專題7.7《數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法》單元測(cè)試卷考試時(shí)間：120分鐘滿分：150注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．第I卷選擇題部分（共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（2019·貴州高二學(xué)業(yè)考試）在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，則（）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【解析】根據(jù)等比中項(xiàng)求解即可.【詳解】解：因?yàn)檎?xiàng)等比數(shù)列中，，所以，.故選：C2．（2021·北京人大附中高二期末）根據(jù)預(yù)測(cè)，某地第個(gè)月共享單車的投放量和損失量分別為和（單位：輛），其中，，則該地第4個(gè)月底的共享單車的保有量為（）A．421 B．451 C．439 D．935【答案】D【解析】根據(jù)題意求出前四個(gè)月的共享單車投放量，減去前四個(gè)月的損失量，即為第四個(gè)月底的共享單車的保有量.【詳解】由題意可得該地第4個(gè)月底的共享單車的保有量為故選：D.3．（2021·青銅峽市高級(jí)中學(xué)高一期末）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則=（）A．21 B．15 C．13 D．11【答案】A【解析】利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)求解.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以成等差數(shù)列，所以，因?yàn)?，所以，解得，故選：A4．（2021·江西景德鎮(zhèn)市·景德鎮(zhèn)一中高一期末（理））設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則當(dāng)取得最大值時(shí)，的值為（）A．7 B．8 C．9 D．8或9【答案】D【解析】根據(jù)求得，結(jié)合，判斷數(shù)列單減，從而判斷取得最大值時(shí)，的值.【詳解】由題知，，則，等差數(shù)列的公差d滿足，數(shù)列單減，且，，則當(dāng)取得最大值時(shí)，的值為8或9故選：D5．（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)與的關(guān)系式證明數(shù)列為等比數(shù)列，從而求.【詳解】依題意，當(dāng)n=1時(shí)，a1=2a1-1，解得a1=1；當(dāng)時(shí)，由得，兩式相減，得，即，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，所以，.故選：A.6．（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）已知公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn，a1=2，且a1，a3，a9成等比數(shù)列，則S8=（）A．56 B．72 C．88 D．40【答案】B【解析】根據(jù)a1，a3，a9成等比數(shù)列，得到=a1a9，再根據(jù)a1=2，求得公差即可.【詳解】因?yàn)閍1，a3，a9成等比數(shù)列，所以=a1a9，又a1=2，所以(a1+2d)2=a1(a1+8d)，解得d=2或d=0(舍)，故an=2+(n-1)×2=2n，所以S8==4(2+2×8)=72.故答案為：B7．（2021·四川省綿陽南山中學(xué)高三其他模擬（文））設(shè)各項(xiàng)均為正項(xiàng)的數(shù)列滿足，，若，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A． B． C．5 D．6【答案】D【解析】由利用因式分解可得，即可判斷出數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，從而得到數(shù)列，數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出．【詳解】等價(jià)于，而，所以，即可知數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，即有，所以，故．故選：D．8．（2021·河南高二月考（理））定義函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù)，例如，，，，當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，記集合中元素的個(gè)數(shù)為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A． B．2 C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意，歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合裂項(xiàng)相消法即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，，所以的取值為0，所以，所以；當(dāng)時(shí)．，若時(shí)，，故，若時(shí)，，，故，所以，所以；當(dāng)時(shí)，，若時(shí)，，故；若時(shí)．，故；若時(shí)，，故，5，所以，所以；當(dāng)時(shí)，，若時(shí)，故；若時(shí)，，故；若時(shí)，，故，5，若時(shí)．，故，10，11，所以．所以；以此類推，可以歸納，得，所以，所以，所以．故選D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．（2021·全國(guó)高二專題練習(xí)）已知是的前項(xiàng)和，，，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）A． B．C． D．是以為周期的周期數(shù)列【答案】AC【解析】推導(dǎo)出，利用數(shù)列的周期性可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】因?yàn)?