2.棱柱、棱錐、棱臺的體積課程：高中數(shù)學(xué)教材：高中數(shù)學(xué)人教A版必修第二冊章節(jié)：2.棱柱、棱錐、棱臺的體積教材分析本節(jié)課介紹了棱柱、棱錐、棱臺的體積公式，從熟悉的正方體和長方體出發(fā)，推廣到一般棱柱、棱錐和棱臺的情形，公式分別為V棱柱=Sh、學(xué)情分析針對本節(jié)知識內(nèi)容和學(xué)生認(rèn)知水平而言，學(xué)生在初中已學(xué)習(xí)正方體、長方體的體積計算，掌握了V正方體=a3、V長方體=a教學(xué)目標(biāo)理解棱柱、棱錐、棱臺的體積公式，能夠解釋公式中各符號的含義及其幾何意義，達(dá)到數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)水平一的要求。掌握棱柱、棱錐、棱臺體積公式的推導(dǎo)過程，能夠通過類比和轉(zhuǎn)化思想理解公式間的聯(lián)系，達(dá)到邏輯推理核心素養(yǎng)水平二的要求。能夠正確運(yùn)用體積公式解決實際問題，包括計算幾何體的體積和解決相關(guān)應(yīng)用題，達(dá)到數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)水平二的要求。理解棱臺體積公式與棱錐體積公式的關(guān)系，能夠通過幾何直觀分析棱臺的構(gòu)成，達(dá)到直觀想象核心素養(yǎng)水平一的要求。重點難點教學(xué)重點：棱柱、棱錐、棱臺的體積公式的理解與應(yīng)用，掌握V棱柱=Sh、V棱錐課堂導(dǎo)入同學(xué)們，想象一下，建筑工地上有一堆形狀各異的沙石堆，有的像棱柱，有的像棱錐，還有的像棱臺。在實際施工中，我們常常需要知道這些沙石堆的體積，以便合理安排用料和運(yùn)輸。我們之前已經(jīng)掌握了正方體和長方體的體積計算方法，像正方體體積V正方體=a3，長方體體積棱柱、棱錐、棱臺的體積探究新知（一）知識精講

我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過一些特殊棱柱的體積公式。對于正方體，若其棱長為a，則體積為

V正方體=a3.

對于長方體，若其長、寬、高分別為a、b、c，則體積為

V長方體=abc.

這些公式是計算空間幾何體體積的基礎(chǔ)。進(jìn)一步地，對于一般的棱柱，無論其底面形狀如何，只要底面積為S，高為接下來考慮棱錐。通過實驗或幾何分析可以發(fā)現(xiàn)，如果一個棱柱和一個棱錐具有相同的底面積和相同的高，那么棱柱的體積是棱錐體積的3倍。這一關(guān)系不依賴于底面的具體形狀，只與底面積和高有關(guān)。因此，若棱錐的底面積為S，高為h，則其體積為

V再來看棱臺。棱臺是由一個棱錐被平行于底面的平面截去頂部后剩下的部分。設(shè)原棱錐的底面積為S（即棱臺的下底面積），截面面積為S′（即棱臺的上底面積），棱臺的高為h（即兩底面之間的垂直距離）。我們可以將棱臺看作是原大棱錐減去上方的小棱錐所得到的部分。利用兩個棱錐體積之差，并結(jié)合相似圖形的面積比例關(guān)系（面積比等于對應(yīng)邊長比的平方），可推導(dǎo)出棱臺的體積公式：

V棱臺圖示：從左至右分別為棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)示意圖，展示三者之間的幾何聯(lián)系（二）師生互動

教師提問：我們已經(jīng)知道棱柱的體積公式是底面積乘以高，那這個“高”具體指的是什么？它是否必須是從頂點到底面的斜距離？

學(xué)生回答：不是斜距離，應(yīng)該是兩個底面之間的垂直距離。

教師追問：很好！那么在棱錐中，“高”又是怎樣定義的？如果我把棱錐傾斜放置，它的高會不會改變？

學(xué)生思考后回答：棱錐的高是從頂點到底面所在平面的垂線段長度，即使物體傾斜，只要底面和頂點位置不變，高也不變。

教師繼續(xù)引導(dǎo)：非常正確。現(xiàn)在我們來想一想，為什么等底等高的棱柱體積是棱錐體積的3倍？能否借助實物模型或類比方法幫助理解？

學(xué)生討論后提出：可以用裝沙子的實驗來驗證——用同一個棱錐裝滿沙子倒入等底等高的棱柱容器中，恰好需要倒三次才能裝滿。

教師總結(jié)：這種數(shù)量關(guān)系不僅可以通過實驗感知，也可以通過積分思想或極限分割的方法嚴(yán)格證明，這為我們今后學(xué)習(xí)更復(fù)雜的體積計算打下了基礎(chǔ)。（三）設(shè)計意圖

