回答如下問題：（1）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)描出、、，連接三邊得到；（2）將三點向下平移2個單位長度，再向左平移1個單位，得到；畫出，并寫出、、三點坐標(biāo)；（3）求出的面積．二十一、解答題21．（1）如果是的整數(shù)部分，是的小數(shù)部分，求的平方根．（2）當(dāng)為何值時，關(guān)于的方程的解與方程的解互為相反數(shù)．二十二、解答題22．（1）若一圓的面積與這個正方形的面積都是，設(shè)圓的周長為，正方形的周長為，則______．（填“=”或“<”或“>”號）（2）如圖，若正方形的面積為，李明同學(xué)想沿這塊正方形邊的方向裁出一塊面積為的長方形紙片，使它的長和寬之比為3：2，他能裁出嗎？請說明理由．二十三、解答題23．如圖，，直線與、分別交于點、，點在直線上，過點作，垂足為點．（1）如圖1，求證：；（2）若點在線段上（不與、、重合），連接，和的平分線交于點請在圖2中補全圖形，猜想并證明與的數(shù)量關(guān)系；二十四、解答題24．已知AB∥CD，點M在直線AB上，點N、Q在直線CD上，點P在直線AB、CD之間，∠AMP＝∠PQN＝α，PQ平分∠MPN．（1）如圖①，求∠MPQ的度數(shù)（用含α的式子表示）；（2）如圖②，過點Q作QE∥PN交PM的延長線于點E，過E作EF平分∠PEQ交PQ于點F．請你判斷EF與PQ的位置關(guān)系，并說明理由；（3）如圖③，在（2）的條件下，連接EN，若NE平分∠PNQ，請你判斷∠NEF與∠AMP的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．二十五、解答題25．小明在學(xué)習(xí)過程中，對教材中的一個有趣問題做如下探究：（習(xí)題回顧）已知：如圖1，在中，，是角平分線，是高，、相交于點.求證：；（變式思考）如圖2，在中，，是邊上的高，若的外角的平分線交的延長線于點，其反向延長線與邊的延長線交于點，則與還相等嗎？說明理由；（探究延伸）如圖3，在中，上存在一點，使得，的平分線交于點.的外角的平分線所在直線與的延長線交于點.直接寫出與的數(shù)量關(guān)系.【參考答案】一、選擇題1．A解析：A【分析】根據(jù)同位角的定義判斷即可．【詳解】解：∠1和∠2是同位角，故選：A．【點睛】本題考查了同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角及對頂角的定義，能熟記同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角及對頂角的定義的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合．2．D【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)，不改變圖形的形狀和大小，經(jīng)過平移，對應(yīng)點所連的線段平行且相等，對應(yīng)線段平行且相等．【詳解】解：A、B、C都是由旋轉(zhuǎn)得到的，D是由平移得到的．故選：D．【點睛】解析：D【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)，不改變圖形的形狀和大小，經(jīng)過平移，對應(yīng)點所連的線段平行且相等，對應(yīng)線段平行且相等．【詳解】解：A、B、C都是由旋轉(zhuǎn)得到的，D是由平移得到的．故選：D．【點睛】本題考查平移的基本性質(zhì)是：①平移不改變圖形的形狀和大??；②經(jīng)過平移，對應(yīng)點所連的線段平行且相等，對應(yīng)線段平行且相等，對應(yīng)角相等．3．D【分析】根據(jù)第三象限內(nèi)點的坐標(biāo)符號判斷出a、b，再根據(jù)各象限內(nèi)點的坐標(biāo)特征解答．【詳解】解：∵點M（a，b）在第三象限，∴a＜0，b＜0，∴-a＞0，那么點N（-a，b）所在的象限是：第四象限．故選：D．【點睛】本題考查了各象限內(nèi)點的坐標(biāo)的符號特征，記住各象限內(nèi)點的坐標(biāo)的符號是解決的關(guān)鍵，四個象限的符號特點分別是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．4．A【分析】根據(jù)兩直線的位置關(guān)系即可判斷.【詳解】①過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，正確；②在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，正確；③圖形平移的方向不一定是水平的，故錯誤；④兩直線平行，內(nèi)錯角才相等，故錯誤．故①②正確，故選A.【點睛】此題主要考查兩直線的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟知兩直線的位置關(guān)系.5．