，，則，，，以此類推可知，對(duì)任意的，，D選項(xiàng)正確；，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；，B選項(xiàng)正確；，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.10．（2021·湖北高二期中）已知數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，前項(xiàng)和為，下列判斷正確的有（）A．為等比數(shù)列 B．為等差數(shù)列C．為等比數(shù)列 D．若，則【答案】AD【解析】A選項(xiàng)利用等比數(shù)列的定義判斷即可，B選項(xiàng)若，則沒意義，C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，項(xiàng)為0，D選項(xiàng)，把等比數(shù)列前n項(xiàng)和化簡(jiǎn)為即可求出.【詳解】A選項(xiàng)，設(shè)，則，所以為等比數(shù)列，A正確；B選項(xiàng)，若，則沒意義，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，等比數(shù)列的任一項(xiàng)都不能為0，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，由題意得，，由得，，，即，所以，故D正確；故選：AD.11．（2021·重慶高三其他模擬）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A． B．是等比數(shù)列C．是單調(diào)遞增數(shù)列 D．【答案】ACD【解析】由已知得出，可判斷A選項(xiàng)的正誤；利用等比數(shù)列的定義可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用數(shù)列的單調(diào)性可判斷C選項(xiàng)的正誤；利用作差法可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由得，故，對(duì)于B選項(xiàng)，將，兩式相減得，即，又令，得，，所以從第二項(xiàng)開始成等比數(shù)列，公比為，故時(shí)，，即，所以，，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.所以，，令，則時(shí)，，即，而，所以數(shù)列單調(diào)遞增，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，顯然成立，故恒成立，D選項(xiàng)正確.故選：ACD.12．（2021·廣東高三其他模擬）已知數(shù)列中，，且，設(shè)，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．?dāng)?shù)列單調(diào)遞增C．D．若為偶數(shù)，則正整數(shù)n的最小值為8【答案】ABC【解析】利用求得是公比為3的等比數(shù)列，利用求得的值，判斷出選項(xiàng)A，根據(jù)，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性證得B正確；利用分組求和證得C正確；利用二項(xiàng)式定理證得D錯(cuò)誤.【詳解】解：∴∴則是公比為3的等比數(shù)列.∴或，又，所以，A正確；根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，得單調(diào)遞增，故B正確；又，故C正確；，不符故當(dāng)時(shí)，為奇數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選:ABC.第II卷非選擇題部分（共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（2021·全國(guó)高二專題練習(xí)）某家庭打算為子女儲(chǔ)備“教育基金”，計(jì)劃從2021年開始，每年年初存入一筆專用存款，使這筆款到2027年底連本帶息共有40萬元收益.如果每年的存款數(shù)額相同，依年利息2%并按復(fù)利計(jì)算（復(fù)利是一種計(jì)算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再計(jì)算下一期的利息），則每年應(yīng)該存入約_______萬元.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】5.3【解析】設(shè)每年存入萬元，由每年本利和相加等于40可得答案.【詳解】設(shè)每年存入萬元，則2021年初存入的錢到2027年底本利和為，2022年初存入的錢到2027年底本利和為，……2027年初存入的錢到2027年底本利和為，則，即，解得.故答案為：.14．（2021·青銅峽市高級(jí)中學(xué)高一期末）已知數(shù)列首項(xiàng)，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是=_________________【答案】【解析】根據(jù)，取倒數(shù)整理得到，再利用等差數(shù)列的定義求解.【詳解】因?yàn)閿?shù)列首項(xiàng)，且，所以，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等差數(shù)列，所以，則，故答案為：15．（2021·江西景德鎮(zhèn)市·景德鎮(zhèn)一中高一期末（理））已知，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且對(duì)于任意的，，則實(shí)數(shù)t的最大值是________.【答案】162【解析】將數(shù)列通項(xiàng)化為，裂項(xiàng)求和求得，又對(duì)于任意的，，分類參數(shù)t，得到關(guān)于n的表達(dá)式，借助基本不等式求得最值.【詳解】由題知，，則，又對(duì)于任意的，，則，即，由，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則實(shí)數(shù)t的最大值是162.

