22.3相似三角形的性質(zhì)教學幻燈片分頁內(nèi)容第1頁：標題頁標題：22.3相似三角形的性質(zhì)副標題：初二數(shù)學上冊授課教師：[教師姓名]日期：[授課日期]第2頁：復習回顧問題1：什么是相似三角形？（對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形。）問題2：判定兩個三角形相似的方法有哪些？（兩角分別相等的兩個三角形相似；兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似；三邊成比例的兩個三角形相似；斜邊和一條直角邊成比例的兩個直角三角形相似。）問題3：若\(\triangleABC\sim\triangleDEF\)，相似比為\(2:3\)，且\(AB=4\)，則\(DE=\)______。（\(6\)）第3頁：學習目標知識目標：掌握相似三角形的性質(zhì)，包括對應角相等、對應邊成比例，以及對應高、對應中線、對應角平分線的比等于相似比；理解相似三角形周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方，并能運用這些性質(zhì)解決問題。能力目標：通過對相似三角形性質(zhì)的探究和應用，培養(yǎng)觀察能力、邏輯推理能力和計算能力，體會數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想。情感目標：感受相似三角形性質(zhì)的嚴謹性和實用性，激發(fā)對數(shù)學學習的興趣，增強運用數(shù)學知識解決實際問題的信心。第4頁：情境引入展示圖形：兩個相似三角形\(\triangleABC\)和\(\triangleDEF\)，相似比為\(k\)。提出問題：相似三角形除了對應角相等、對應邊成比例外，它們的對應高、對應中線、對應角平分線之間有什么關(guān)系？周長之間有什么關(guān)系？面積之間又有什么關(guān)系？通過思考這些問題，引出對相似三角形性質(zhì)的探究。第5頁：相似三角形的基本性質(zhì)基本性質(zhì)1：相似三角形的對應角相等。符號表示：若\(\triangleABC\sim\triangleDEF\)，則\(\angleA=\angleD\)，\(\angleB=\angleE\)，\(\angleC=\angleF\)?；拘再|(zhì)2：相似三角形的對應邊成比例，且對應邊的比等于相似比。符號表示：若\(\triangleABC\sim\triangleDEF\)，相似比為\(k\)，則\(\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}=k\)。強調(diào)：這是相似三角形最基本的性質(zhì)，是后續(xù)學習其他性質(zhì)的基礎(chǔ)。第6頁：相似三角形對應高的比等于相似比性質(zhì)內(nèi)容：相似三角形對應高的比等于相似比。推導過程：如圖，\(\triangleABC\sim\triangleDEF\)，相似比為\(k\)，\(AH\)是\(\triangleABC\)的高，\(DG\)是\(\triangleDEF\)的高。因為\(\triangleABC\sim\triangleDEF\)，所以\(\angleB=\angleE\)，又因為\(\angleAHB=\angleDGE=90^{\circ}\)，所以\(\triangleABH\sim\triangleDEG\)（兩角分別相等的兩個三角形相似）。則\(\frac{AH}{DG}=\frac{AB}{DE}=k\)，即相似三角形對應高的比等于相似比。符號表示：若\(\triangleABC\sim\triangleDEF\)，相似比為\(k\)，對應高分別為\(h_1\)、\(h_2\)，則\(\frac{h_1}{h_2}=k\)。第7頁：相似三角形對應中線、角平分線的比等于相似比性質(zhì)內(nèi)容：相似三角形對應中線的比等于相似比。相似三角形對應角平分線的比等于相似比。推導思路（以對應中線為例）：如圖，\(\triangleABC\sim\triangleDEF\)，相似比為\(k\)，\(AM\)是\(\triangleABC\)的中線，\(DN\)是\(\triangleDEF\)的中線。因為\(\triangleABC\sim\triangleDEF\)，所以\(\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=k\)，且\(\angleB=\angleE\)，又因為\(BM=\frac{1}{2}BC\)，\(EN=\frac{1}{2}EF\)，所以\(\frac{BM}{EN}=k\)。則\(\triangleABM\sim\triangleDEN\)（兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似），所以\(\frac{AM}{DN}=\frac{AB}{DE}=k\)。符號表示：若\(\triangleABC\sim\triangleDEF\)，相似比為\(k\)，對應中線分別為\(m_1\)、\(m_2\)，對應角平分線分別為\(t_1\)、\(t_2\)，則\(\frac{m_1}{m_2}=k\)，\(\frac{t_1}{t_2}=k\)。第8頁：例題講解1——對應線段的比應用例1：已知\(\triangleABC\sim\triangleDEF\)，相似比為\(3:4\)。（1）若\(\triangleABC\)的高\(AH=6\)，求\(\triangleDEF\)對應的高\(DG\)的長度。（2）若\(\triangleDEF\)的中線\(DN=8\)，求\(\triangleABC\)對應的中線\(AM\)的長度。步驟解析：（1）因為相似三角形對應高的比等于相似比，所以\(\frac{AH}{DG}=\frac{3}{4}\)，即\(\frac{6}{DG}=\frac{3}{4}\)，解得\(DG=8\)。（2）因為相似三角形對應中線的比等于相似比，所以\(\frac{AM}{DN}=\frac{3}{4}\)，即\(\frac{AM}{8}=\frac{3}{4}\)，解得\(AM=6\)。第9頁：相似三角形周長的比等于相似比性質(zhì)內(nèi)容：相似三角形周長的比等于相似比。推導過程：設(shè)\(\triangleABC\sim\triangleDEF\)，相似比為\(k\)，則\(\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}=k\)，即\(AB=k\cdotDE\)，\(BC=k\cdotEF\)，\(AC=k\cdotDF\)。