第四章：數(shù)列章末測試一、單選題：1．已知數(shù)列的前4項為：1，，，，則數(shù)列的通項公式能為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】正負相間用表示，∴．故選：D2．在等差數(shù)列中，，，則（）A．19 B．18 C．17 D．20【答案】C【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由題意可得，解得，所以，故選：C.3．等差數(shù)列與的前n項和分別為，且，則（）A． B． C． D．2【答案】B【解析】∵數(shù)列與均為等差數(shù)列，則，∴，即.故選：B.4．已知數(shù)列的前項和為，，且，則下列說法中錯誤的是（）A． B．C．是等比數(shù)列 D．是等比數(shù)列【答案】C【解析】由題意數(shù)列的前項和為，，且，則，即，即選項A正確；∵①，∴當時，②，①-②可得，，即，，不滿足，故數(shù)列不是等比數(shù)列，故C錯誤，由時，可得，，則，故，故B正確；由得：,則，即，故是首項為，公比為3的等比數(shù)列，D正確，故選︰C．5．數(shù)列滿足，且則的值為（）A． B． C．2 D．1【答案】C【解析】由題意，數(shù)列滿足，且，可得，可得數(shù)列是以三項為周期的周期數(shù)列，所以.故選：C.6．已知等比數(shù)列的前2項和為2，前4項和為8，則它的前6項和為（）A．12 B．22 C．26 D．32【答案】C【解析】設(shè)等比數(shù)列的前n項和為，公比為q,則,則，而，故，所以數(shù)列前6項和為，故選：C.7．已知數(shù)列滿足，，設(shè)，且數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意數(shù)列滿足，可知，是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以,因為數(shù)列是遞增數(shù)列，所以，對于任意的恒成立，即,即恒成立,因為時,取得最小值3，故，即實數(shù)的取值范圍是，故選：A,8．已知數(shù)列的前n項和為，且，，則數(shù)列的前2021項的和為()A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，(*)，∴，解得．，∴，兩式相減，得，數(shù)列的奇數(shù)項與偶數(shù)項均為公差為4的等差數(shù)列，當為偶數(shù)時，．當為奇數(shù)時，為偶數(shù)，∴根據(jù)上式和(*)知，數(shù)列的通項公式是，易知是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，故，，設(shè)的前n項和為，則．故選：A．二、多項選擇題：9．已知數(shù)列滿足，，則（）A．為等比數(shù)列 B．的通項公式為C．為遞增數(shù)列 D．的前n項和【答案】AD【解析】因為，所以，又，所以是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，即，所以，所以，所以為遞減數(shù)列，的前n項和．故選：AD．10．已知數(shù)列，為的前項和，其中，，則下列結(jié)論正確的是（）A．是等差數(shù)列 B．是等差數(shù)列C． D．【答案】ABD【解析】設(shè)n為奇數(shù)，則是偶數(shù)，是奇數(shù)，則，①，②①+②得：，即，所以的奇數(shù)項是首項為，公差為2的等差數(shù)列，同理的偶數(shù)項是首項為，公差為2的等差數(shù)列，故A，B正確；所以，故C錯誤；又，∴，故D正確.故選：ABD.11．設(shè)數(shù)列的前項和為，若存在實數(shù)使得對任意，都有，則稱數(shù)列為“數(shù)列”，則以下結(jié)論正確的是（）A．若是等差數(shù)列，且，公差，則數(shù)列是“數(shù)列”B．若是等比數(shù)列，且公比滿足，則數(shù)列是“數(shù)列”C．若，則數(shù)列是“數(shù)列”D．若，則數(shù)列是“數(shù)列”【答案】BC【解析】對于A，若是等差數(shù)列，且，公差，則，當無窮大時，也無窮大，所以數(shù)列不是“數(shù)列”，故A選項錯誤；對于B，若是等比數(shù)列，且公比滿足，所以，所以數(shù)列是“數(shù)列”，故B正確；對于C，若，所以，所以數(shù)列是“數(shù)列”，故C選項正確；對于D，若，所以，當無窮大時，也無窮大，所以數(shù)列不是“數(shù)列”，故D選項錯誤.故選：BC.三、填空題：12．