故答案為：16216．（2021·湖南衡陽市八中高三其他模擬）定義函數(shù)，其中表示不超過x的最大整數(shù)，例如，，當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)椋浖现性氐膫€(gè)數(shù)為，則（1）_________；（2）_________．【答案】2【解析】當(dāng)時(shí)，先求得的解析式，由此求得的值.求得在各區(qū)間中的元素個(gè)數(shù)，由此求得，利用裂項(xiàng)求和法求得.【詳解】(1)當(dāng)時(shí)，根據(jù)題意得：，進(jìn)而得，所以在各區(qū)間中的元素個(gè)數(shù)分別為：1，1；所以(2)解：根據(jù)題意得：，進(jìn)而得，所以在各區(qū)間中的元素個(gè)數(shù)為：，所以當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)椋现性氐膫€(gè)數(shù)為滿足：，所以，所以，所以．故答案為：；四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（2021·青銅峽市高級(jí)中學(xué)高一期末）已知公差為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和是，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿足：，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)求得即可；（2）由（1）得到，再利用累加法求解.【詳解】（1）因?yàn)樗?，解得，所以；?）由（1）知，即，由累加法得，，，.18．（2021·北京二十中高二期末）設(shè)數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1），（2）【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解方程組求出，從而可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）得，然后利用分組求和求【詳解】解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，所以，則，，解得或（舍去），所以，所以，（2）由（1）得，所以19.（2021·四川成都市·成都七中高二期中（理））設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且.（1）求和；（2）是否存在等差數(shù)列，使得對(duì)成立？并證明你的結(jié)論.【答案】（1），，；（2）存在，證明見解析.【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，則，解方程組求出，從而可求出和；（2）設(shè)，由可得，由可得，由此歸納出，，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可【詳解】解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，則，解得，，∴，，∴；（2）設(shè)，由可得，由，可得，故存在等差數(shù)列滿足條件，其中，，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，對(duì)成立，①當(dāng)時(shí)，由上面過程可知，等式成立，②假設(shè)時(shí)等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，，，即當(dāng)時(shí)等式成立，由①②可知，（其中）對(duì)成立.20．（2021·遼寧大連市·育明高中高二期中）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解答.已知等差數(shù)列的公差，前項(xiàng)和為，若__________，數(shù)列滿足，，.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）：由，得到，求得，分別選擇①②③，列出方程求得，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，由，得到，解等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即課求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用錯(cuò)位相減求和即可.【詳解】（1）若選①：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，可得，因?yàn)?，，可得，又因?yàn)椋傻?，解得，所以?shù)列的通項(xiàng)公式為，則，可得，即，因?yàn)椋詳?shù)列表示首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.若選②：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，可得，因?yàn)?，，可得，又因?yàn)?，可得，解得，所以?shù)列的通項(xiàng)公式為，則，可得，即，因?yàn)?，所以?shù)列表示首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.若選③：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，可得，因?yàn)?，，可得，又因?yàn)椋傻?，解得，所以?shù)列的通項(xiàng)公式為，則，可得，即，因?yàn)?，所以?shù)列表示首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）可得，則，，兩式相減，可得，所以21．（2021·遼寧大連市·育明高中高二期中）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，是與的等差中項(xiàng).（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.【答案】（1）證明見解析；；（2）證明見解析.【解析】（1）由等差中項(xiàng)定義，結(jié)合可得，可知數(shù)列為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式可推導(dǎo)得到，由與關(guān)系求得，可證得，由此證得結(jié)論，并得到通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，由可得；當(dāng)時(shí)，由可證得，驗(yàn)證知當(dāng)時(shí)，成立，由此可證得結(jié)論.【詳解】（1）是與的等差中項(xiàng)，，又，，即，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，；當(dāng)時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)：滿足；，，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的