\(\triangleABC\)的周長\(C_1=AB+BC+AC=k\cdotDE+k\cdotEF+k\cdotDF=k(DE+EF+DF)\)。\(\triangleDEF\)的周長\(C_2=DE+EF+DF\)。所以\(\frac{C_1}{C_2}=k\)，即相似三角形周長的比等于相似比。符號表示：若\(\triangleABC\sim\triangleDEF\)，相似比為\(k\)，周長分別為\(C_1\)、\(C_2\)，則\(\frac{C_1}{C_2}=k\)。第10頁：相似三角形面積的比等于相似比的平方性質(zhì)內(nèi)容：相似三角形面積的比等于相似比的平方。推導過程：設(shè)\(\triangleABC\sim\triangleDEF\)，相似比為\(k\)，對應高分別為\(h_1\)、\(h_2\)，則\(\frac{h_1}{h_2}=k\)，且\(\frac{BC}{EF}=k\)。\(\triangleABC\)的面積\(S_1=\frac{1}{2}\cdotBC\cdoth_1\)，\(\triangleDEF\)的面積\(S_2=\frac{1}{2}\cdotEF\cdoth_2\)。所以\(\frac{S_1}{S_2}=\frac{\frac{1}{2}\cdotBC\cdoth_1}{\frac{1}{2}\cdotEF\cdoth_2}=\frac{BC}{EF}\cdot\frac{h_1}{h_2}=k\cdotk=k^2\)。符號表示：若\(\triangleABC\sim\triangleDEF\)，相似比為\(k\)，面積分別為\(S_1\)、\(S_2\)，則\(\frac{S_1}{S_2}=k^2\)。第11頁：例題講解2——周長與面積的比應用例2：已知\(\triangleABC\sim\triangleDEF\)，相似比為\(2:5\)。（1）若\(\triangleABC\)的周長為\(16\)，求\(\triangleDEF\)的周長。（2）若\(\triangleDEF\)的面積為\(50\)，求\(\triangleABC\)的面積。步驟解析：（1）因為相似三角形周長的比等于相似比，所以\(\frac{C_{\triangleABC}}{C_{\triangleDEF}}=\frac{2}{5}\)，即\(\frac{16}{C_{\triangleDEF}}=\frac{2}{5}\)，解得\(C_{\triangleDEF}=40\)。（2）因為相似三角形面積的比等于相似比的平方，所以\(\frac{S_{\triangleABC}}{S_{\triangleDEF}}=(\frac{2}{5})^2=\frac{4}{25}\)，即\(\frac{S_{\triangleABC}}{50}=\frac{4}{25}\)，解得\(S_{\triangleABC}=8\)。第12頁：例題講解3——綜合應用例3：如圖，在\(\triangleABC\)中，\(DE\parallelBC\)，\(AD:DB=1:2\)，\(\triangleADE\)的面積為\(3\)，求\(\triangleABC\)的面積和四邊形\(DBCE\)的面積。步驟解析：因為\(DE\parallelBC\)，所以\(\triangleADE\sim\triangleABC\)（平行于三角形一邊的直線截其他兩邊，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似）。由\(AD:DB=1:2\)，可得\(AD:AB=1:(1+2)=1:3\)，即相似比為\(1:3\)。因為相似三角形面積的比等于相似比的平方，所以\(\frac{S_{\triangleADE}}{S_{\triangleABC}}=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}\)。已知\(S_{\triangleADE}=3\)，則\(\frac{3}{S_{\triangleABC}}=\frac{1}{9}\)，解得\(S_{\triangleABC}=27\)。四邊形\(DBCE\)的面積\(=S_{\triangleABC}-S_{\triangleADE}=27-3=24\)。第13頁：方法總結(jié)運用相似三角形性質(zhì)解決問題的步驟：首先確定兩個三角形相似，并明確相似比。根據(jù)所求問題，選擇對應的性質(zhì)：求對應角的度數(shù)：利用對應角相等。求對應邊、對應高、對應中線、對應角平分線的長度：利用它們的比等于相似比。求周長：利用周長的比等于相似比。求面積：利用面積的比等于相似比的平方。列出比例式或等式，代入已知數(shù)據(jù)求解。第14頁：課堂練習1練習1：\(\triangleABC\sim\triangleDEF\)，相似比為\(1:3\)，則對應高的比為______，周長的比為______，面積的比為______。練習2：已知兩個相似三角形的對應中線的比為\(2:3\)，其中較大三角形的周長為\(36\)，則較小三角形的周長為______。第15頁：課堂練習2練習3：如圖，\(\triangleABC\sim\triangleADE\)，\(AB=5\)，\(AD=3\)，\(S_{\triangleADE}=9\)，則\(S_{\triangleABC}=\)______。練習4：兩個相似三角形的面積比為\(4:9\)，其中一個三角形的周長為\(18\)，則另一個三角形的周長為______（考慮兩種情況）。第16頁：易錯點提醒混淆相似三角形面積的比與相似比的關(guān)系，錯誤地認為面積比等于相似比，而忽略是相似比的平方。在應用對應線段的比時，找錯對應關(guān)系，將非對應線段進行比例計算。解決面積相關(guān)問題時，忘記先確定相似比，直接進行面積的加減或比例計算。第17頁：課堂小結(jié)本節(jié)課學習了相似三角形的多項性質(zhì)：對應角相等，對應邊成比例（基本性質(zhì)）。對應高、對應中線、對應角平分線的比等于相似比。周長的比等于相似比。面積的比等于相似比的平方。這些性質(zhì)在解決與相似三角形相關(guān)的計算和證明問題中有著廣泛的應用，關(guān)鍵是準確把握相似比以及各性質(zhì)的適用場景。第18頁：作業(yè)布置基礎(chǔ)作業(yè)：教材第[X]頁習題22.3第1、2、3題。提高作業(yè)：如圖，在\(\triangleABC\)中，\(D\)、\(E\)分別是\(AB\)、\(AC\)的中點，求\(\triangleADE\)與\(\triangleABC\)的周長比和面積比。拓展作業(yè)：一個三角形的各邊長擴大為原來的\(n\)倍，那么它的周長、面積分別擴大為原來的多少倍？請結(jié)合相似三角形的性質(zhì)進行說明。2025-2026學年滬科版數(shù)學九年級上冊授課教師：

