考研極限函數(shù)真題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.當(dāng)x→0時(shí)，下列函數(shù)中極限存在的是（B）A.sin(1/x)B.cos(1/x)C.e^1/xD.log(1/x)答案：B2.極限lim(x→2)(x^2-4)/(x-2)的值是（C）A.0B.2C.4D.不存在答案：C3.極限lim(x→∞)(3x^2+2x+1)/(5x^2-3x+2)的值是（A）A.3/5B.2/3C.1D.0答案：A4.極限lim(x→0)(sinx)/x的值是（B）A.0B.1C.∞D(zhuǎn).-1答案：B5.極限lim(x→1)(x^3-1)/(x-1)的值是（C）A.0B.1C.3D.-1答案：C6.極限lim(x→0)(e^x-1)/x的值是（B）A.0B.1C.∞D(zhuǎn).-1答案：B7.極限lim(x→∞)(x^2-x)/(x^3+x)的值是（D）A.0B.1C.∞D(zhuǎn).1/∞答案：D8.極限lim(x→0)(1-cosx)/x^2的值是（A）A.1/2B.1C.∞D(zhuǎn).0答案：A9.極限lim(x→1)(x^2-1)/(x-1)的值是（C）A.0B.1C.2D.-1答案：C10.極限lim(x→0)(tanx)/x的值是（B）A.0B.1C.∞D(zhuǎn).-1答案：B二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，當(dāng)x→0時(shí)，極限存在的有（ABD）A.sin(1/x)B.cos(1/x)C.e^1/xD.log(1/x)答案：ABD2.下列極限中，值等于1的有（AC）A.lim(x→0)(sinx)/xB.lim(x→0)(1-cosx)/x^2C.lim(x→0)(e^x-1)/xD.lim(x→0)(tanx)/x答案：AC3.下列極限中，值等于0的有（BD）A.lim(x→∞)(3x^2+2x+1)/(5x^2-3x+2)B.lim(x→∞)(x^2-x)/(x^3+x)C.lim(x→1)(x^3-1)/(x-1)D.lim(x→0)(1-cosx)/x^2答案：BD4.下列極限中，值等于無(wú)窮大的有（CD）A.lim(x→0)(sinx)/xB.lim(x→0)(e^x-1)/xC.lim(x→∞)(3x^2+2x+1)/(5x^2-3x+2)D.lim(x→0)(tanx)/x答案：CD5.下列極限中，值等于3的有（BC）A.lim(x→2)(x^2-4)/(x-2)B.lim(x→1)(x^3-1)/(x-1)C.lim(x→0)(e^x-1)/xD.lim(x→0)(1-cosx)/x^2答案：BC6.下列極限中，值等于1/∞的有（AD）A.lim(x→∞)(x^2-x)/(x^3+x)B.lim(x→2)(x^2-4)/(x-2)C.lim(x→1)(x^3-1)/(x-1)D.lim(x→∞)(3x^2+2x+1)/(5x^2-3x+2)答案：AD7.下列極限中，值等于2的有（C）A.lim(x→0)(sinx)/xB.lim(x→0)(e^x-1)/xC.lim(x→1)(x^2-1)/(x-1)D.lim(x→0)(1-cosx)/x^2答案：C8.下列極限中，值等于-1的有（D）A.lim(x→0)(sinx)/xB.lim(x→0)(e^x-1)/xC.lim(x→1)(x^3-1)/(x-1)D.lim(x→0)(tanx)/x答案：D9.下列極限中，值等于0的有（ABD）A.lim(x→0)(sinx)/xB.lim(x→0)(1-cosx)/x^2C.lim(x→1)(x^3-1)/(x-1)D.lim(x→0)(tanx)/x答案：ABD10.下列極限中，值等于無(wú)窮大的有（CD）A.lim(x→0)(sinx)/xB.lim(x→0)(e^x-1)/xC.lim(x→∞)(3x^2+2x+1)/(5x^2-3x+2)D.lim(x→0)(tanx)/x答案：CD三、判斷題（每題2分，共10題）1.極限lim(x→0)(sinx)/x的值是1。（正確）答案：正確2.極限lim(x→∞)(x^2-x)/(x^3+x)的值是0。（正確）答案：正確3.極限lim(x→1)(x^3-1)/(x-1)的值是3。（正確）答案：正確4.極限lim(x→0)(e^x-1)/x的值是1。（正確）答案：正確5.極限lim(x→0)(1-cosx)/x^2的值是1/2。（正確）答案：正確6.極限lim(x→0)(tanx)/x的值是1。（正確）答案：正確7.極限lim(x→2)(x^2-4)/(x-2)的值是4。（正確）答案：正確8.極限lim(x→∞)(3x^2+2x+1)/(5x^2-3x+2)的值是3/5。（正確）答案：正確9.