通過回顧正方體和長方體的體積公式引入一般棱柱的體積計算，使學(xué)生從熟悉的情境出發(fā)建立新舊知識的聯(lián)系，有助于實現(xiàn)知識的遷移與整合。在講解棱錐體積時，強(qiáng)調(diào)其與棱柱之間的倍數(shù)關(guān)系，突出類比推理的作用，培養(yǎng)學(xué)生基于已有結(jié)論進(jìn)行合理猜想的能力。對棱臺體積公式的推導(dǎo)過程保留完整的邏輯鏈條，體現(xiàn)從整體到局部、由完整幾何體構(gòu)造殘缺體的思想方法，促進(jìn)學(xué)生形成系統(tǒng)的空間觀念。師生互動環(huán)節(jié)圍繞“高”的概念展開辨析，強(qiáng)化對幾何量本質(zhì)的理解，避免機(jī)械記憶；并通過實驗類比激發(fā)學(xué)生的直觀想象和探究興趣，體現(xiàn)動手操作與理性思維的結(jié)合。整個內(nèi)容安排遵循由特殊到一般、由具體到抽象的認(rèn)知規(guī)律，注重數(shù)學(xué)公式的來源與意義建構(gòu)，旨在提升學(xué)生的邏輯推理能力、空間想象能力和數(shù)學(xué)表達(dá)能力，同時滲透“化歸”與“分解組合”的數(shù)學(xué)思想，引導(dǎo)學(xué)生在觀察、比較、歸納中主動構(gòu)建知識體系。新知應(yīng)用例2題目：如圖8.3-2，一個漏斗的上面部分是一個長方體，下面部分是一個四棱錐，兩部分的高都是0.5m，公共面ABCD是邊長為1m的正方形，那么這個漏斗的容積是多少立方米（精確到0.01m3）？（計算漏斗的容積時不考慮漏斗的厚度）

解答：題目要求計算漏斗的容積，該漏斗由兩個幾何體組成：上部是長方體，下部是四棱錐。由于不考慮厚度，因此其容積等于這兩個幾何體體積之和。第一步：計算長方體部分的體積

已知長方體的底面ABCD是邊長為1m的正方形，高為0.5m。

長方體的體積公式為：

V長方體=長×第二步：計算四棱錐部分的體積

四棱錐的底面也是正方形ABCD，面積為1×1=1

m2，高為0.5m。

根據(jù)棱錐體積公式：

V棱錐=13Sh第三步：求漏斗總?cè)莘e

將兩部分體積相加：

V=V長方體+V棱錐=0.5+1答：這個漏斗的容積約為0.67

m3總結(jié)1.題目考查內(nèi)容①空間幾何體的組合結(jié)構(gòu)識別；

②長方體和棱錐體積公式的應(yīng)用；

③簡單幾何體體積的疊加運(yùn)算。2.題目求解要點①明確組合體由哪些基本幾何體構(gòu)成（本題為長方體與四棱錐）；

②正確使用體積公式：長方體用V=abc，四棱錐用V=13Sh；

新知鞏固題目：如圖，一個三棱柱形容器中盛有水，AC=6，若底面ABC水平放置時，水面恰好過側(cè)棱AA1的中點，當(dāng)側(cè)面AA1解答：我們分析題目中的兩個不同放置狀態(tài)下的水的體積關(guān)系。第一步：理解初始狀態(tài)（底面AB此時三棱柱豎直放置，底面為△ABC水面過側(cè)棱AA1的中點，說明水的高度為因此，水在該狀態(tài)下的體積為：

