1.棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積課程：高中數(shù)學(xué)教材：高中數(shù)學(xué)人教A版必修第二冊(cè)章節(jié)：1.棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積教材分析本節(jié)課介紹了棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積概念，指出多面體的表面積是其各個(gè)面面積之和，進(jìn)而將幾何體的表面積計(jì)算轉(zhuǎn)化為平面圖形面積的求和問(wèn)題。教學(xué)中可通過(guò)實(shí)物模型觀察、展開(kāi)圖繪制等方式引導(dǎo)學(xué)生自主探究表面積的計(jì)算方法。本節(jié)內(nèi)容承接了初中對(duì)平面圖形面積的學(xué)習(xí)，也為后續(xù)學(xué)習(xí)空間幾何體的體積及旋轉(zhuǎn)體的表面積打下基礎(chǔ)。通過(guò)分析不同幾何體的結(jié)構(gòu)特征，學(xué)生能夠提升空間想象能力和分解復(fù)雜問(wèn)題的能力，進(jìn)一步發(fā)展幾何直觀與運(yùn)算求解能力，在解決實(shí)際問(wèn)題中體會(huì)化歸思想的應(yīng)用，為后續(xù)學(xué)習(xí)V=學(xué)情分析針對(duì)本節(jié)知識(shí)內(nèi)容和學(xué)生認(rèn)知水平而言，學(xué)生在初中已學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方體、正方體等簡(jiǎn)單幾何體的表面積計(jì)算，掌握了平面圖形如三角形、矩形、梯形的面積公式，如S=ab、S=1教學(xué)目標(biāo)理解棱柱、棱錐、棱臺(tái)表面積的概念，能夠解釋表面積是圍成多面體各個(gè)面的面積之和，達(dá)到數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)水平一的要求。掌握計(jì)算棱柱、棱錐、棱臺(tái)表面積的方法，能夠運(yùn)用公式S=能夠?qū)⒗庵?、棱錐、棱臺(tái)的表面積計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形的面積求和問(wèn)題，達(dá)到直觀想象核心素養(yǎng)水平二的要求。能夠分析實(shí)際問(wèn)題中的多面體表面積計(jì)算需求，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型并求解，達(dá)到數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)水平一的要求。重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：多面體表面積的定義，棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積計(jì)算方法。

教學(xué)難點(diǎn)：棱臺(tái)側(cè)面積的計(jì)算，空間圖形展開(kāi)為平面圖形的面積轉(zhuǎn)化與計(jì)算。課堂導(dǎo)入同學(xué)們，在生活中我們常能看到一些形狀各異的物體，像三棱鏡、金字塔模型等，它們的形狀分別類似于棱柱和棱錐。想象一下，如果要給這些物體的表面貼上彩紙，該準(zhǔn)備多少彩紙合適呢？這其實(shí)就涉及到求它們的表面積。而之前我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一些簡(jiǎn)單平面圖形如三角形、矩形的面積計(jì)算。現(xiàn)在，像棱柱、棱錐這樣的多面體，其表面積該如何求解呢？這就是我們今天要探討的“棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積”，通過(guò)今天的學(xué)習(xí)，我們就能知道怎樣準(zhǔn)確算出給這些物體表面貼紙所需彩紙的面積了。棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積探究新知（一）知識(shí)精講

多面體的表面積是指圍成該多面體的所有面的面積之和。對(duì)于棱柱、棱錐和棱臺(tái)這類常見(jiàn)的多面體，其表面積的計(jì)算方法就是將各個(gè)面的面積分別求出后相加。以棱柱為例，它由兩個(gè)全等的底面和若干個(gè)側(cè)面組成，側(cè)面通常是矩形或平行四邊形。因此，棱柱的表面積等于兩個(gè)底面積與側(cè)面積之和。即：

S對(duì)于棱錐，它只有一個(gè)底面，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形側(cè)面。因此，棱錐的表面積等于底面積與所有側(cè)面面積之和。即：

S棱臺(tái)是由棱錐被平行于底面的平面截去頂部后形成的幾何體，它有兩個(gè)相似但大小不同的底面（上底和下底），以及若干個(gè)梯形側(cè)面。因此，棱臺(tái)的表面積等于上底面積、下底面積與側(cè)面積之和。即：