極限lim(x→0)(sinx)/x的值是0。（錯(cuò)誤）答案：錯(cuò)誤10.極限lim(x→0)(e^x-1)/x的值是0。（錯(cuò)誤）答案：錯(cuò)誤四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.簡(jiǎn)述極限的定義。答案：極限是描述函數(shù)在自變量趨近于某個(gè)值時(shí)，函數(shù)值趨近于某個(gè)確定值的概念。具體來說，如果當(dāng)自變量x趨近于某個(gè)值a時(shí)，函數(shù)f(x)的值趨近于某個(gè)確定的值L，那么我們說函數(shù)f(x)在x趨近于a時(shí)的極限是L，記作lim(x→a)f(x)=L。2.簡(jiǎn)述極限的性質(zhì)。答案：極限具有以下性質(zhì)：唯一性、局部有界性、保號(hào)性、夾逼定理等。唯一性指函數(shù)的極限如果存在，那么它是唯一的。局部有界性指如果函數(shù)在某點(diǎn)附近有極限，那么函數(shù)在該點(diǎn)附近是有界的。保號(hào)性指如果函數(shù)在某點(diǎn)附近有極限，且極限為正，那么函數(shù)在該點(diǎn)附近也是正的。夾逼定理指如果函數(shù)在某點(diǎn)附近被兩個(gè)有相同極限的函數(shù)夾在中間，那么該函數(shù)在該點(diǎn)附近的極限也是相同的。3.簡(jiǎn)述極限的運(yùn)算法則。答案：極限的運(yùn)算法則包括加法法則、減法法則、乘法法則、除法法則、復(fù)合函數(shù)的極限法則等。加法法則指兩個(gè)函數(shù)的極限的和等于它們各自極限的和。減法法則指兩個(gè)函數(shù)的極限的差等于它們各自極限的差。乘法法則指兩個(gè)函數(shù)的極限的積等于它們各自極限的積。除法法則指兩個(gè)函數(shù)的極限的商等于它們各自極限的商，前提是分母的極限不為零。復(fù)合函數(shù)的極限法則指如果復(fù)合函數(shù)的內(nèi)外函數(shù)的極限都存在，那么復(fù)合函數(shù)的極限等于內(nèi)外函數(shù)極限的復(fù)合。4.簡(jiǎn)述極限的應(yīng)用。答案：極限在數(shù)學(xué)分析中有著廣泛的應(yīng)用，例如在求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、積分、級(jí)數(shù)收斂性等方面都有重要作用。極限還可以用來描述函數(shù)的連續(xù)性、可導(dǎo)性等性質(zhì)。此外，極限在物理、工程、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域也有廣泛的應(yīng)用，例如在描述物體的運(yùn)動(dòng)、變化率、優(yōu)化問題等方面都有重要作用。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論極限lim(x→0)(sinx)/x的性質(zhì)。答案：極限lim(x→0)(sinx)/x的值是1，這是一個(gè)著名的極限，它在數(shù)學(xué)分析中有著重要的應(yīng)用。這個(gè)極限的性質(zhì)是當(dāng)x趨近于0時(shí)，(sinx)/x的值趨近于1。這個(gè)極限可以通過夾逼定理來證明，即通過比較sinx和x的大小關(guān)系，證明它們?cè)趚趨近于0時(shí)的極限都是1。2.討論極限lim(x→∞)(x^2-x)/(x^3+x)的性質(zhì)。答案：極限lim(x→∞)(x^2-x)/(x^3+x)的值是0，這是一個(gè)無(wú)窮小量的極限。這個(gè)極限的性質(zhì)是當(dāng)x趨近于無(wú)窮大時(shí)，(x^2-x)/(x^3+x)的值趨近于0。這個(gè)極限可以通過分子分母同時(shí)除以x^3來證明，即通過將分子分母中的每一項(xiàng)都除以x^3，得到(x^2/x^3-x/x^3)/(x^3/x^3+x/x^3)，化簡(jiǎn)后得到(1/x-1/x^2)/(1+1/x^2)，當(dāng)x趨近于無(wú)窮大時(shí)，1/x和1/x^2都趨近于0，因此整個(gè)分式的值趨近于0。3.討論極限lim(x→1)(x^3-1)/(x-1)的性質(zhì)。答案：極限lim(x→1)(x^3-1)/(x-1)的值是3，這是一個(gè)有理函數(shù)的極限。這個(gè)極限的性質(zhì)是當(dāng)x趨近于1時(shí)，(x^3-1)/(x-1)的值趨近于3。這個(gè)極限可以通過因式分解來證明，即通過將分子x^3-1因式分解為(x-1)(x^2+x+1)，然后約去分子分母中的(x-1)，得到x^2+x+1，當(dāng)x趨近于