4.4數(shù)學(xué)歸納法一、數(shù)學(xué)歸納法的定義和關(guān)鍵點(diǎn)1、定義一般地，當(dāng)要證明一個(gè)命題對(duì)于不小于某個(gè)正整數(shù)的所有正整數(shù)都成立時(shí)，可以用以下兩個(gè)步驟：（1）（歸納奠基）證明當(dāng)時(shí)命題成立；（2）（歸納遞推）假設(shè)當(dāng)(，≥)時(shí)命題成立，證明當(dāng)命題也成立.在完成這兩個(gè)步驟后，就可以斷定命題對(duì)于不小于的所有正整數(shù)都成立，這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法。2、三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)（1）驗(yàn)證是基礎(chǔ)：數(shù)學(xué)歸納法的原理表明：第一個(gè)步驟是要找一個(gè)數(shù)n0，這個(gè)n0，就是我們要證明的命題對(duì)象對(duì)應(yīng)的最小自然數(shù)，這個(gè)自然數(shù)并不一定都是“1”，因此“找準(zhǔn)起點(diǎn)，奠基要穩(wěn)”是第一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)．（2）遞推是關(guān)鍵：數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)在于遞推，所以從“k”到“k＋1”的過程中，要正確分析式子項(xiàng)數(shù)的變化．關(guān)鍵是弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，弄清由n＝k到n＝k＋1時(shí)，等式的兩邊會(huì)增加多少項(xiàng)，增加怎樣的項(xiàng)．（3）利用假設(shè)是核心：在第二步證明n＝k＋1成立時(shí)，一定要利用歸納假設(shè)，即必須把歸納假設(shè)“n＝k時(shí)命題成立”作為條件來導(dǎo)出“n＝k＋1”，在書寫f(k＋1)時(shí)，一定要把包含f(k)的式子寫出來，尤其是f(k)中的最后一項(xiàng)，這是數(shù)學(xué)歸納法的核心．不用歸納假設(shè)的證明就不是數(shù)學(xué)歸納法．二、歸納——猜想——證明”的一般環(huán)節(jié)：1、計(jì)算：根據(jù)條件，準(zhǔn)確計(jì)算出前若干項(xiàng)，這是歸納、猜想的前題；2、歸納、猜想：通過觀察、分析、比較、綜合、聯(lián)想，猜想出一般的結(jié)論；3、證明：對(duì)一般結(jié)論利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.三、用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式的步驟及注意事項(xiàng)1、明確初始值并驗(yàn)證真假（必不可少）；2、“假設(shè)時(shí)命題正確”并寫出命題形式；3、分析“時(shí)”命題是什么，并找出與“”時(shí)命題形式的差別，弄清左端應(yīng)增加的項(xiàng)；4、明確等式左端變形目標(biāo)，掌握恒等變形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆項(xiàng)、配方等，并用上假設(shè)。題型一對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的理解【例1】欲用數(shù)學(xué)歸納法證明“對(duì)于足夠大的正整數(shù)n，總有”，則驗(yàn)證不等式成立所取的第一個(gè)，最小應(yīng)當(dāng)是（）．A．1B．大于1且小于6的某個(gè)正整數(shù)C．10D．大于5且小于10的某個(gè)正整數(shù)【變式1-1】如果命題對(duì)成立，那么它對(duì)也成立.設(shè)對(duì)成立，則下列結(jié)論正確的是（）A．對(duì)所有的正整數(shù)成立；B．對(duì)所有的正奇數(shù)成立；C．對(duì)所有的正偶數(shù)成立；D．對(duì)所有大于1的正整數(shù)成立.【變式1-2】與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，如果當(dāng)（，）時(shí)該命題成立，則可推得當(dāng)時(shí)該命題成立．現(xiàn)得知時(shí)命題不成立，那么可推得（）A．當(dāng)時(shí)，該命題不成立B．當(dāng)時(shí)，該命題不成立C．當(dāng)時(shí)，該命題成立D．當(dāng)時(shí)，該命題成立【變式1-3】用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“若為奇數(shù)，則能被整除”，在驗(yàn)證了正確后，歸納假設(shè)應(yīng)寫成（）A．時(shí)，能被整除；B．時(shí)，能被整除；C．時(shí)，能被整除；D．時(shí)，能被整除．題型二數(shù)學(xué)歸納法中的增項(xiàng)問題【例2】用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，假設(shè)時(shí)命題成立，則當(dāng)時(shí)，左端增加的項(xiàng)為（）A．B．C．D．【變式2-1】用數(shù)學(xué)歸納法證明等式的過程中，當(dāng)時(shí)等式左邊與時(shí)的等式左邊的差等于（）A．B．C．D．【變式2-2】用數(shù)學(xué)歸納法證明能被31整除時(shí)，從k到添加的項(xiàng)數(shù)共有（）項(xiàng)A．7B．6C．5D．4【變式2-3】利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式（）的過程，由到時(shí)，左邊增加了（）A．k項(xiàng)B．項(xiàng)C．項(xiàng)D．項(xiàng)題型三用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式【例3】用數(shù)學(xué)歸納法證明.【變式3-1】用數(shù)學(xué)歸納法證明：（,）．