S如圖所示，從左到右分別為棱柱、棱錐、棱臺(tái)的直觀圖，可以清晰地觀察到它們各自面的構(gòu)成情況。通過(guò)分解這些幾何體的各個(gè)面，并利用已掌握的平面圖形面積公式（如三角形、矩形、梯形等），即可逐個(gè)計(jì)算每個(gè)面的面積并求和，從而得到整個(gè)多面體的表面積。（二）師生互動(dòng)

教師提問(wèn)：如果一個(gè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為4cm，斜高為5cm，你能說(shuō)出如何計(jì)算它的表面積嗎？

學(xué)生回答：先算底面積，是邊長(zhǎng)為4的正方形，面積是4×4=16cm2；四個(gè)側(cè)面都是全等的等腰三角形，每個(gè)三角形的底是4cm，高是5cm，所以一個(gè)側(cè)面面積是12×4×5=10cm2，四個(gè)就是4×10=40cm2；總表面積就是16+40=56cm2。

教師追問(wèn)：那如果是正四棱臺(tái)呢？已知上底邊長(zhǎng)為2cm，下底邊長(zhǎng)為4cm，側(cè)面梯形的高為3cm，該怎么算？（三）設(shè)計(jì)意圖

通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生理解多面體表面積的本質(zhì)是各個(gè)面面積的總和，幫助學(xué)生建立空間幾何體與平面圖形之間的聯(lián)系，達(dá)成對(duì)棱柱、棱錐、棱臺(tái)表面積概念的準(zhǔn)確理解。在講解過(guò)程中強(qiáng)調(diào)結(jié)構(gòu)特征與面的組成關(guān)系，有助于發(fā)展學(xué)生的空間想象能力和邏輯分析能力。借助具體實(shí)例進(jìn)行師生對(duì)話，促使學(xué)生主動(dòng)參與運(yùn)算過(guò)程，提升其運(yùn)用已有知識(shí)解決新問(wèn)題的能力。采用從一般定義出發(fā)再到具體模型分析的學(xué)習(xí)路徑，體現(xiàn)由抽象到具體的認(rèn)知規(guī)律，鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)觀察、分解、歸納的方式開(kāi)展自主探究。同時(shí)，在問(wèn)題設(shè)置中注重前后知識(shí)的銜接，強(qiáng)化“化整為零、積零為整”的數(shù)學(xué)思想，滲透將復(fù)雜幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為基本平面圖形處理的價(jià)值導(dǎo)向。新知應(yīng)用例1題目：

如圖8.3-1，四面體P-ABC的各棱長(zhǎng)均為a，求它的表面積。解答：我們要求的是四面體P-ABC的表面積。觀察圖形可知，四面體P-A△△△△題目中說(shuō)明“各棱長(zhǎng)均為a”，即每條邊的長(zhǎng)度都是a，因此這四個(gè)三角形都是邊長(zhǎng)為a的等邊三角形（正三角形）。由于四個(gè)面全等（三邊相等，故全等），所以它們的面積也相等。我們先計(jì)算一個(gè)面的面積，比如△P等邊三角形面積公式為：

S=34a四面體共有4個(gè)這樣的面，因此總表面積為：

S答：該四面體的表面積為3a總結(jié)1.題目考查內(nèi)容①多面體表面積的概念：所有面的面積之和。

②正四面體的結(jié)構(gòu)特征：四個(gè)面均為全等的等邊三角形。

③等邊三角形面積公式的應(yīng)用。2.題目求解要點(diǎn)①明確幾何體的結(jié)構(gòu)——本題是正四面體，四個(gè)面全等。

②利用已知邊長(zhǎng)求出一個(gè)面的面積，使用公式S=34a2。

③將單個(gè)面的面積乘以面數(shù)（4新知鞏固題目：如圖，在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1CA．此長(zhǎng)方體的表面積為112

