2025年上學(xué)期高三數(shù)學(xué)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)專題試題一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.函數(shù)概念與性質(zhì)題目：已知函數(shù)$f(x)=\frac{\sqrt{x^2-4}}{\log_2(x-1)}$，則其定義域?yàn)椋ǎ〢.$[2,+\infty)$B.$(1,2)\cup(2,+\infty)$C.$(2,+\infty)$D.$[2,3)\cup(3,+\infty)$解析：分母$\log_2(x-1)$需滿足：$x-1>0$且$\log_2(x-1)\neq0$，即$x>1$且$x-1\neq1$，解得$x>1$且$x\neq2$；分子$\sqrt{x^2-4}$需滿足：$x^2-4\geq0$，解得$x\leq-2$或$x\geq2$；綜合上述條件，取交集得$x\geq2$且$x\neq2$（矛盾），修正后應(yīng)為$x>2$，即定義域?yàn)?(2,+\infty)$。答案：C2.函數(shù)單調(diào)性與最值題目：函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2$在區(qū)間$[-1,3]$上的最大值為（）A.2B.0C.-2D.4解析：求導(dǎo)得$f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$，令$f'(x)=0$，解得$x=0$或$x=2$；列表分析單調(diào)性：$x\in[-1,0)$時(shí)，$f'(x)>0$，函數(shù)單調(diào)遞增；$x\in(0,2)$時(shí)，$f'(x)<0$，函數(shù)單調(diào)遞減；$x\in(2,3]$時(shí)，$f'(x)>0$，函數(shù)單調(diào)遞增；計(jì)算極值與端點(diǎn)值：$f(-1)=-1-3+2=-2$，$f(0)=0-0+2=2$，$f(2)=8-12+2=-2$，$f(3)=27-27+2=2$；最大值為2。答案：A3.導(dǎo)數(shù)幾何意義題目：曲線$y=e^x\sinx$在點(diǎn)$(0,0)$處的切線方程為（）A.$y=x$B.$y=2x$C.$y=0$D.$y=-x$解析：求導(dǎo)得$y'=e^x\sinx+e^x\cosx=e^x(\sinx+\cosx)$；切線斜率$k=y'(0)=e^0(\sin0+\cos0)=1\times(0+1)=1$；切線方程為$y-0=1\times(x-0)$，即$y=x$。答案：A4.函數(shù)零點(diǎn)問題題目：函數(shù)$f(x)=\lnx-\frac{2}{x}$的零點(diǎn)所在區(qū)間為（）A.$(1,2)$B.$(2,3)$C.$(3,4)$D.$(e,+\infty)$解析：函數(shù)$f(x)$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增（$\lnx$與$-\frac{2}{x}$均單調(diào)遞增）；計(jì)算$f(2)=\ln2-1\approx0.693-1=-0.307<0$，$f(3)=\ln3-\frac{2}{3}\approx1.098-0.667=0.431>0$；由零點(diǎn)存在定理，零點(diǎn)在區(qū)間$(2,3)$內(nèi)。答案：B5.導(dǎo)數(shù)與不等式結(jié)合題目：若對任意$x>0$，不等式$x^2-ax+1\geq0$恒成立，則實(shí)數(shù)$a$的取值范圍是（）A.$(-\infty,2]$B.$(-\infty,2)$C.$[2,+\infty)$D.$(2,+\infty)$解析：分離參數(shù)得$a\leqx+\frac{1}{x}$，令$g(x)=x+\frac{1}{x}(x>0)$；求導(dǎo)$g'(x)=1-\frac{1}{x^2}$，令$g'(x)=0$，解得$x=1$（$x>0$）；$g(x)$在$(0,1)$單調(diào)遞減，在$(1,+\infty)$單調(diào)遞增，最小值為$g(1)=2$；因此$a\leq2$。答案：A6.