已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的最大項為第________項．【答案】4【解析】由題意，，故，令，解得；令，解得；故時，；時，，故數(shù)列的最大項為第4項.故答案為：413．已知等比數(shù)列的公比為q，且，能使不等式成立最大正整數(shù)________．【答案】【解析】由已知，結(jié)合知，解得，由于是等比數(shù)列，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列.要使成立則，即，將代入整理得：又，可知，故最大正整數(shù).故答案為：14．如果數(shù)列1，6，15，28，45，中的每一項都可用如圖所示的六邊形表示出來，故稱它們?yōu)榱呅螖?shù)，那么第9個六邊形數(shù)為______．【答案】153【解析】因為：1，，，，；即這些六邊形數(shù)是由首項為1，公差為4的等差數(shù)列的和組成的；所以：；第9個六邊形數(shù)為：．故答案為：153．四、解答題：115．設(shè)是等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記的前n項和為，求的最小值．【答案】（1）；（2）-30【解析】（1）設(shè)的公差為d∵，，成等比數(shù)列，即，解得：，故數(shù)列的通項公式為（2）∴或時，取得最小值當或時，求得，故的最小值為-3016．已知二次函數(shù)，滿足．（1）求函數(shù)的解析式；（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，若點均在函數(shù)的圖像上，試寫出，并求數(shù)列的通項公式；（3）在（2）的條件下，設(shè)，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）；（2）；；；（3）【解析】（1）因為二次函數(shù)，滿足，所以，解得，所以，（2）點均在函數(shù)的圖像上，所以，所以，當時，，當時，，即.當時，，當時，滿足，所以，，，.（3）結(jié)合（2）得，所以，，即數(shù)列為等比數(shù)列，公比為，首項為.所以，17．在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的λ存在，求實數(shù)λ的取值范圍；若問題中的λ不存在，請說明理由．設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，數(shù)列的前n項和為，_____，，，是否存在實數(shù)λ，對任意都有？【答案】答案見解析【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，當n=1時，，得，從而，當時，，得，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，假設(shè)存在實數(shù)λ對任意，都有，則等差數(shù)列的前n項和存在最小值，假設(shè)n=k時，取最小值．若補充條件是①：，因為，從而，由得d=3，所以,由等差數(shù)列的前n項和存在最小值，則，得，又，所以k=5，所以，故實數(shù)λ的取值范圍為．若補充條件②：，由，即，又，所以，所以，由于該數(shù)列是遞減數(shù)列，所以不存在k，使得取最小值，故實數(shù)λ不存在．若補充條件③：，由，得，又，所以，所以，由等差數(shù)列的前n項和存在最小值，則，得，又，所以k=5，所以存在k=5，使得取最小值，所以，故實數(shù)λ的取值范圍為．18．甲、乙、丙、丁四人合資注冊一家公司，每人出資50萬元作為啟動資金投入生產(chǎn)，到當年年底，資金增長了50%．預(yù)計以后每年資金年增長率與第一年相同．四人決定公司從第一年開始，每年年底拿出60萬元分紅，并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn)．設(shè)第n年年底公司分紅后的剩余資金為萬元．（1）求，，并寫出與的關(guān)系式；（2）至少經(jīng)過多少年，公司分紅后的剩余資金不低于1200萬元？（年數(shù)取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，）【答案】（1）240，300，（2）至少經(jīng)過7年，公司分紅后的剩余資金不低于1200萬元【解析】（1）由題意得，投入生產(chǎn)的啟動資金共有50×4＝200萬元，，，．（2）由（1）知，而也滿足該式，故.令，所以，因為：，，即．所以至少經(jīng)過7年，公