導(dǎo)數(shù)專題：導(dǎo)數(shù)與曲線切線問題的6種常見考法一、求曲線“在”與“過”某點(diǎn)的切線1、求曲線“在”某點(diǎn)處的切線方程步驟第一步（求斜率）：求出曲線在點(diǎn)處切線的斜率第二步（寫方程）：用點(diǎn)斜式第三步（變形式）：將點(diǎn)斜式變成一般式。2、求曲線“過”某點(diǎn)處的切線方程步驟（此類問題的點(diǎn)不一定是切點(diǎn)）第一步：設(shè)切點(diǎn)為；第二步：求出函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)；第三步：利用Q在曲線上和，解出及；第四步：根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程，得切線方程為．二、公切線問題研究曲線的公切線，一般是分別設(shè)出兩切點(diǎn)，寫出兩切線方程，然后再使用這兩個方程表示同一條直線，但要注意以下兩個方面：（1）兩個曲線有公切線，且切點(diǎn)是同一點(diǎn)；（2）兩個曲線有公切線，但是切點(diǎn)不是同一點(diǎn)。三、切線條數(shù)問題求曲線的切線條數(shù)一般是設(shè)出切點(diǎn)，由已知條件整理出關(guān)于的方程，把切線問條數(shù)問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程的實(shí)根個數(shù)問題。四、已知切線求參數(shù)問題此類問題常見的考查形式有兩種，一是判斷符合條件的切線是否存在，二是根據(jù)切線滿足條件求參數(shù)的值或范圍。常用的求解思路是把切線滿足條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于斜率或切點(diǎn)的方程或函數(shù)，再根據(jù)方程的根的情況或函數(shù)性質(zhì)去求解。題型一“在”點(diǎn)求切線問題【例1】函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，又，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.故選：B.【變式1-1】已知函數(shù)滿足.（1）求的值；（2）求的圖象在處的切線方程.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因?yàn)?，則，所以，，解得.（2）由（1）可知，則，則，，因此，的圖象在處的切線方程為，即.【變式1-2】若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則，的值分別為（）A．1，1B．，1C．1，D．，【答案】A【解析】因?yàn)椋郧€在點(diǎn)處的切線的斜率為1，，又切點(diǎn)在切線上，．故選：A．【變式1-3】已知函數(shù)的圖象在處的切線方程為，則（）A．B．C．0D．1【答案】B【解析】因?yàn)?，所?又的圖象在處的切線方程為，所以，解得，則，所以，代入切線方程得，解得，故.故選：B.題型二“過”點(diǎn)求切線問題【例2】（多選）已知曲線，則曲線過點(diǎn)的切線方程為（）A．B．C．D．【答案】BD【解析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，，切線斜率為切線方程為曲線過點(diǎn)，代入得可化簡為，即，解得或則曲線過點(diǎn)的切線方程為或故選：BD【變式2-1】過原點(diǎn)的直線與分別與曲線，相切，則直線斜率的乘積為（）A．-1B．1C．D．【答案】B【解析】設(shè)的切點(diǎn)分別為，由題意可得，，所以在處的切線為，在處的切線為，又因?yàn)閮蓷l切線過原點(diǎn)，所以，解得，所以直線斜率的乘積為，故選：B【變式2-2】設(shè)點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，直線過點(diǎn)與曲線相切，則直線的傾斜角的取值范圍為______.【答案】【解析】設(shè)直線的傾斜角為【變式2-3】過點(diǎn)作曲線的兩條切線，則這兩條切線的斜率之和為______.【答案】【解析】時，，設(shè)切點(diǎn)，則，切線過，，，時，，切點(diǎn)，，切線過，，，故.故答案為：.題型三切線的條數(shù)問題【例3】若過點(diǎn)只可以作曲線的一條切線，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，則，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線斜率為，故切線方程為：，又切線過點(diǎn)，則，設(shè)，則得，或，則當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，又時，，時，，所以有且只有一個根，且，則，故的取值范圍是.故答案為：.【變式3-1】若曲線有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則實(shí)a的取值范圍為______.【答案】【解析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為：，，所以切線斜率為，即切線方程為，又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，整理得，又曲線有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，所以該方程有兩個解，所以，解得故答案為：【變式3-2】已知過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設(shè)切點(diǎn)是，，即，而故切線斜率，切線方程是，又因?yàn)榍芯€經(jīng)過點(diǎn)，故，顯然，則，在上有兩個交點(diǎn)，令，設(shè)，則，令得，，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，又，，且時，，時，，時，，時，，所以有兩個交點(diǎn)，則或，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.