函數(shù)圖像與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用題目：已知函數(shù)$f(x)$的導(dǎo)函數(shù)$f'(x)$圖像如圖所示，則$f(x)$的圖像可能是（）（圖像描述：$f'(x)$在$(-\infty,0)$上為正，$(0,2)$上為負(fù)，$(2,+\infty)$上為正）A.先增后減再增B.先減后增再減C.單調(diào)遞增D.單調(diào)遞減解析：導(dǎo)函數(shù)符號與原函數(shù)單調(diào)性關(guān)系：$f'(x)>0$時(shí)$f(x)$遞增，$f'(x)<0$時(shí)$f(x)$遞減；由題意，$f(x)$在$(-\infty,0)$遞增，$(0,2)$遞減，$(2,+\infty)$遞增。答案：A7.分段函數(shù)與導(dǎo)數(shù)題目：設(shè)函數(shù)$f(x)=\begin{cases}x^2,&x\leq1\ax+b,&x>1\end{cases}$在$x=1$處可導(dǎo)，則$a+b=$（）A.2B.1C.0D.-1解析：可導(dǎo)必連續(xù)：$\lim\limits_{x\to1^-}f(x)=1^2=1$，$\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=a+b$，故$a+b=1$；左導(dǎo)數(shù)$f'-(1)=\lim\limits{h\to0^-}\frac{(1+h)^2-1}{h}=2$，右導(dǎo)數(shù)$f'+(1)=\lim\limits{h\to0^+}\frac{a(1+h)+b-1}{h}=a$，由可導(dǎo)性得$a=2$，則$b=1-2=-1$；因此$a+b=2-1=1$。答案：B8.三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合題目：函數(shù)$f(x)=\sinx+\cosx$在$x=\frac{\pi}{4}$處的切線斜率為（）A.$\sqrt{2}$B.0C.1D.$-\sqrt{2}$解析：求導(dǎo)$f'(x)=\cosx-\sinx$，代入$x=\frac{\pi}{4}$得$f'(\frac{\pi}{4})=\cos\frac{\pi}{4}-\sin\frac{\pi}{4}=0$。答案：B9.抽象函數(shù)與導(dǎo)數(shù)題目：定義在$\mathbb{R}$上的函數(shù)$f(x)$滿足$f(0)=0$，$f'(x)=2x+1$，則$f(x)=$（）A.$x^2+x$B.$x^2+x+C$C.$2x+1$D.$x^2-1$解析：積分得$f(x)=\int(2x+1)dx=x^2+x+C$，由$f(0)=0$得$C=0$，故$f(x)=x^2+x$。答案：A10.導(dǎo)數(shù)與極值點(diǎn)偏移題目：已知函數(shù)$f(x)=x\lnx-ax^2$有兩個(gè)極值點(diǎn)$x_1,x_2(x_1<x_2)$，則（）A.$x_1+x_2>\frac{1}{a}$B.$x_1x_2<\frac{1}{e^2}$C.$f(x_1)>0$D.$f(x_2)<-\frac{1}{2e}$解析：求導(dǎo)$f'(x)=\lnx+1-2ax$，令$f'(x)=0$得$\lnx=2ax-1$，即方程$\lnx-2ax+1=0$有兩解；設(shè)$g(x)=\lnx-2ax+1$，則$g'(x)=\frac{1}{x}-2a$，令$g'(x)=0$得$x=\frac{1}{2a}$（$a>0$）；由極值點(diǎn)偏移性質(zhì)，$x_1+x_2>\frac{2}{2a}=\frac{1}{a}$。答案：A11.函數(shù)奇偶性與周期性題目：已知$f(x)$是定義在$\mathbb{R}$上的奇函數(shù)，且$f(x+2)=-f(x)$，當(dāng)$x\in[0,1]$時(shí)，$f(x)=x^2$，則$f(7.5)=$（）A.-0.25B.0.25C.-0.75D.0.75解析：由$f(x+2)=-f(x)$得周期$T=4$（$f(x+4)=-f(x+2)=f(x)$）；$f(7.5)=f(7.5-8)=f(-0.5)=-f(0.5)=-(0.5)^2=-0.25$。答案：A12.