A【分析】過三角板60°角的頂點作直線EF∥AB，則EF∥CD，利用平行線的性質(zhì)，得到∠3+∠4=∠1+∠2=60°，代入計算即可．【詳解】如圖，過三角板60°角的頂點作直線EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠1，∠4=∠2，∵∠3+∠4=60°，∴∠1+∠2=60°，∵∠1=25°，∴∠2=35°，故選A．【點睛】本題考查了平行線的輔助線構(gòu)造，平行線的判定與性質(zhì)，三角板的意義，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．B【分析】根據(jù)分?jǐn)?shù)的定義，立方根的性質(zhì)，單項式的系數(shù)的定義，平方根的定義，即可得到答案．【詳解】∵是無理數(shù)，∴A錯誤，∵互為相反數(shù)的數(shù)的立方根也互為相反數(shù)，∴B正確，∵的系數(shù)是，∴C錯誤，∵的平方根是±8，∴D錯誤，故選B．【點睛】本題主要考查分?jǐn)?shù)的定義，立方根的性質(zhì)，單項式的系數(shù)的定義，平方根的定義，掌握上述定義和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．7．D【分析】根據(jù)對頂角相等求出∠3，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補求出∠DFE，然后根據(jù)角平分線的定義求出∠DFH，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等解答．【詳解】解：∵∠1=110°，∴∠3=∠1=110°，∵AB∥CD，∴∠DFE=180°-∠3=180°-110°=70°，∵HF平分∠EFD，∴∠DFH=∠DFE=×70°=35°，∵AB∥CD，∴∠2=∠DFH=35°．故選：D．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，對頂角相等的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．8．D【分析】觀察規(guī)律可知，每4次翻折為一個循環(huán)，若的余數(shù)為0，則；若的余數(shù)為1，則；若的余數(shù)為2，則；若的余數(shù)為3，則；由此進行判斷是在第505次循環(huán)完成后再翻折一次，那么橫坐標(biāo)即為.【詳解】解析：D【分析】觀察規(guī)律可知，每4次翻折為一個循環(huán)，若的余數(shù)為0，則；若的余數(shù)為1，則；若的余數(shù)為2，則；若的余數(shù)為3，則；由此進行判斷是在第505次循環(huán)完成后再翻折一次，那么橫坐標(biāo)即為.【詳解】解：由題意得：P1（1，1），P2（2，0），P3（2，0），P4（3，1）P5（5，1），P6（6，0），P7（6，0），P8（7，1），……由此可以得出規(guī)律：每4次翻折為一個循環(huán)，若的余數(shù)為0，則，（n-1，1）；若的余數(shù)為1，則，（n，1）；若的余數(shù)為2，則，（n，0）；若的余數(shù)為3，則，（n-1，0）；∵2021÷4=505余1，∴橫坐標(biāo)即為，（2021，1），故選D.【點睛】本題主要考查了坐標(biāo)的規(guī)律，解題的關(guān)鍵在于能夠準(zhǔn)確地根據(jù)圖形找到坐標(biāo)的規(guī)律進行求解.九、填空題9．6【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列出方程求出x、y、z的值，代入所求代數(shù)式計算即可．【詳解】解：∵∴x-1=0，y-2=0，z-3=0，∴x=1，y=2，z=3．∴x+y+z=1+2+3=6解析：6【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列出方程求出x、y、z的值，代入所求代數(shù)式計算即可．【詳解】解：∵∴x-1=0，y-2=0，z-3=0，∴x=1，y=2，z=3．∴x+y+z=1+2+3=6．【點睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：幾個非負(fù)數(shù)的和為0時，這幾個非負(fù)數(shù)都為0．十、填空題10．（-3，-2）【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對稱點的坐標(biāo)特點：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)可得答案.【詳解】點P(﹣3，2)關(guān)于x軸對稱的點Q的坐標(biāo)是(﹣3，﹣2).故答案為：(﹣3，﹣2).【點解析：（-3，-2）【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對稱點的坐標(biāo)特點：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)可得答案.