【變式3-2】用數(shù)學(xué)歸納法證明：【變式3-3】觀察下面三個(gè)等式：第1個(gè)：，第2個(gè)：，第3個(gè)：（1）按照以上各式的規(guī)律，寫出第4個(gè)等式；（2）按照以上各式的規(guī)律，猜想第個(gè)等式（為正整數(shù)）；（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想成立．題型四用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式【例4】用數(shù)學(xué)歸納法證明：．【變式4-1】用數(shù)學(xué)歸納法證明：．【變式4-2】設(shè)，，且，求證：.【變式4-3】）已知n∈N*，n＞2，求證：題型五用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題【例5】用數(shù)學(xué)歸納法證明：可以被7整除.【變式5-1】證明：當(dāng)時(shí)，能被64整除．【變式5-2】求證：對(duì)任意正整數(shù)，都能被整除．【變式5-3】求證：能被整除．題型六用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問題【例6】設(shè)數(shù)列滿足．（1）求的值并猜測(cè)通項(xiàng)公式；（2）證明上述猜想的通項(xiàng)公式．【變式6-1】在數(shù)列，中，，且當(dāng)（為正整數(shù)）時(shí)，，．（1）計(jì)算，，，，，的值，并猜測(cè)數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中的猜測(cè)．【變式6-2】已知數(shù)列中，，其前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，.（1）計(jì)算，，，；（2）依據(jù)（1）的計(jì)算結(jié)果，猜想的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.【變式6-3】已知數(shù)列1，，，，…，（）的前項(xiàng)和為．（1）求，，；（2）猜想前項(xiàng)和，并證明．4.4數(shù)學(xué)歸納法【題組1對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的理解】1、用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，第一步需要驗(yàn)證的不等式是（）A．B．C．D．2、用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，在第一步歸納奠基時(shí)，要驗(yàn)證的等式是（）A．B．C．D．3、（多選）用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)任意的自然數(shù)都成立，則以下滿足條件的的值中正確的為（）A．1B．2C．3D．44、用數(shù)學(xué)歸納法證明“”時(shí)，當(dāng)時(shí)，應(yīng)證明的等式為______．5、用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，在驗(yàn)證了時(shí)命題正確后，假定時(shí)命題正確，這里k的取值范圍是______．【題組2數(shù)學(xué)歸納法中的增項(xiàng)問題】1、用數(shù)學(xué)歸納法證明（，n為正整數(shù)）的過程中，從遞推到時(shí)，不等式左邊為（）．A．．B．．C．．D．．2、用數(shù)學(xué)歸納法證明：，，當(dāng)時(shí)，左端應(yīng)在的基礎(chǔ)上加上（）A．B．C．D．3、用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，由到，左邊需要添加的項(xiàng)數(shù)為（）A．1B．kC．D．4、用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，其中，，從到時(shí)，等式左邊需要增乘的代數(shù)式為（）A．B．C．D．5、已知經(jīng)過同一點(diǎn)的個(gè)平面，任意三個(gè)平面不經(jīng)過同一條直線，若這n個(gè)平面將空間分成個(gè)部分．現(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法證明這一命題，證明過程中由到時(shí)，應(yīng)證明增加的空間個(gè)數(shù)為（）A．B．C．D．【題組3用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式】1、用數(shù)學(xué)歸納法證明.2、用數(shù)學(xué)歸納法證明：（n為正整數(shù)）．3、求證：．4、考查下列各式2＝2×13×4＝4×1×34×5×6＝8×1×3×55×6×7×8＝16×1×3×5×7你能做出什么一般性的猜想？能證明你的猜想嗎？5、觀察下面等式：寫出由這些等式歸納的一般規(guī)律，用數(shù)學(xué)歸納法證明．【題組4用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式】1、用數(shù)學(xué)歸納法證明1+++…+≤+n(n∈N*).2、用數(shù)學(xué)歸納法證明：．3、用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)于任意大于1的正整數(shù)n，不等式都成立．4、證明：不等式，恒成立.5、若為大于1的自然數(shù)，求證：【題組5用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題】1、用數(shù)學(xué)歸納法證明：能被整除．2、用數(shù)學(xué)歸納法證明：能被整除.3、用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)為正奇數(shù)時(shí)，能被整除．4、求證：當(dāng)，且時(shí)，能被整除.【題組6用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問題】1、已知數(shù)列中，，．（1）