5.3.1函數(shù)的單調(diào)性一、函數(shù)單調(diào)性概念及求法1、函數(shù)的單調(diào)性的概念：在某個區(qū)間內(nèi)，如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．【注意】（1）在某區(qū)間內(nèi)（）是函數(shù)在此區(qū)間上為增（減）函數(shù)的充分不必要條件；（2）可導(dǎo)函數(shù)在上是增(減)函數(shù)的充要條件是對?x∈(a，b)，都有（）且在上的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒為零．2、求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求（通分合并、因式分解）；（3）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間；（4）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間．二、已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)1、函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)增（單減）在區(qū)間D上恒成立；2、函數(shù)在區(qū)間D上存在單調(diào)增（單減）區(qū)間在區(qū)間D上能成立；3、已知函數(shù)在區(qū)間D內(nèi)單調(diào)不存在變號零點4、已知函數(shù)在區(qū)間D內(nèi)不單調(diào)存在變號零點題型一求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【例1】若函數(shù)，則的一個單調(diào)遞增區(qū)間是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由可得，令，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，故選：B【變式1-1】函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為，所以，由解得：，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．故選：B．【變式1-2】已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A．B．，C．D．【答案】C【解析】由得，所以，，所以，因為，所以由得，故選：C．【變式1-3】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【答案】見解析【解析】因為，所以.由，解得x＝0或x＝2a.當(dāng)a＝0時，，所以f（x）在R上嚴格增，單調(diào)增區(qū)間為；當(dāng)時，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為及，單調(diào)減區(qū)間為（0，2a）；當(dāng)時，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為及，單調(diào)減區(qū)間為（2a，0）.題型二已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)【例2】已知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，則（）.A．B．C．D．【答案】B【解析】由得，又的單調(diào)遞減區(qū)間是，所以和1是方程的兩個根，代入得.經(jīng)檢驗滿足題意，故選：B.【變式2-1】已知函數(shù)在上不單調(diào)，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】依題意，故在上有零點，令，令，得，令，則，由，得，單調(diào)遞增，又由，得，故，所以，的取值范圍，故選：A【變式2-2】若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，∴，若在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則有解，故，令，則在單調(diào)遞增，，故.故選：D.【變式2-3】對任意的，當(dāng)時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】依題意，，令，，則對任意的，當(dāng)時，，即有函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此，，，而，則，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：C題型三原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)系【例3】如圖為函數(shù)（其定義域為）的圖象，若的導(dǎo)函數(shù)為，則的圖象可能是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：由圖象知在上先減后增，故在上函數(shù)值先負后正，同理在上的符號是先負后正，四個選項中僅有選項A符合.故選：A.【變式3-1】設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖像如圖所示，則的圖像最有可能的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由導(dǎo)函數(shù)的圖象可得當(dāng)時，,函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，,函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，,函數(shù)單調(diào)遞增.只有C選項的圖象符合，故選:C.【變式3-2】設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，將和的圖象畫在同一直角坐標(biāo)系中，下列不可能正確的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】對于A，如果把作為的圖象，則，原點處取等號，則單調(diào)遞增，故A正確；對于B，如果把作為的圖象，則，則單調(diào)遞增，故B正確；對于C，如果把作為的圖象，則，則單調(diào)遞增，故C正確；對于D，如果把作為的圖象，則，在個別點處取等號，則單調(diào)遞增，與圖中不符；如果把作為的圖象，則在圖象所對應(yīng)的范圍內(nèi)，在個別點處取等號，則單調(diào)遞減，與圖中不符；故D不可能，故選：D【變式3-3】已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的圖象可能是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由函數(shù)的圖象可知：當(dāng)時，，即，此時單調(diào)遞增；當(dāng)時，，即，此時單調(diào)遞減；當(dāng)時，，即，此時單調(diào)遞減；當(dāng)時，，即，此時單調(diào)遞增．故選：C【變式3-4】已知函數(shù)在上可導(dǎo)，的圖象如圖所示，其中為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】由圖象可知，在單增，在單減，即在上大于0，在上小于0，又或，則解集為.故選：A.題型四利用單調(diào)性解不等式【例4】已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為，所以，即函數(shù)單調(diào)遞增，由可得，，解得．故選：D．【變式4-1】已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對任意的，都有，且，則不等式的解集為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】令，則，所以在上單調(diào)遞增，,等價于,即，即，所以不等式的解集為.故選：A.【變式4-2】是定義在區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則不等式的解集為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】構(gòu)造，則，因為定義域為，且，所以所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，不等式可化為：，即，所以有，解得：.即不等式的解集為：.故選：D【變式4-3】已知定義在R上的偶函數(shù)滿足，，若，則不等式的解集為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】是定義在R上的偶函數(shù)，，則，即是奇函數(shù)，由，可得，構(gòu)造，則，所以函數(shù)單調(diào)遞減，，，即的周期為，則，即；不等式可化簡為，即，所以，解得.故選：B【變式4-4】已函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)定義域均為，且，，則關(guān)于的不等式的解集為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，設(shè)是實數(shù)集上的減函數(shù)，且，所以由，故選：B題型五利用單調(diào)性比較大小【例5】已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，令，則，令，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由，則，即，故選：C.【變式5-1】已知，，，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，令，，在上單調(diào)遞減，,所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以,即.