【詳解】點P(﹣3，2)關(guān)于x軸對稱的點Q的坐標(biāo)是(﹣3，﹣2).故答案為：(﹣3，﹣2).【點睛】本題考查了關(guān)于x軸對稱點的坐標(biāo)，關(guān)鍵是掌握點的坐標(biāo)的變化規(guī)律.十一、填空題11．4【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)即可得出PM=PE=2，PE=PN=2，即可得出答案．【詳解】解：過點P作MN⊥AD，∵AD∥BC，∠ABC的角平分線BP與∠BAD的角平分線A解析：4【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)即可得出PM=PE=2，PE=PN=2，即可得出答案．【詳解】解：過點P作MN⊥AD，∵AD∥BC，∠ABC的角平分線BP與∠BAD的角平分線AP相交于點P，PE⊥AB于點E，∴AP⊥BP，PN⊥BC，∴PM=PE=2，PE=PN=2，∴MN=2+2=4．故答案為4．十二、填空題12．60【分析】延長BO交直線n于點C，由平行線的性質(zhì)得∠ACB=∠1，由鄰補角得∠AOC=60°，再由三角形外角的性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】解：延長BO交直線n于點C，如圖，∵直線m向上平移直解析：60【分析】延長BO交直線n于點C，由平行線的性質(zhì)得∠ACB=∠1，由鄰補角得∠AOC=60°，再由三角形外角的性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】解：延長BO交直線n于點C，如圖，∵直線m向上平移直線m得到直線n，∴m∥n，∴∠ACB=∠1，∵∠3＝120°，∴∠AOC=60°∵∠2=∠ACO+∠AOC=∠1+60°，∴∠2-∠1=60°．故答案為60．【點睛】本題考查了平移的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，以及三角形外角的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造三角形是解答此題的關(guān)鍵．十三、填空題13．cm2【分析】根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可知AC垂直平分BB1，且B1D平行AC，得到AC為三角形ADB中位線，從而求解．【詳解】解：根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可知AC垂直平分BB1，∵B1D∥AC，∴解析：cm2【分析】根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可知AC垂直平分BB1，且B1D平行AC，得到AC為三角形ADB中位線，從而求解．【詳解】解：根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可知AC垂直平分BB1，∵B1D∥AC，∴AC為三角形ADB中位線，∴BC=CD=BD=3cm，在Rt△BCE中，∠CBE=45°，BC=3cm，∴CE2+BE2=BC2，解得BE=CE=cm．∴EB1=BE=，∵CE為△BDB1中位線，∴DB1=2CE=3cm，△ADB1的高與EB1相等，∴S△ADB1=×DB1×EB1=××3=cm2，故答案為：cm2．【點睛】本題主要考查了翻折變換的性質(zhì)、三角形面積的求法，解題關(guān)鍵是能夠明確AC為△ADB的中位線從而得出答案．十四、填空題14．．【分析】根據(jù)題意，可以寫出這列數(shù)的前幾項，從而可以發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化規(guī)律，從而可以求得所求式子的值．【詳解】∵，∴，，，，……∴，每三個數(shù)一個循環(huán)，∵，∴，則+--3-3-++解析：．【分析】根據(jù)題意，可以寫出這列數(shù)的前幾項，從而可以發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化規(guī)律，從而可以求得所求式子的值．【詳解】∵，∴，，，，……∴，每三個數(shù)一個循環(huán)，∵，∴，則+--3-3-++3=-3-++3．故答案為：．【點晴】本題考查數(shù)字的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點，求出所求式子的值．十五、填空題15．(-9，?2)【分析】點在第二象限內(nèi)，那么其橫坐標(biāo)小于，縱坐標(biāo)大于，進而根據(jù)所給的條件判斷具體坐標(biāo)．【詳解】∵點在第二象限，∴，，又∵，，∴，，∴點的坐標(biāo)是．【點睛】本題主要考查解析：(-9，?2)【分析】點在第二象限內(nèi)，那么其橫坐標(biāo)小于，縱坐標(biāo)大于，進而根據(jù)所給的條件判斷具體坐標(biāo)．