B．A1M與B1H是相交直線

C．A1N與B1G是異面直線【答案】C解答：我們逐項(xiàng)分析四個(gè)選項(xiàng)。A選項(xiàng)：此長(zhǎng)方體的表面積為112已知：AB=AD=AA1=長(zhǎng)方體有6個(gè)面：上下兩個(gè)底面：每個(gè)面積為4×4=四個(gè)側(cè)面：每個(gè)為矩形，尺寸為4×7=28注意：四個(gè)側(cè)面中，兩對(duì)相等：兩個(gè)面為AB×A另外兩個(gè)面為AD×AA1=4×7=28所以總表面積為：

2因此A錯(cuò)誤。B選項(xiàng)：A1M與B先確定各點(diǎn)位置：設(shè)坐標(biāo)系輔助判斷（空間想象困難時(shí)用坐標(biāo)法）：令A(yù)(0B(4,0A1(0,0,中點(diǎn)坐標(biāo)：M是DD1中點(diǎn)：D(0H是DC中點(diǎn)：D(0,N是C1D1中點(diǎn)：C1G是CC1中點(diǎn)：C(4現(xiàn)在看A1M和A1(0,0,B1(4,0,判斷是否相交：先看是否共面、是否平行、是否異面。若兩直線相交，則它們共面且有公共點(diǎn)。但觀察起點(diǎn)都在上底附近，終點(diǎn)分別在側(cè)棱和底邊?？紤]是否存在交點(diǎn)：設(shè)參數(shù)方程。設(shè)：A1MB1H令相等：

{從第一式得s=2，第二式t=s=2，第三式無(wú)解→不相交再判斷是否平行？方向向量(0,4,?3.5)與(?是否異面？由于不平行也不相交，可能是異面或共面但不相交。但從坐標(biāo)看，A1M在左后側(cè)棱面（x=0平面），而但題目問(wèn)“是否相交”，我們已證明無(wú)交點(diǎn)，且不平行→若共面則應(yīng)相交或平行，現(xiàn)都不滿足→必為異面。但選項(xiàng)說(shuō)“是相交直線”→錯(cuò)誤。所以B錯(cuò)誤。C選項(xiàng)：A1N與B點(diǎn)坐標(biāo)：A1(0,B1(4,參數(shù)方程：A1NB1G令相等：

{矛盾（s=2與s=方向向量(2,4,0)與判斷是否共面：可用向量混合積法。取向量：AAB考慮從A1到B更準(zhǔn)確：判斷兩直線是否共面，可計(jì)算連接兩點(diǎn)的向量與兩方向向量的混合積。取點(diǎn)A1(0,0兩方向向量：d1=混合積：A先算叉積：

d1×點(diǎn)積：(混合積≠0→三向量不共面→兩直線為異面直線故C正確。D選項(xiàng)：直線A1N與平面B先確定平面B1GBGH直線A1N：從A1(0,0,7)到N(2觀察平面B1B1(4,這三個(gè)點(diǎn)的z坐標(biāo)分別為7,3.5,0→平面傾斜，不平行于任何坐標(biāo)面但關(guān)鍵：直線A1N全部位于z我們看平面B1GH是否與特別地，點(diǎn)B1在z=7，點(diǎn)G在z=3.5，點(diǎn)H在所以平面與z=7進(jìn)一步，平面B1GH在z=再看能否找到另一點(diǎn)在z=7設(shè)平面方程：設(shè)一般式a代入三點(diǎn)：B1(G(4H(2三式聯(lián)立：(1)4a+7c=d(2)-(1):((3):2將(1)和(3)聯(lián)立：由(1):d=4a+代入b=78令c=cbad所以平面方程為：?14x+7現(xiàn)在看直線A1N:參數(shù)式(代入平面方程：