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22.3相似三角形的性質(zhì)第22章相似形aiTujmiaNg1.掌握相似三角形中相應線段的比等于相似比.2.掌握相似三角形的周長比等于相似比.3.掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方.4.進一步體會利用類比的思想研究相似圖形與全等圖形的方法，解決簡單的實際問題.5.探究經(jīng)歷“試驗、猜想、證明”的過程，感受幾何命題的合理性，并通過證明確認命題正確，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力.類比全等三角形的研究方法，來研究相似三角形的性質(zhì)

全等三角形相似三角形圖形性質(zhì)CABA'B'C'CABA'B'C'形狀相同，大小相同，完全重合整體：角：對應角相等形狀相同，大小不一定不同，不一定能重合整體：角：對應角相等線段：對應邊相等對應邊上的高線、中線相等對應角的角平分線相等線段：對應邊成比例，都等于相似比對應邊上的高線之比等于相似比嗎？對應角的角平分線之比等于相似比嗎？對應邊上的中線之比等于相似比嗎？在相似三角形中，對應邊上的高線之比等于相似比嗎？思路點撥：構(gòu)造包含高線在內(nèi)的相似三角形.A'B'C'D'ABCD

已知：如圖，△ABC∽△A′B′C′，它們的相似比為k，AD，A′D′是對應的高.求證：合作探究在相似三角形中，對應邊上的高線之比等于相似比嗎？證明：∵△ABC∽△A'B'C'，∴∠B=∠B′．又△ABD和△A′B′D′都是直角三角形，∴∠ADB=∠A′D′B′．∴△ABD∽△A′B′D′．∴．反思：證明過程反復依賴于相似三角形的判定與性質(zhì)，強化對相似三角形判定與性質(zhì)的綜合應用.A'B'C'D'ABCD歸納總結(jié)相似三角形對應高的比等于相似比.符號語言：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比是k且AD⊥BC，A′D′⊥B′C′．∴．相似三角形對應中線的比和對應角平分線的比呢？合作探究

已知：如圖，△ABC∽△A′B′C′，它們的相似比為k，AD，A′D′是對應的中線.求證：A'B'C'D'ABCD證明：∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B′=∠B，