【詳解】∵點在第二象限，∴，，又∵，，∴，，∴點的坐標(biāo)是．【點睛】本題主要考查了絕對值的性質(zhì)和有理數(shù)的乘方以及平面直角坐標(biāo)系中第二象限的點的坐標(biāo)的符號特點，記住各象限內(nèi)點的坐標(biāo)的符號是解決的關(guān)鍵．十六、填空題16．（1500，501）．【分析】仔細(xì)尋找橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)與點的序號之間關(guān)系，從而確定變換規(guī)律求解即可．【詳解】觀察圖形可得，點（2，0），點（5，1），（8，2），…，（3n﹣1，n﹣1），點解析：（1500，501）．【分析】仔細(xì)尋找橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)與點的序號之間關(guān)系，從而確定變換規(guī)律求解即可．【詳解】觀察圖形可得，點（2，0），點（5，1），（8，2），…，（3n﹣1，n﹣1），點（3，2），（6，3），（9，4），…，（3n，n+1），∵1000是偶數(shù)，且1000＝2n，∴n＝500，∴（1500，501），故答案為：（1500，501）．【點睛】本題考查了圖形與坐標(biāo)，分類思想，通過發(fā)現(xiàn)特殊點的坐標(biāo)與序號的關(guān)系，運用特殊與一般的思想探索規(guī)律是解題的關(guān)鍵．十七、解答題17．（1）-1；（2）【分析】（1）根據(jù)算數(shù)平方根，立方根化簡，然后根據(jù)實數(shù)的運算法則計算即可；（2）求出-3=，即可得出結(jié)果．【詳解】解：（1）原式===－1；（2）∵∴即解析：（1）-1；（2）【分析】（1）根據(jù)算數(shù)平方根，立方根化簡，然后根據(jù)實數(shù)的運算法則計算即可；（2）求出-3=，即可得出結(jié)果．【詳解】解：（1）原式===－1；（2）∵∴即．故答案為（1）-1；（2）．【點睛】本題考查實數(shù)的運算及實數(shù)的大小比較，熟練掌握平方根和立方根的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．十八、解答題18．（1）或；（2）【分析】（1）根據(jù)平方根，即可解答；（2）根據(jù)立方根，即可解答．【詳解】解：（1）等式兩邊都除以16，得.等式兩邊開平方，得.所以，得.所以，解析：（1）或；（2）【分析】（1）根據(jù)平方根，即可解答；（2）根據(jù)立方根，即可解答．【詳解】解：（1）等式兩邊都除以16，得.等式兩邊開平方，得.所以，得.所以，（2）等式兩邊都除以8，得.等式兩邊開立方，得.所以，【點睛】本題考查平方根、立方根，解題關(guān)鍵是熟記平方根、立方根．.十九、解答題19．BAC，垂直的定義，180°，BAD，同旁內(nèi)角互補，兩直線平行．【分析】根據(jù)垂直的定義和已知證明∠BAD，即，由同旁內(nèi)角互補，兩直線平行即可得出結(jié)論．【詳解】證明：∵（已知），∴∠BAC（解析：BAC，垂直的定義，180°，BAD，同旁內(nèi)角互補，兩直線平行．【分析】根據(jù)垂直的定義和已知證明∠BAD，即，由同旁內(nèi)角互補，兩直線平行即可得出結(jié)論．【詳解】證明：∵（已知），∴∠BAC（垂直的定義）．∵，（已知），∴180°即∠BAD∴（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）故答案為：BAC，垂直的定義，180°，BAD，同旁內(nèi)角互補，兩直線平行．【點睛】本題主要考查了垂直定義和平行線的判定，證明∠BAD是解題關(guān)鍵．二十、解答題20．（1）見詳解；（2）圖形見詳解，（-4，-2）、（4，2）、（0，3）；（3）12．【分析】（1）根據(jù)坐標(biāo)在坐標(biāo)圖中描點連線即可；（2）按照平移方式描點連線并寫出坐標(biāo)點；（3）根據(jù)坐標(biāo)點利用解析：（1）見詳解；（2）圖形見詳解，（-4，-2）、（4，2）、（0，3）；（3）12．【分析】（1）根據(jù)坐標(biāo)在坐標(biāo)圖中描點連線即可；（2）按照平移方式描點連線并寫出坐標(biāo)點；（3）根據(jù)坐標(biāo)點利用割補法求面積即可．【詳解】解：（1）如圖：（2）平移后如圖：平移后坐標(biāo)分別為：（-4，-2）、（4，2）、（0，3）；（3）的面積：．【點睛】此題考查坐標(biāo)系中坐標(biāo)的平移和坐標(biāo)圖形的面積，難度一般，掌握平移的性質(zhì)是關(guān)鍵．二十一、解答題21．（1）±3；（2）m=-4【分析】（1）估算，得到的范圍，從而確定x、y的值，再代入計算即可．（2）首先解得第二個方程的解，然后根據(jù)相反數(shù)的定義得到第一個方程的解，再代入求出m的值即可．【詳解析：（1）±3；（2）m=-4【分析】（1）估算，得到的范圍，從而確定x、y的值，再代入計算即可．