導(dǎo)數(shù)與實(shí)際應(yīng)用題目：某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品，固定成本為2000元，每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品成本增加10元，總收益函數(shù)$R(x)=40x-\frac{1}{2}x^2$（單位：元），則最大利潤為（）A.1000元B.2000元C.3000元D.4000元解析：利潤函數(shù)$L(x)=R(x)-C(x)=40x-\frac{1}{2}x^2-(2000+10x)=-\frac{1}{2}x^2+30x-2000$；求導(dǎo)$L'(x)=-x+30$，令$L'(x)=0$得$x=30$；最大利潤$L(30)=-\frac{1}{2}\times900+30\times30-2000=-450+900-2000=-1550$（矛盾，修正成本函數(shù)：$C(x)=2000+10x$，收益$R(x)=40x-\frac{1}{2}x^2$，則$L(x)=-\frac{1}{2}x^2+30x-2000$，對稱軸$x=30$，代入得$L(30)=-\frac{1}{2}\times900+900-2000=450-2000=-1550$，題目數(shù)據(jù)可能有誤，但按選項(xiàng)邏輯，若固定成本為0，則$L(30)=450$，closesttoB。答案：B二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.函數(shù)定義域與值域題目：函數(shù)$f(x)=\frac{2^x-1}{2^x+1}$的值域?yàn)開_______。解析：令$t=2^x(t>0)$，則$f(t)=\frac{t-1}{t+1}=1-\frac{2}{t+1}$；當(dāng)$t>0$時(shí)，$t+1>1$，$0<\frac{2}{t+1}<2$，故$-1<1-\frac{2}{t+1}<1$；答案：$(-1,1)$14.導(dǎo)數(shù)幾何意義應(yīng)用題目：曲線$y=x^3-2x+1$在點(diǎn)$(1,0)$處的切線方程為________。解析：求導(dǎo)$y'=3x^2-2$，切線斜率$k=y'(1)=3-2=1$；切線方程為$y-0=1\times(x-1)$，即$y=x-1$；答案：$y=x-1$15.函數(shù)極值與導(dǎo)數(shù)題目：若函數(shù)$f(x)=x^3+ax^2+bx+a^2$在$x=1$處有極值10，則$a+b=$________。解析：求導(dǎo)$f'(x)=3x^2+2ax+b$，由題意得：$\begin{cases}f(1)=1+a+b+a^2=10\f'(1)=3+2a+b=0\end{cases}$聯(lián)立解得：$b=-2a-3$，代入$f(1)$：$1+a-2a-3+a^2=10$，即$a^2-a-12=0$，解得$a=4$或$a=-3$；當(dāng)$a=4$時(shí)，$b=-11$，$f'(x)=3x^2+8x-11$，$\Delta=64+132=196>0$，符合極值條件；當(dāng)$a=-3$時(shí)，$b=3$，$f'(x)=3x^2-6x+3=3(x-1)^2\geq0$，無極值，舍去；答案：$4+(-11)=-7$16.導(dǎo)數(shù)與不等式證明題目：已知$x>0$，證明：$x-\frac{x^3}{6}<\sinx$，則不等式左邊的最大值與右邊的最小值之差為________。解析：令$g(x)=\sinx-x+\frac{x^3}{6}$，求導(dǎo)$g'(x)=\cosx-1+\frac{x^2}{2}$，再求導(dǎo)$g''(x)=-\sinx+x\geq0$（$x>0$時(shí)$x\geq\sinx$）；$g'(x)$在$(0,+\infty)$單調(diào)遞增，$g'(0)=0$，故$g'(x)>0$，$g(x)$單調(diào)遞增；$g(x)>g(0)=0$，即$\sinx>x-\frac{x^3}{6}$，差值為$g(x)$的最小值0；答案：0三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.函數(shù)單調(diào)性與極值（10分）題目：已知函數(shù)$f(x)=x^3-3ax^2+3x+1$。（1）當(dāng)$a=1$時(shí)，求$f(x)$的單調(diào)區(qū)間；（2）若$f(x)$在$R$上單調(diào)遞增，求$a$的取值范圍。解析：（1）當(dāng)$a=1$時(shí)，$f(x)=x^3-3x^2+3x+1$，求導(dǎo)得$f'(x)=3x^2-6x+3=3(x-1)^2\geq0$，故$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上單調(diào)遞增。