14對(duì)所有t恒為?56≠但是否相交？即是否有交點(diǎn)？上面計(jì)算表明：代入后恒不為零→直線與平面無(wú)交點(diǎn)→不相交但注意：“相交”在立體幾何中通常指有唯一公共點(diǎn)這里直線不在平面內(nèi)，也不與平面相交→是平行或異面？檢查方向向量與法向量關(guān)系：平面法向量n直線方向d點(diǎn)積：14→方向向量與法向量垂直→直線與平面平行！又因直線上一點(diǎn)（如A1(0,所以直線與平面平行且不重合→不相交故D錯(cuò)誤。綜上，只有C正確。總結(jié)：1.題目考查內(nèi)容本題綜合考查長(zhǎng)方體的表面積計(jì)算、空間直線的位置關(guān)系（相交、平行、異面）、直線與平面的位置關(guān)系，以及利用坐標(biāo)法解決立體幾何問(wèn)題的能力。2.題目求解要點(diǎn)表面積計(jì)算需全面考慮六個(gè)面，不能遺漏；判斷兩直線是否異面，可通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，使用參數(shù)方程求解交點(diǎn)，并結(jié)合向量混合積判斷是否共面；直線與平面關(guān)系可通過(guò)代入法或方向向量與法向量點(diǎn)積判斷平行性；坐標(biāo)法是處理復(fù)雜空間位置關(guān)系的有效工具。3.同類型題目解題步驟明確幾何體結(jié)構(gòu)，必要時(shí)建立空間直角坐標(biāo)系；計(jì)算相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，表示出直線的方向向量和平面的法向量；對(duì)于表面積：分別計(jì)算各個(gè)面的面積并求和；對(duì)于直線關(guān)系：先判斷是否平行（方向向量成比例）；再設(shè)參數(shù)方程判斷是否有交點(diǎn)；若無(wú)交點(diǎn)且不平行，則計(jì)算混合積判斷是否共面，混合積非零則為異面；對(duì)于線面關(guān)系：將直線代入平面方程，若有解則相交；若方向向量與法向量垂直且點(diǎn)不在平面內(nèi)，則平行；若方向向量與法向量不垂直，則必相交。題目：在空間直角坐標(biāo)系O?xyz中，點(diǎn)M(?1,1,2A．4

B．4+2

C．6

D【答案】A解答：首先明確投影定義：點(diǎn)在坐標(biāo)平面上的投影：去掉對(duì)應(yīng)坐標(biāo)為0的軸分量，其余不變。具體：在xOy平面（z=0）上的投影：保持x,在xOz平面（y=0）上的投影：保持x,在yOz平面（x=0）上的投影：保持y,頂點(diǎn)M三棱錐M?AB其表面積=四個(gè)三角形面的面積之和：△△△△但我們發(fā)現(xiàn)：A,B,C是事實(shí)上，可以構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)方體模型：考慮以O(shè)為原點(diǎn)，M(?A(?1,1,0)B(?1,0C(0,1,這四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的三棱錐，其三條棱MA,更關(guān)鍵：向量MA,計(jì)算：MMM所以：MMM顯然兩兩垂直（點(diǎn)積為0）→三棱錐M?ABC是以這類三棱錐的四個(gè)面都是直角三角形。我們逐個(gè)計(jì)算四個(gè)面的面積。1.△點(diǎn)：M向量：MM夾角在M處，且MA?MB所以面積：

S2.△點(diǎn)：MMM點(diǎn)積為0→直角在M面積：

S錯(cuò)！∣MB∣=1，但等等，單位一致嗎？是。3.△MC=MA=點(diǎn)積為0→直角在M面積：

14.△這是底面，不在M，需單獨(dú)計(jì)算。點(diǎn)：ABC向量：AA計(jì)算面積：用向量叉積模的一半AB×模長(zhǎng)：

∣面積：

S現(xiàn)在求和：△M△M△M△A總面積：1所以表面積為4。答案選A?？偨Y(jié)：1.題目考查內(nèi)容本題考查空間點(diǎn)在坐標(biāo)平面上的投影概念、向量運(yùn)算（特別是叉積求三角形面積）、以及三棱錐表面積的計(jì)算，重點(diǎn)在于識(shí)別三條棱互相垂直的特殊結(jié)構(gòu)。2.題目求解要點(diǎn)投影點(diǎn)坐標(biāo)要準(zhǔn)確寫出；發(fā)現(xiàn)MA,三個(gè)側(cè)面均為直角三角形，可用12a底面△ABC使用向量叉積公式：面積所有面面積求和即得表面積。3.同類型題目解題步驟根據(jù)投影定義寫出各投影點(diǎn)坐標(biāo)；計(jì)算從頂點(diǎn)出發(fā)的三個(gè)向量，判斷是否兩兩垂直；若垂直，則三個(gè)側(cè)面為直角三角形，面積分別為12對(duì)底面三角形，使用向量叉積法求面積；四個(gè)面面積相加即得總表面積。題目：若正四棱臺(tái)上、下底面的面積分別為1，16，高為2，則此四棱臺(tái)的體積與表面積的數(shù)值之比為（）A．1445