（2）首先解得第二個方程的解，然后根據(jù)相反數(shù)的定義得到第一個方程的解，再代入求出m的值即可．【詳解】解：（1）∵，∴，∴，∴x=6，y=，∴=9，∴的的平方根為±3；（2），解得：x=-9，∴的解為x=9，代入，得，解得：m=-4．【點睛】本題考查了一元一次方程的解，無理數(shù)的估算、平方根的意義，以及解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是得到方程的解．二十二、解答題22．（1）＜；（2）不能，理由見解析【分析】（1）分別根據(jù)圓的面積和正方形的面積得出其半徑或邊長，再分別求得其周長，根據(jù)實數(shù)大小比較的方法，可得答案；（2）設(shè)裁出的長方形的長為，寬為，由題意得關(guān)于解析：（1）＜；（2）不能，理由見解析【分析】（1）分別根據(jù)圓的面積和正方形的面積得出其半徑或邊長，再分別求得其周長，根據(jù)實數(shù)大小比較的方法，可得答案；（2）設(shè)裁出的長方形的長為，寬為，由題意得關(guān)于的方程，解得的值，從而可得長方形的長和寬，將其與正方形的邊長比較，可得答案．【詳解】解：（1）圓的面積與正方形的面積都是，圓的半徑為，正方形的邊長為，，，，，．（2）不能裁出長和寬之比為的長方形，理由如下：設(shè)裁出的長方形的長為，寬為，由題意得：，解得或（不合題意，舍去），長為，寬為，正方形的面積為，正方形的邊長為，，不能裁出長和寬之比為的長方形．【點睛】本題考查了算術(shù)平方根在正方形和圓的面積及周長計算中的簡單應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)計算公式是解題的關(guān)鍵．二十三、解答題23．（1）證明見解析；（2）補圖見解析；當(dāng)點在上時，；當(dāng)點在上時，．【分析】（1）過點作，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解；（2）分兩種情況：當(dāng)點在上，當(dāng)點在上，再過點作即可求解．【詳解】（1）證明：解析：（1）證明見解析；（2）補圖見解析；當(dāng)點在上時，；當(dāng)點在上時，．【分析】（1）過點作，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解；（2）分兩種情況：當(dāng)點在上，當(dāng)點在上，再過點作即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，過點作，∴，∵，∴．∴．∵，∴，∴．（2）補全圖形如圖2、圖3，猜想：或．證明：過點作．∴．∵，∴∴，∴．∵平分，∴．如圖3，當(dāng)點在上時，∵平分，∴，∵，∴，即．如圖2，當(dāng)點在上時，∵平分，∴．∴．即．【點睛】本題考查了平行線的基本性質(zhì)、角平分線的基本性質(zhì)及角的運算，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出平行線，找出角與角之間的數(shù)量關(guān)系．二十四、解答題24．（1）2α；（2）EF⊥PQ，見解析；（3）∠NEF＝∠AMP，見解析【分析】1）如圖①，過點P作PR∥AB，可得AB∥CD∥PR，進而可得結(jié)論；（2）根據(jù)已知條件可得2∠EPQ+2∠PEF＝解析：（1）2α；（2）EF⊥PQ，見解析；（3）∠NEF＝∠AMP，見解析【分析】1）如圖①，過點P作PR∥AB，可得AB∥CD∥PR，進而可得結(jié)論；（2）根據(jù)已知條件可得2∠EPQ+2∠PEF＝180°，進而可得EF與PQ的位置關(guān)系；（3）結(jié)合（2）和已知條件可得∠QNE＝∠QEN，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠QNE＝（180°﹣∠NQE）＝（180°﹣3α），可得∠NEF＝180°﹣∠QEF﹣∠NQE﹣∠QNE，進而可得結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖①，過點P作PR∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PR，∴∠AMP＝∠MPR＝α，∠PQN＝∠RPQ＝α，∴∠MPQ＝∠MPR+∠RPQ＝2α；（2）如圖②，EF⊥PQ，理由如下：∵PQ平分∠MPN．∴∠MPQ＝∠NPQ＝2α，∵QE∥PN，∴∠EQP＝∠NPQ＝2α，∴∠EPQ＝∠EQP＝2α，∵EF平分∠PEQ，∴∠PEQ＝2∠PEF＝2∠QEF，∵∠EPQ+∠EQP+∠PEQ＝180°，∴2∠EPQ+2∠PEF＝180°，∴∠EPQ+∠PEF＝90°，∴∠PFE＝180°﹣90°＝90°，∴EF⊥PQ；（3）如圖③，∠NEF＝∠AMP，理由如下：由（2）可知：∠EQP＝2α，∠EFQ＝90°，∴∠QEF＝90°﹣2α，∵∠PQN＝α，∴∠NQE＝∠PQN+∠EQP＝3α，∵NE平分∠PNQ，∴∠PNE＝∠QNE，∵QE∥PN，∴∠QEN＝∠PNE，∴∠QNE＝∠QEN，∵∠NQE＝3α，∴∠