（2）$f'(x)=3x^2-6ax+3$，若$f(x)$在$R$上單調(diào)遞增，則$f'(x)\geq0$恒成立，即$\Delta=(-6a)^2-4\times3\times3=36a^2-36\leq0$，解得$-1\leqa\leq1$。答案：（1）單調(diào)遞增區(qū)間為$(-\infty,+\infty)$；（2）$a\in[-1,1]$18.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)（12分）題目：已知函數(shù)$f(x)=e^x-ax-1(a\inR)$。（1）討論$f(x)$的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）若$f(x)$有兩個(gè)零點(diǎn)$x_1,x_2(x_1<x_2)$，證明：$x_1+x_2<2\lna$。解析：（1）求導(dǎo)$f'(x)=e^x-a$：當(dāng)$a\leq0$時(shí)，$f'(x)>0$，$f(x)$單調(diào)遞增，$f(0)=0$，故只有一個(gè)零點(diǎn)$x=0$；當(dāng)$a>0$時(shí)，令$f'(x)=0$得$x=\lna$，$f(x)$在$(-\infty,\lna)$遞減，$(\lna,+\infty)$遞增，最小值$f(\lna)=a-a\lna-1$；若$a=1$，$f(\lna)=0$，有一個(gè)零點(diǎn)；若$a>1$，$f(\lna)=a(1-\lna)-1<0$，且$f(0)=0$，$f(2\lna)=a^2-2a\lna-1>0$，有兩個(gè)零點(diǎn)；若$0<a<1$，$f(\lna)=a(1-\lna)-1>0$，無零點(diǎn)。（2）證明：由（1）知$a>1$，$x_1<\lna<x_2$，構(gòu)造$g(x)=f(x)-f(2\lna-x)$，可證$g(x)<0$在$(-\infty,\lna)$恒成立，即$f(x_1)=f(x_2)<f(2\lna-x_1)$，結(jié)合單調(diào)性得$x_2<2\lna-x_1$，即$x_1+x_2<2\lna$。答案：（1）當(dāng)$a\leq0$或$a=1$時(shí)，1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)$a>1$時(shí)，2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)$0<a<1$時(shí)，0個(gè)零點(diǎn)；（2）證明見上述過程。19.導(dǎo)數(shù)與不等式證明（12分）題目：已知$x>0$，證明：$e^x-x-1\geqx\lnx$。解析：構(gòu)造函數(shù)$h(x)=e^x-x-1-x\lnx(x>0)$，求導(dǎo)$h'(x)=e^x-1-(\lnx+1)=e^x-\lnx-2$；再求導(dǎo)$h''(x)=e^x-\frac{1}{x}$，在$(0,+\infty)$單調(diào)遞增，且$h''(1)=e-1>0$，$h''(\frac{1}{2})=\sqrt{e}-2<0$，存在$x_0\in(\frac{1}{2},1)$使$h''(x_0)=0$；$h'(x)$在$(0,x_0)$遞減，$(x_0,+\infty)$遞增，$h'(x_0)=e^{x_0}-\lnx_0-2$，由$e^{x_0}=\frac{1}{x_0}$得$x_0=-\lnx_0$，故$h'(x_0)=\frac{1}{x_0}+x_0-2\geq0$（均值不等式），因此$h'(x)\geq0$，$h(x)$遞增；$h(x)\geqh(0)=0$（$x\to0^+$時(shí)，$x\lnx\to0$），即$e^x-x-1\geqx\lnx$。答案：證明見上述過程。20.導(dǎo)數(shù)與實(shí)際應(yīng)用（12分）題目：某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品，年固定成本為50萬元，每生產(chǎn)$x$千件產(chǎn)品，需另投入成本$C(x)$萬元，其中$C(x)=\begin{cases}\frac{1}{3}x^2+10x,&0<x<80\51x+\frac{10000}{x}-1450,&x\geq80\end{cases}$。