B．13

C．715

【答案】B解答：已知：正四棱臺(tái)（即底面為正方形，側(cè)面為全等等腰梯形的棱臺(tái)）上底面積S1=1→下底面積S2=16→高h(yuǎn)=第一步：求體積棱臺(tái)體積公式：

V代入：

V第二步：求表面積表面積=上底面積+下底面積+側(cè)面積上底：1下底：16側(cè)面積：4個(gè)全等的等腰梯形每個(gè)梯形：上底=1下底=4高=斜高（注意：不是棱臺(tái)的高，而是側(cè)面梯形的高）設(shè)斜高為l，需通過(guò)勾股定理求出?？紤]側(cè)面展開(kāi)：上下底邊長(zhǎng)差為4?1=棱臺(tái)的高為2，垂直方向。所以斜高l是直角三角形的斜邊：一條直角邊：棱臺(tái)高h(yuǎn)另一條直角邊：底面邊長(zhǎng)差的一半=4所以：

l每個(gè)側(cè)面梯形面積：

S四個(gè)側(cè)面：

4總表面積：

S第三步：求體積與表面積的數(shù)值之比體積V=14，表面積比值：

V故選B。總結(jié)：1.題目考查內(nèi)容本題考查正四棱臺(tái)的體積和表面積計(jì)算，涉及棱臺(tái)體積公式、斜高的求法（通過(guò)勾股定理）、以及梯形面積計(jì)算。2.題目求解要點(diǎn)體積使用標(biāo)準(zhǔn)公式：V=表面積包括上下底和側(cè)面積；側(cè)面積由4個(gè)等腰梯形組成，需先求斜高；斜高通過(guò)“底面邊長(zhǎng)差的一半”和“棱臺(tái)高”構(gòu)成直角三角形求得；最后求比值時(shí)注意是“體積與表面積的數(shù)值之比”。3.同類型題目解題步驟根據(jù)底面面積求邊長(zhǎng)；代入棱臺(tái)體積公式求體積；計(jì)算側(cè)面積：求上下底邊長(zhǎng)差的一半：b與棱臺(tái)高h(yuǎn)構(gòu)成直角三角形，求斜高l單個(gè)梯形面積：1乘以側(cè)面?zhèn)€數(shù)（正四棱臺(tái)為4）加上下底面積得總表面積；計(jì)算體積與表面積的比值。板書設(shè)計(jì)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積

├─多面體表面積定義

│└─所有面面積之和

├─棱柱表面積

│├─側(cè)面積：各側(cè)面面積和

│└─總表面積：S表=S側(cè)+2S底

├─棱錐表面積

│├─側(cè)面積：各三角形面面積和

│└─總表面積：S表=教學(xué)反思本教學(xué)設(shè)計(jì)圍繞棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積展開(kāi)，先點(diǎn)明多面體表面積概念，進(jìn)而闡述這三種幾何體表面積為各面面積之和。通過(guò)本堂課教學(xué)，基本完成教學(xué)任務(wù)，多數(shù)學(xué)生理解了表面積的求解思路。成功之處在于，以多面體表面積概念為基礎(chǔ)自然引入，邏輯清晰；借助直觀圖形輔助理解，學(xué)生能較好感知。不足之處在于，對(duì)各面面積計(jì)算的復(fù)雜情況講解稍顯倉(cāng)促，部分基礎(chǔ)薄弱學(xué)生理解困難；在引導(dǎo)學(xué)生自主推導(dǎo)表面積公式時(shí)，學(xué)生參與度有待提高，小組討論深度不足，未