三角形角度計(jì)算習(xí)題集引言三角形作為平面幾何的基本圖形之一，其角度關(guān)系的探索與計(jì)算是入門的基石，也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)復(fù)雜幾何知識(shí)的前提。掌握三角形角度計(jì)算，不僅需要熟悉基本定理，更需要具備敏銳的觀察能力和靈活的轉(zhuǎn)化思想。本習(xí)題集旨在通過一系列由淺入深的練習(xí)，幫助讀者鞏固相關(guān)知識(shí)，提升解題技巧。在開始練習(xí)之前，請(qǐng)務(wù)必回顧三角形內(nèi)角和定理、外角性質(zhì)以及等腰、等邊、直角三角形等特殊三角形的角度特性，這些都是解決角度計(jì)算問題的“金鑰匙”。習(xí)題精練一、基礎(chǔ)鞏固篇本部分習(xí)題側(cè)重對(duì)三角形基本角度關(guān)系的直接應(yīng)用，旨在夯實(shí)基礎(chǔ)。1.題目：在一個(gè)三角形中，已知兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為50°和70°，求第三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)。解析：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，三角形三個(gè)內(nèi)角的和為180°。設(shè)第三個(gè)內(nèi)角為x，則有50°+70°+x=180°，解得x=180°-50°-70°=60°。故第三個(gè)內(nèi)角為60°。2.題目：某三角形的一個(gè)外角為100°，若此外角對(duì)應(yīng)的內(nèi)角為該三角形中最小的內(nèi)角，求這個(gè)三角形另外兩個(gè)內(nèi)角的可能度數(shù)。解析：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和，同時(shí)，一個(gè)外角與它相鄰的內(nèi)角互補(bǔ)。因此，與這個(gè)100°外角相鄰的內(nèi)角為180°-100°=80°。題目指出此外角對(duì)應(yīng)的內(nèi)角（即這個(gè)80°角）是最小的內(nèi)角，這意味著另外兩個(gè)內(nèi)角都大于或等于80°。但三角形內(nèi)角和為180°，若另外兩個(gè)角都大于80°，則它們的和將大于160°，三個(gè)角的總和將超過180°，這是不可能的。因此，題目中的“此外角對(duì)應(yīng)的內(nèi)角”應(yīng)理解為不相鄰的內(nèi)角。設(shè)這兩個(gè)不相鄰的內(nèi)角分別為∠A（最小角）和∠B，則∠A+∠B=100°，且∠A≤∠B。與外角相鄰的內(nèi)角為∠C=80°。由于∠A是最小角，所以∠A≤∠C（80°），且∠A≤∠B。又因?yàn)椤螦+∠B=100°，∠B=100°-∠A，所以∠A≤100°-∠A，即2∠A≤100°，∠A≤50°。同時(shí)，三角形內(nèi)角和∠A+∠B+∠C=180°，將∠B=100°-∠A和∠C=80°代入，等式成立，說明這是合理的。因此，只要滿足∠A（最小角）+∠B=100°，且∠A≤50°，∠B=100°-∠A≥50°即可。例如，若∠A=30°，則∠B=70°；若∠A=45°，則∠B=55°。所以另外兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)可以是30°和70°（答案不唯一，只要兩角之和為100°且均不小于最小角即可）。3.題目：等腰三角形的一個(gè)底角是40°，求其頂角的度數(shù)。解析：等腰三角形的兩個(gè)底角相等。已知一個(gè)底角為40°，則另一個(gè)底角也為40°。根據(jù)內(nèi)角和定理，頂角的度數(shù)為180°-40°-40°=100°。4.題目：在直角三角形中，一個(gè)銳角的度數(shù)是另一個(gè)銳角度數(shù)的兩倍，求這兩個(gè)銳角的度數(shù)。解析：直角三角形的兩個(gè)銳角互余，即它們的和為90°。設(shè)較小的銳角為x，則另一個(gè)銳角為2x。根據(jù)題意有x+2x=90°，解得3x=90°，x=30°。因此，這兩個(gè)銳角分別為30°和60°。二、技能提升篇本部分習(xí)題需要綜合運(yùn)用三角形的多種性質(zhì)，或結(jié)合圖形的特點(diǎn)進(jìn)行分析。5.題目：如圖，在△ABC中，∠A=65°，∠B=75°，CD是AB邊上的高，CE是∠ACB的平分線，求∠DCE的度數(shù)。（請(qǐng)自行根據(jù)描述畫圖：△ABC，頂點(diǎn)A在上，底邊BC在下，AB邊水平，CD垂直AB于D點(diǎn)，E點(diǎn)在AB邊上，連接CE）解析：首先，在△ABC中，已知∠A=65°，∠B=75°，可求出∠ACB的度數(shù)：∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-65°-75°=40°。因?yàn)镃E是∠ACB的平分線，所以∠ACE=∠BCE=∠ACB/2=40°/2=20°。在Rt△ACD中，∠A=65°，∠ADC=90°，所以∠ACD=90°-∠A=90°-65°=25°。觀察圖形可知，∠DCE=∠ACD-∠ACE=25°-20°=5°。（或：在Rt△BCD中，∠B=75°，∠BDC=90°，所以∠BCD=90°-∠B=15°。而∠BCE=20°，故∠DCE=∠BCE-∠BCD=20°-15°=5°）。因此，∠DCE的度數(shù)為5°。6.題目：一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角度數(shù)之比為2:3:4，求這個(gè)三角形按角分類屬于哪種三角形。解析：設(shè)這個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角分別為2k、3k、4k（k>0）。