又∵AD，AD′分別為對應邊BC，B′C′的中線，∴△ABD∽△A′B′D′.三角形對應中線的比等于相似比合作探究

已知：如圖，△ABC∽△A′B′C′，它們的相似比為k，AD，A′D′是對應的角平分線.求證：A'B'C'D'ABCD證明：∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B′=∠B，∠B′A′C′=∠BAC.又∵AD，A′D′分別為對應角的平分線，∴∠BAD=∠△B′A′D′.∴△ABD∽△A′B′D′.三角形對應角平分線的比等于相似比都等于相似比.相似三角形的性質(zhì)定理1A'B'C'ABCD'DFF'EE'符號語言相似三角形對應高的比、對應中線的比∵△ABC∽△

A′B′C′，相似比是k，且AD、A′D′是對應邊的高線，BF、B′F′是對應邊的中線，CE、C′E′是對應角的角平分線，∴和對應角平分線的比歸納總結(jié)做一做兩個相似三角形相似比是2∶5，其中一個三角形的一條高線為10，那么另一個三角形對應的高線長度是

.4或25分析：相似三角形的對應線段的比等于相似比.解：設(shè)另一個三角形的對應的高線長度是h，則解得，h=4或h=25.或

所以另一個三角形對應的高線長度是4或者是25.不確定是哪個三角形A'B'C'ABC思考相似三角形周長的比和面積的比分別與相似比有什么關(guān)系？已知：如圖，△ABC∽△A′B′C′，它們的相似比為k，求兩個三角形的周長比.解：∵△ABC∽△A′B′C′，且它們的相似比是k，由等比性質(zhì)，得即△ABC與△A′B′C′的周長比等于相似比k.

A'B'C'D'ABCD思考相似三角形周長的比和面積的比分別與相似比有什么關(guān)系？已知∶如圖，△ABC∽△A′B′C′，它們的相似比為k，求兩個三角形的面積比.解：∵△ABC∽△A′B′C′，且它們的相似比是k，根據(jù)三角形面積公式，得即兩三角形的面積比等于相似比的平方k2.

∴其對應高的比等于相似比，即

歸納總結(jié)相似三角形的性質(zhì)定理2相似三角形周長的比等于相似比.A'B'C'D'ABCD相似三角形的性質(zhì)定理3相似三角形面積的比等于相似比的平方.做一做已知兩個相似三角形的一對對應邊分別為32cm，12cm.求這兩個三角形的周長比和面積比.相似三角形周長的比等于相似比.相似三角形面積的比等于相似比的平方.解：∵

兩個三角形相似，且一對對應邊分別為32cm，12cm，∴兩個三角形的相似比為32∶12=8∶3.∵相似三角形的周長比等于相似比，∴兩個三角形的周長比是8∶3.∵相似三角形的面積比等于相似比的平方，∴兩個三角形的面積比是64∶9.典型例題例1如圖，一塊鐵皮呈銳角三角形，它的邊BC=80cm，高AD=60cm.要把該鐵皮加工成矩形零件，使矩形的兩邊之比為2∶1，且矩形長的一邊位于邊BC上，另兩個頂點分別在AB，AC上.求這個矩形零件的邊長.ABCD80cm60cmSRPQ因為“兩邊之比為2∶1”，所以“矩形的長∶矩形的寬=2∶1”.要求的是矩形零件的邊長，不妨設(shè)其寬為xcm，則長為2xcm.矩形的一條長邊為PQ，可以試著找一下與之相關(guān)的相似三角形進行求解.例2如圖，一塊鐵皮呈銳角三角形，它的邊BC=80cm，高AD=60cm.要把該鐵皮加工成矩形零件，使矩形的兩邊之比為2∶1，且矩形長的一邊位于邊BC上，另兩個頂點分別在AB，AC上.求這個矩形零件的邊長.ABCD80cm60cmSRPQ解：如圖，矩形PQRS為加工后的矩形零件，邊SR在邊BC上，頂點P，Q分別在邊AB，AC上，△ABC的高AD交PQ于點E.設(shè)PS為xcm，則PQ為2xcm.∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC.解這個方程，得x=24，2x=48.答：這個矩形零件的邊長分別是48cm和24cm.用相似三角形的性質(zhì)定理1解決問題①找到對應的相似圖形，并確定其相似比；②根據(jù)相似圖形確定對應線段；③根據(jù)相似三角形的性質(zhì)定理1計算.歸納總結(jié)典型例題例3如圖，△ABC的面積為25，直線DE平行于BC分別交AB，AC于點D，E.如果△ADE的面積是9，求的值.ABCDE相似三角形面積的比等于相似比的平方.△ABC和△ADE和相似嗎？如果兩三角形相似，易得兩三角形的相似比再結(jié)合等比的性質(zhì)，易得AD與DB的比值解題關(guān)鍵典型例題例3如圖，△ABC的面積為25，直線DE平行于BC分別交AB，AC于點D，E.如果△ADE的面積是9，求的值.ABCDE解：∵

DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.由等比性質(zhì)，得典型例題例4如圖，在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D