專題8.7立體幾何中的向量方法新課程考試要求1.理解直線的方向向量與平面的法向量.2.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關(guān)系.3.能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理(包括三垂線定理).4．會(huì)用向量方法求解兩異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角的問題.核心素養(yǎng)本節(jié)涉及的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象等.考向預(yù)測（1）以幾何體為載體，綜合考查平行或垂直關(guān)系證明，以及角與距離的計(jì)算.（2）利用幾何法證明平行、垂直關(guān)系，利用空間向量方法求角或距離.（3）利用空間向量證明平行或垂直是高考的熱點(diǎn)，內(nèi)容以解答題中的一問為主，主要圍繞考查空間直角坐標(biāo)系的建立、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算能力和分析解決問題的能力命制試題，以多面體為載體、證明線面(面面)的平行(垂直)關(guān)系是主要命題方向．空間的角與距離的計(jì)算（特別是角的計(jì)算）是高考熱點(diǎn)，一般以大題的條件或一小問形式呈現(xiàn)，考查用向量方法解決立體幾何問題，將空間幾何元素之間的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，并通過計(jì)算解決立體幾何問題．距離問題往往在與有關(guān)面積、體積的計(jì)算中加以考查．此類問題往往屬于“證算并重”題，即第一問用幾何法證明平行關(guān)系或垂直關(guān)系，第二問則通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量方法進(jìn)一步求角或距離.【知識清單】知識點(diǎn)1．利用空間向量證明平行問題1.直線的方向向量與平面的法向量的確定①直線的方向向量：l是空間一直線，A，B是直線l上任意兩點(diǎn)，則稱eq\o(AB,\s\up6(→))為直線l的方向向量，與eq\o(AB,\s\up6(→))平行的任意非零向量也是直線l的方向向量．②平面的法向量可利用方程組求出：設(shè)a，b是平面α內(nèi)兩不共線向量，n為平面α的法向量，則求法向量的方程組為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·a＝0，,n·b＝0.))2.用向量證明空間中的平行關(guān)系①設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1∥l2(或l1與l2重合)?v1∥v2.②設(shè)直線l的方向向量為v，與平面α共面的兩個(gè)不共線向量v1和v2，則l∥α或l?α?存在兩個(gè)實(shí)數(shù)x，y，使v＝xv1＋yv2.③設(shè)直線l的方向向量為v，平面α的法向量為u，則l∥α或l?α?v⊥u.④設(shè)平面α和β的法向量分別為u1，u2，則α∥β?u1∥u2.知識點(diǎn)2．利用空間向量證明垂直問題1.用向量證明空間中的垂直關(guān)系①設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1⊥l2?v1⊥v2?v1·v2＝0.②設(shè)直線l的方向向量為v，平面α的法向量為u，則l⊥α?v∥u.③設(shè)平面α和β的法向量分別為u1和u2，則α⊥β?u1⊥u2?u1·u2＝0.2.共線與垂直的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)，a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均為非零向量)．知識點(diǎn)3．異面直線所成的角1.兩條異面直線所成的角①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，過空間任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，則a′與b′所夾的銳角或直角叫做a與b所成的角．②范圍：兩異面直線所成角θ的取值范圍是．③向量求法：設(shè)直線a，b的方向向量為a，b，其夾角為φ，則有.知識點(diǎn)4．直線與平面所成角1．直線和平面所成角的求法：如圖所示，設(shè)直線l的方向向量為e，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為φ，兩向量e與n的夾角為θ，則有sinφ＝|cosθ|＝eq\f(|e·n|,|e||n|).知識點(diǎn)5．二面角1．求二面角的大小(1)如圖1，AB、CD是二面角α－l－β的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小θ＝〈，〉．(2)如圖2、3，分別是二面角α－l－β的兩個(gè)半平面α，β的法向量，則二面角的大小(或)．知識點(diǎn)6．利用向量求空間距離1．空間向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算(1)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則①a±b＝(a1±b1，a2±b2，a3±b3)；②λa＝(λa1，λa2，λa3)；③a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.(2)共線與垂直的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)，a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均為非零向量)．(3)模、夾角和距離公式設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))，cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))·\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3))).