V第二步：理解第二種狀態(tài)（側(cè)面AA此時三棱柱被“側(cè)放”，即以矩形側(cè)面AA這意味著原來的高度方向（AA容器仍為三棱柱，但“高”方向變?yōu)閺腃到AB水的體積不變，仍為V水在這個新姿態(tài)下，水形成一個幾何體，其底面是四邊形的一部分，但由于液體自由表面水平，水面將是一個平面，且與AC相交于點D關(guān)鍵觀察：在這種側(cè)放狀態(tài)下，整個容器的空間可以看作是以AA1B1B為底、高為點C到底面的距離（即原三角形ABC但更有效的方法是考慮橫截面積的變化和水體積保持不變。我們換一種思路——利用等體積法。第三步：建立坐標(biāo)系簡化模型由于題目只給出AC注意到這是一個三棱柱，底面為△ABC。我們不妨假設(shè)△令：A設(shè)BC則S在第一種狀態(tài)下，水高為h2，所以：

第四步：分析側(cè)放后的形狀當(dāng)側(cè)面AA1B1B此時，容器的“高度”方向是從C指向AB所在直線的垂直距離，但在這種放置方式下，實際影響水位的是沿A更重要的是：此時三棱柱被側(cè)放，使得原來豎直方向AA1變?yōu)樗椒较?，而由于水的體積不變，且水面保持水平，在新的放置方式下，水所占空間是一個楔形體，其邊界由點D在AC考慮此時水的形狀：當(dāng)側(cè)放后，容器的橫截面（垂直于AA1方向）仍然是但由于放置方向改變，水的自由表面水平，因此在橫截面上，水面是一條水平線段。關(guān)鍵是：水的體積仍等于原體積32xh，而現(xiàn)在這個體積也可以表示為某個平均截面積乘以長度h（因為AA1方向長度為h于是，在每一個垂直于AA但注意：當(dāng)側(cè)放后，整個容器繞某軸旋轉(zhuǎn)了，使得原來豎直的AA1變?yōu)樗?，而我們可以認(rèn)為：在新的姿態(tài)下，AC是豎直方向的一條邊，點A在下，點C在上，高度差為6（如果A換個角度思考——使用體積守恒+相似三角形思想第五步：巧妙轉(zhuǎn)化——利用橫截面面積比例無論怎么放置，水的體積不變。在第一種狀態(tài)（底面水平）：水高為h2，故水體積為：

在第二種狀態(tài)（側(cè)面AA此時，三棱柱的“軸線”方向仍是AA1，長度為水占據(jù)的部分是從A沿AC到某點D，且水面與AC交于由于液體表面水平，且容器為柱體，水的體積可視為一個以AD為高的斜截面柱體但更準(zhǔn)確地說：當(dāng)側(cè)放后，水在橫截面△ABC上的覆蓋區(qū)域是一個從A假設(shè)在側(cè)放后，水在每個橫截面△ABC上形成的液面高度對應(yīng)于從點A沿A由于AC=6，設(shè)A如果我們假設(shè)△ABC是直角三角形，∠A=但其實有一個更簡潔的幾何方法：第六步：關(guān)鍵洞察——兩種狀態(tài)下的水體積表達(dá)式在第一種狀態(tài)：

V在第二種狀態(tài)，當(dāng)側(cè)面AA1B1B水平放置時，相當(dāng)于把三棱柱“躺平”，使A此時，水的體積可以看作是一個以AA1由于水面與AC交于D，且水面水平，說明在橫截面△ABC上，水面是一條平行于AB設(shè)這條水面線段交AC于D，交BC于某點E，則△A是的！因為水面水平，而AB在側(cè)放后是水平的，所以水面與△AB因此，設(shè)D在AC上，E在BC上，且DE所以：