根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，2k+3k+4k=180°，即9k=180°，解得k=20°。因此，三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為40°、60°、80°。由于三個(gè)角都小于90°，所以這個(gè)三角形是銳角三角形。7.題目：如圖，已知△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在AC上，且BD=BC=AD，求∠A的度數(shù)。（請(qǐng)自行根據(jù)描述畫圖：等腰△ABC，AB=AC，底邊BC在下，A在上。D點(diǎn)在AC邊上，靠近A點(diǎn)，使得AD=BD，且BD=BC）解析：設(shè)∠A的度數(shù)為x。因?yàn)锳D=BD，所以△ABD是等腰三角形，∠ABD=∠A=x。根據(jù)三角形外角性質(zhì)，∠BDC是△ABD的一個(gè)外角，所以∠BDC=∠A+∠ABD=x+x=2x。又因?yàn)锽D=BC，所以△BDC也是等腰三角形，∠BDC=∠BCD=2x。由于AB=AC，所以△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠ACB=∠BCD=2x。在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，即x+2x+2x=180°，5x=180°，解得x=36°。因此，∠A的度數(shù)為36°。8.題目：在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交BC于點(diǎn)D，且∠ADC=65°，求∠B的度數(shù)。解析：在Rt△ACD中，∠C=90°，∠ADC=65°，所以∠CAD=90°-∠ADC=90°-65°=25°。因?yàn)锳D平分∠CAB，所以∠CAB=2∠CAD=2×25°=50°。在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB=50°，所以∠B=90°-∠CAB=90°-50°=40°。三、綜合應(yīng)用篇本部分習(xí)題更具挑戰(zhàn)性，可能需要添加輔助線或進(jìn)行多步推理。9.題目：如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，且A'D與BC平行。若∠A=70°，∠B=60°，求∠A'DE的度數(shù)。（請(qǐng)自行根據(jù)描述畫圖：△ABC，A點(diǎn)在上，B、C在底邊。DE為折疊線，D在AB上，E在AC上，折疊后A點(diǎn)落在A'處，A'D線段平行于BC）解析：首先，在△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，所以∠C=180°-70°-60°=50°。因?yàn)锳'D∥BC，根據(jù)兩直線平行，同位角相等，所以∠A'DB=∠B=60°。由于折疊，∠ADE=∠A'DE，且AD=A'D。設(shè)∠A'DE=∠ADE=x。則∠ADA'=∠ADE+∠A'DE=x+x=2x。又因?yàn)椤螦DA'+∠A'DB=180°（平角定義），所以2x+60°=180°，解得2x=120°，x=60°。因此，∠A'DE的度數(shù)為60°。10.題目：在一個(gè)三角形中，最大角是最小角的三倍，另一個(gè)角比最小角大20°，求這個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)。解析：設(shè)這個(gè)三角形的最小角的度數(shù)為x，則最大角的度數(shù)為3x，另一個(gè)角的度數(shù)為x+20°。根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，x+3x+(x+20°)=180°，即5x+20°=180°，5x=160°，解得x=32°。因此，最大角為3x=96°，另一個(gè)角為x+20°=52°。所以，這個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為32°、52°和96°。解題思路與小結(jié)解決三角形角度計(jì)算問題，通常可以遵循以下思路：1.明確已知條件：仔細(xì)閱讀題目，找出所有給出的角度信息以及三角形的特殊性質(zhì)（如等腰、直角等）。2.選擇合適定理：*若已知兩角，求第三角，直接應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理。*若涉及外角，考慮使用三角形外角性質(zhì)（外角等于不相鄰兩內(nèi)角之和）。*若涉及角平分線、高線、中線等，要聯(lián)想到它們所帶來的角度關(guān)系。*對(duì)于等腰三角形，要利用等邊對(duì)等角的性質(zhì)；對(duì)于等邊三角形，三個(gè)內(nèi)角均為60°。*對(duì)于直角三角形，兩銳角互余。3.善用代數(shù)方法：當(dāng)角度關(guān)系較為復(fù)雜，或涉及比例、倍數(shù)關(guān)系時(shí)，可以設(shè)未知數(shù)，根據(jù)已知條件列出方程求解，如上述第6題、第7題、第10題。4.輔助線的添加：在一些復(fù)雜圖形中，適當(dāng)添加輔助線（如作平行線、延長(zhǎng)線段、連接兩點(diǎn)等）可以構(gòu)造出熟悉的基本圖形，從而找到角度之間的聯(lián)系。如遇到折疊問題，要抓住折疊前后對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊相等的特點(diǎn)。5.多角度驗(yàn)證：求出角度后，可嘗試用其他方法進(jìn)行驗(yàn)證，確保結(jié)果的正確性。希望通過以上習(xí)題的練習(xí)，能夠幫助你熟練掌握三角形角度計(jì)算的各種技巧。記住，幾何學(xué)習(xí)需要多思多練，不斷總結(jié)，才能做到游刃有余。在解題過程中，清