設(shè)A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，則.2.點(diǎn)面距的求法如圖，設(shè)AB為平面α的一條斜線段，n為平面α的法向量，則B到平面α的距離d＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·n|,|n|).【考點(diǎn)分類剖析】考點(diǎn)一：利用空間向量證明平行問題【典例1】(湖北高考真題)如圖，在棱長為2的正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)分別在棱,上移動(dòng)，且.當(dāng)時(shí)，證明：直線平面.【規(guī)律方法】利用空間向量證明平行的方法【變式探究】（選自天津高考真題）如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，.點(diǎn)D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點(diǎn)，M是線段AD的中點(diǎn)，PA=AC=4，AB=2.（Ⅰ）求證：MN∥平面BDE；【總結(jié)提升】證明直線與平面平行，只須證明直線的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為零，或證直線的方向向量與平面內(nèi)的不共線的兩個(gè)向量共面，然后說明直線在平面外即可．這樣就把幾何的證明問題轉(zhuǎn)化為了數(shù)量的計(jì)算問題．考點(diǎn)二：利用空間向量證明垂直問題【典例2】（2021·浙江高二期末）已知正方體，是棱的中點(diǎn)，則在棱上存在點(diǎn)，使得（）A． B．C．平面 D．平面【規(guī)律方法】用空間向量證明垂直問題的方法【變式探究】在邊長是2的正方體-中，分別為的中點(diǎn).應(yīng)用空間向量方法求解下列問題.xzyxzy(1)求EF的長(2)證明：平面；(3)證明:平面.【總結(jié)提升】1.證明直線與直線垂直，只需要證明兩條直線的方向向量垂直，而直線與平面垂直，平面與平面垂直可轉(zhuǎn)化為直線與直線垂直證明．2.要證明兩線垂直，需轉(zhuǎn)化為兩線對應(yīng)的向量垂直，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為證明兩向量的數(shù)量積為零，這是證明兩線垂直的基本方法，線線垂直是證明線面垂直，面面垂直的基礎(chǔ)．3.證明線面垂直，可利用判定定理．如本題解法．4.用向量證明兩個(gè)平面垂直，關(guān)鍵是求出兩個(gè)平面的法向量，把證明面面垂直轉(zhuǎn)化為法向量垂直．考點(diǎn)三：異面直線所成的角【典例3】（2021·天津高二期末）如圖，在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為DD1，BD的中點(diǎn)，點(diǎn)G在CD上，且CG＝CD.（1）求證：EF⊥B1C；（2）求EF與C1G所成角的余弦值.【特別提醒】提醒：兩異面直線所成角θ的范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，兩向量的夾角α的范圍是[0，π]，當(dāng)兩異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時(shí)，就是這兩條異面直線所成的角；當(dāng)兩異面直線的方向向量的夾角為鈍角時(shí)，其補(bǔ)角才是兩異面直線所成的角．【變式探究】（2021·江蘇省蘇州第十中學(xué)校高一月考）由兩塊直角三角形拼成如圖所示的空間立體圖形，其中，當(dāng)時(shí)，此時(shí)四點(diǎn)外接球的體積為__________；異面直線所成角的余弦為__________.【總結(jié)提升】向量法求兩異面直線所成角的步驟(1)選好基底或建立空間直角坐標(biāo)系；(2)求出兩直線的方向向量v1，v2；(3)代入公式|cos〈v1，v2〉|＝eq\f(|v1·v2|,|v1||v2|)求解．考點(diǎn)四：直線與平面所成角【典例4】（2021·浙江高考真題）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，M，N分別為的中點(diǎn)，.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【規(guī)律方法】利用向量法求線面角的方法(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)；(2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角(鈍角時(shí)取其補(bǔ)角)，取其余角就是斜線和平面所成的角.【變式探究】（2020·北京高考真題）如圖，在正方體中，E為的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．考點(diǎn)五：二面角【典例5】（江蘇省揚(yáng)州市2020-2021學(xué)年高二下學(xué)期期中調(diào)研數(shù)學(xué)試題）已知在四棱錐中，平面為的中點(diǎn).（1）求證;平面;（2）若，求銳二面角的余弦值.【規(guī)律方法】利用向量法計(jì)算二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大?。⒁饨Y(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的大小．(2)找與棱垂直的方向向量法：分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大小．【變式探究】（2019年高考全國Ⅲ卷理）圖1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連結(jié)DG，如圖2.（1）證明：圖2中的A，C，G，D四點(diǎn)共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求圖2中的二面角B?CG?A的大小.考點(diǎn)六：利用向量求空間距離【典例6】（2021·北京高二期末）如圖，在長方體中，底面是邊長為的正方形，，分別為的中點(diǎn)．（1）