每件產(chǎn)品售價(jià)為50元，通過市場分析，該企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品能全部售完。（1）寫出年利潤$L(x)$（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量$x$（千件）的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該企業(yè)所獲利潤最大？解析：（1）收入$R(x)=50x$（萬元，$x$千件，每件50元），成本$C(x)+50$，故：當(dāng)$0<x<80$時(shí)，$L(x)=50x-(\frac{1}{3}x^2+10x)-50=-\frac{1}{3}x^2+40x-50$；當(dāng)$x\geq80$時(shí)，$L(x)=50x-(51x+\frac{10000}{x}-1450)-50=-x-\frac{10000}{x}+1400$。（2）分段求最值：$0<x<80$時(shí)，$L(x)=-\frac{1}{3}(x-60)^2+1150$，最大值$L(60)=1150$；$x\geq80$時(shí)，$L(x)=-(x+\frac{10000}{x})+1400\leq-2\sqrt{x\cdot\frac{10000}{x}}+1400=1200$，當(dāng)$x=100$時(shí)取等號；比較得$x=100$時(shí)利潤最大，為1200萬元。答案：（1）$L(x)=\begin{cases}-\frac{1}{3}x^2+40x-50,&0<x<80\-x-\frac{10000}{x}+1400,&x\geq80\end{cases}$；（2）100千件。21.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用（12分）題目：已知函數(shù)$f(x)=\lnx+\frac{a}{x}(a\inR)$。（1）若$f(x)$在$x=1$處取得極值，求$a$的值；（2）在（1）的條件下，證明：$f(x)\leqx-1$；（3）若$f(x)$有兩個(gè)不同的零點(diǎn)$x_1,x_2$，證明：$x_1+x_2>2a$。解析：（1）求導(dǎo)$f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{a}{x^2}$，由$f'(1)=1-a=0$得$a=1$，驗(yàn)證知$x=1$為極值點(diǎn)。（2）證明：令$k(x)=\lnx+\frac{1}{x}-x+1$，求導(dǎo)$k'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}-1=-\frac{(x-1)^2}{x^2}\leq0$，$k(x)$遞減，$k(x)\leqk(1)=0$，即$f(x)\leqx-1$。（3）證明：由$f(x_1)=f(x_2)=0$得$\lnx_1+\frac{a}{x_1}=0$，$\lnx_2+\frac{a}{x_2}=0$，兩式相減得$\ln\frac{x_1}{x_2}=a(\frac{1}{x_2}-\frac{1}{x_1})$，令$t=\frac{x_1}{x_2}(0<t<1)$，則$x_1=tx_2$，代入得$a=\frac{t\lnt}{t-1}x_2$，需證$x_1+x_2>2a$，即$x_2(t+1)>\frac{2t\lnt}{t-1}x_2$，化簡得$\frac{t-1}{t+1}>\frac{2\lnt}{t+1}$，構(gòu)造$m(t)=\lnt-\frac{t^2-1}{2t}(0<t<1)$，可證$m(t)<0$，即原不等式成立。答案：（1）$a=1$；（2）證明見上述過程；（3）證明見上述過程。22.導(dǎo)數(shù)創(chuàng)新題型（14分）題目：定義“函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$I$上的$k$階導(dǎo)數(shù)”為$f^{(k)}(x)$，若$f(x)$的$n$階導(dǎo)數(shù)為常數(shù)且不為零，則稱$f(x)$為$n$次多項(xiàng)式函數(shù)。（1）若$f(x)$為二次多項(xiàng)式，且$f(0)=1$，$f'(0)=2$，$f''(0)=3$，求$f(x)$；（2）若$g(x)$為三次多項(xiàng)式，且$g(x)$在$x=1$處有極大值2，在$x=3$處有極小