故選：D【變式5-2】已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為，，，故令，則，因為，所以，故恒成立，所以在上單調(diào)遞增，因為，所以，即，故，又因為在上單調(diào)遞增，所以，即.故選：B.【變式5-3】已知，，，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為，，，即，，，設(shè)，，且，則，在上單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞減，所以，又因為，，，所以，所以.故選：A.5.3.1函數(shù)的單調(diào)性【題組1求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間】1、函數(shù)的遞增區(qū)間是（）A．B．和C．D．【答案】C【解析】由題設(shè)，且，可得，所以遞增區(qū)間為.故選：C2、函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，令，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，故選：A.3、函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為__________.【答案】【解析】函數(shù)，則，令解得，當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞減，故答案為：.4、求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（1）；（2）．【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析.【解析】（1）易得函數(shù)的定義域為，，令，解得，（舍去），當(dāng)x變化時，，的變化情況如下表所示：x0∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）易得函數(shù)的定義域為，，令，解得或，當(dāng)x變化時，，的變化情況如下表所示：x00∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為，．5、已知函數(shù)（）.（1），求函數(shù)在處的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性.【答案】（1）；（2）答案見解析【解析】（1）時，，，切線的斜率，則切線方程為；（2）函數(shù)的定義域為，且，①當(dāng)時，，由，得；由，得則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.②當(dāng)，即時，由，得或；由，得.則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.③當(dāng)，即時，恒成立，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.④當(dāng)，即時，由，得或；由，得，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.【題組2已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)】1、已知函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，因為在上為單調(diào)遞增函數(shù)，故在上恒成立，所以即，故選：A.2、已知函數(shù)，若在上是單調(diào)減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，得，函數(shù)在上為單調(diào)減函數(shù)，對恒成立，即對恒成立，，解得，的取值范圍是.故選：A.3、若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，，當(dāng)時，在上恒成立，此時在上單調(diào)遞減，不合要求，舍去；當(dāng)時，則要求的零點在內(nèi)，的對稱軸為，由零點存在性定理可得：，故，解得：，故的取值范圍.故選：C4、若函數(shù)在其定義域的一個子區(qū)間內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為函數(shù)的定義域為，所以，即，，令，得或（舍去），因為在定義域的一個子區(qū)間內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，所以，得，綜上，，故選：D5、若對，，且，都有，則m的最小值是________.【答案】1【解析】∵，則由題意可得：，即∴在上單調(diào)遞減，則在上恒成立即在上恒成立，則，即m的最小值是1故答案為：1.【題組3原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)系】1、已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)圖像如圖所示，則的圖像是圖四個圖像中的（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意可知，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，則在上增的越來越快，當(dāng)時，單調(diào)遞減，則在上增的越來越慢，當(dāng)時，單調(diào)遞減，則在上減的越來越快，當(dāng)時，單調(diào)遞增，則在上減的越來越慢，只有A選項符合，故選：A.2、設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，的圖象如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由的圖象可知，當(dāng)時函數(shù)單調(diào)遞增，則，故排除C、D；當(dāng)時先遞減、再遞增最后遞減，所以所對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值應(yīng)該先小于，再大于，最后小于，故排除B；故選：A3、已知函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題中圖像可知，當(dāng)時，，即，故在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，即，故在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，即，故在上單調(diào)遞減；綜上所述，只有D選項符合題意．故選：D．4、設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖像如圖所示，則的解集是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由函數(shù)的圖像可知,在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞增，即當(dāng)時,;當(dāng)x∈(0,2)時,.因為可化為或，解得：0<x<2或x<0,所以不等式的解集為.故選:C5、已知在R上可導(dǎo)的函數(shù)的圖象如下圖所示，則不等式的解集為______．【答案】【解析】由函數(shù)的圖象可知當(dāng)時，；當(dāng)或時，當(dāng)或時，；當(dāng)時，則當(dāng)時，，則當(dāng)時，，則當(dāng)時，，則當(dāng)時，，則當(dāng)時，，則綜上的解集為.故答案為：【題組4利用單調(diào)性解不等式】1、已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】函數(shù)的定義域為，，故函數(shù)為奇函數(shù)，且不恒為零，故函數(shù)在上為增函數(shù)，由可得，則，所以，，解得.故選：A.2、定義在上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)記為，若為奇函數(shù)且，當(dāng)時，，則不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】設(shè)，則，因為當(dāng)時，成立，所以，為遞減函數(shù)，又因為函數(shù)為奇函數(shù)，可得，則，所以函數(shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，因為，所以，，，當(dāng)時，由為奇函數(shù)可得不滿足題意；當(dāng)時，由可得，所以；當(dāng)時，由可得，所以，此時，綜上所述，不等式的解集是故選：D3、已知定義在上的函數(shù)滿足，且的導(dǎo)函數(shù)在上恒有，則不等式的解集為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為可化為，令，則，因為，所以，所以在上單調(diào)遞減，因為，所以，所以，所以，即不等式的解集為．故選：A．4、已知奇函數(shù)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時，有，則不等式的解集為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】令，則，因為當(dāng)時，有，所以當(dāng)時，，所以在上為增函數(shù)，因為為奇函數(shù)，所以，所以，所以為R上的奇函數(shù)，所以在R上為增函數(shù)，由，得，，所以，因為為奇函數(shù)，所以，所以，得，所以不等式的解集為，故選：C5、已知定義在上的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時，，且，則不等式的解集為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，令，則當(dāng)時，，故在時，單調(diào)遞減，又因為在在R上為偶函數(shù)，所以在R上為奇函數(shù)，故在R上單調(diào)遞減，因為，所以，當(dāng)時