【變式3-3】已知函數(shù)，若過點(diǎn)可以作出三條直線與曲線相切，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】設(shè)過點(diǎn)的切線與相切于點(diǎn)，，，則切線方程為：，又切線過點(diǎn)，，令，則問題等價于與有三個不同的交點(diǎn)，，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，由此可得圖象如下圖所示，由圖象可知：當(dāng)時，與有三個不同的交點(diǎn)，即當(dāng)時，過點(diǎn)可以作出三條直線與曲線相切.故選：A.題型四兩曲線的公切線問題【例4】若直線與曲線和均相切，則直線的方程為___.【答案】【解析】設(shè)，上的切點(diǎn)分別為，，由，，可得，故在處的切線方程為，在處的切線方程為，由已知,所以，故或，而，不合題意舍去，故，此時直線的方程為.故答案為：.【變式4-1】已知函數(shù)與函數(shù)存在一條過原點(diǎn)的公共切線，則________.【答案】【解析】設(shè)該公切線過函數(shù)、函數(shù)的切點(diǎn)分別為，.因?yàn)椋栽摴芯€的方程為同理可得，該公切線的方程也可以表示為因?yàn)樵摴芯€過原點(diǎn)，所以，解得.故答案為：【變式4-2】函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線也是拋物線的切線，則（）A．1B．3C．6D．2【答案】C【解析】，則，則在點(diǎn)處的切線的斜率為，，則，則在點(diǎn)處的切線的斜率為，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線也是拋物線的切線，則，即，故選：C.【變式4-3】若曲線與曲線在公共點(diǎn)處有相同的切線，則實(shí)數(shù)__________.【答案】【解析】令，，則，；設(shè)與的公共點(diǎn)為，與在公動點(diǎn)處有相同的切線，，即，，解得：，，解得：.故答案為：.題型五切線平行、垂直問題【例5】若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則實(shí)數(shù)（）．A．B．1C．D．2【答案】C【解析】因?yàn)?，所以曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，直線l的斜率，由切線與直線l垂直知，即，解得．故選：C．【變式5-1】已知曲線，則與直線垂直的曲線的切線方程為_________．【答案】【解析】設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)椋?，因?yàn)榍€的切線與直線垂直，所以，解得，又點(diǎn)在曲線上，則，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以曲線的與直線垂直的切線方程為：，即，故答案為：.【變式5-2】若曲線存在兩條互相垂直的切線，則a的取值范圍是________．【答案】【解析】由題知，令，則．若函數(shù)曲線存在兩條互相垂直的切線則可得，，．當(dāng)時，，，與題目矛盾；當(dāng)時，由，可得的值域是故，使得，，．故答案為：．【變式5-3】曲線在點(diǎn)處的切線平行于直線，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______．【答案】或【解析】由已知得，令，則，解得或，所以或．經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)與均符合題意．故答案為：或【變式5-4】若曲線存在與直線平行的切線，則實(shí)數(shù)的最大值為______.【答案】3【解析】，因?yàn)榍€存在與直線平行的切線，所以在有解.即在有解.設(shè)，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，即.所以，即的最大值為.故答案為：3題型六與切線有關(guān)的最值問題【例6】若動點(diǎn)P在直線上，動點(diǎn)Q在曲線上，則|PQ|的最小值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】設(shè)與直線平行的直線的方程為，∴當(dāng)直線與曲線相切，且點(diǎn)為切點(diǎn)時，，兩點(diǎn)間的距離最小，設(shè)切點(diǎn)，，所以，，，，點(diǎn)，直線的方程為，兩點(diǎn)間距離的最小值為平行線和間的距離，兩點(diǎn)間距離的最小值為.故選：.【變式6-1】在平面直角坐標(biāo)系中，P是曲線上的一個動點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的距離的最小值是_____.【答案】【解析】設(shè)直線與相切，則切線的斜率為且，令，則，即切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，將，代入，可得，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以點(diǎn)P到直線的距離的最小值即為到直線的距離，即，故答案為:【變式6-2】已知為直線上的一個動點(diǎn)，為曲線上的一個動點(diǎn)，則線段長度的最小值為______.【答案】【解析】直線可化為：.對于曲線.當(dāng)時，代入不成立，所以.所以可化為，導(dǎo)數(shù)為所以線段的最小值即為與平行的直線與相切時，兩平行線間的距離.設(shè)切點(diǎn).由題意可得：，即，解得：或.