C此時，水在橫截面△ABC但注意：當(dāng)側(cè)放后，水是從底部AB向上填充到DE，所以水的橫截面積為梯形ABED所以：

S因此，水的總體積為：

V但之前又有：

V聯(lián)立得：

S所以：

C答案：A總結(jié)：1.題目考查內(nèi)容本題考查三棱柱中液體體積在不同放置狀態(tài)下的守恒問題，涉及空間想象能力、幾何體體積計算以及相似三角形的應(yīng)用。2.題目求解要點水的體積在不同放置方式下保持不變；第一種狀態(tài)：水高為棱柱高的一半，體積為底面積乘以半高；第二種狀態(tài)：側(cè)放后，水面水平，與AC交于D建立體積相等方程，解出比例系數(shù)k，進(jìn)而求出AD3.同類型題目解題步驟明確幾何體類型（如棱柱、棱錐等）；分析不同狀態(tài)下的放置方式，確定“底面”和“高”的變化；利用體積守恒列出等式；若涉及傾斜液面，通常用平行截面或相似圖形處理；結(jié)合代數(shù)運(yùn)算求解未知量。題目：若圓錐的底面圓半徑為12，其側(cè)面展開圖的面積為π2，則這個圓錐的體積為（解答：已知：底面半徑r側(cè)面積S圓錐的側(cè)面積公式為：

S側(cè)=πr代入已知數(shù)據(jù)：

π接下來求高h(yuǎn)。由勾股定理：

h圓錐體積公式：

V代入：

V答案：3總結(jié)：1.題目考查內(nèi)容本題考查圓錐的側(cè)面積與體積之間的關(guān)系，涉及扇形展開圖、母線、高、底面半徑的幾何關(guān)系。2.題目求解要點熟記圓錐側(cè)面積公式πr利用勾股定理由r和l求高h(yuǎn)；代入體積公式133.同類型題目解題步驟寫出已知量（如r、l、h、側(cè)面積、全面積等）；使用側(cè)面積或展開圖信息求出缺失的量（通常是l或h）；通過r2代入體積公式計算結(jié)果。題目：若正四棱臺上、下底面的面積分別為1，16，高為2，則此四棱臺的體積與表面積的數(shù)值之比為（??）解答：已知：上底面積S下底面積S高h(yuǎn)第一步：求體積棱臺體積公式：

V代入：

V第二步：求表面積正四棱臺的表面積=上底面積+下底面積+側(cè)面積即：

S側(cè)面積由四個全等的等腰梯形組成。先求每個梯形的上底、下底、高（斜高）。上底邊長：1下底邊長：16所以每個側(cè)面是上底1、下底4的等腰梯形需要求斜高（即梯形的高，記為h′考慮側(cè)面的直角三角形：從上底邊中點向下底邊中點作垂線，高度為棱臺的高h(yuǎn)=2；水平方向的投影為：所以斜高h(yuǎn)′為：

每個側(cè)面梯形面積：

1四個側(cè)面總面積：

S所以總表面積：

S第三步：求體積與表面積的數(shù)值之比體積為14，表面積為42，所以比值為：

14答案：1總結(jié)：1.題目考查內(nèi)容本題考查正四棱臺的體積和表面積計算，重點在于掌握棱臺體積公式和側(cè)面積的幾何構(gòu)造。2.題目求解要點體積直接套用公式13表面積需分別計算上下底面積和側(cè)面積；側(cè)面積通過求斜高（利用勾股定理）得到每個梯形的高；注意“數(shù)值之比”指不帶單位的數(shù)字比值。3.同類型題目解題步驟根據(jù)底面面積求邊長（對正多邊形臺體）；用棱臺體積公式求體積；計算側(cè)面積：先求上下底邊差的一半，結(jié)合高求斜高；斜高用于計算每個側(cè)面梯形面積，再乘以個數(shù)；求和得總表面積；最后求體積與表面積的比值。板書設(shè)計棱柱、棱錐、棱臺的體積

├─正方體體積：V正方體=a3

├─長方體體積：V長方體=abc

├─棱柱體積：V棱柱=Sh

├─棱錐體積：V棱錐=1教學(xué)反思本教學(xué)設(shè)計以回顧正方體、長方體體積公式引入，進(jìn)而推導(dǎo)一般棱柱體積公式，再基于棱柱與棱錐關(guān)系得出棱錐體積公式，最后利用棱錐體積差得到棱臺體積公式。通過本堂課教學(xué)，基本完成教學(xué)任務(wù)，多數(shù)學(xué)生能理解體積公式推導(dǎo)及應(yīng)用。成功之處在于：1.以舊知引入，學(xué)生易接受新知識。2.注重公式推導(dǎo)過程，幫助學(xué)生理解記憶。不足之處在于：1.推導(dǎo)棱臺體積公式時，部分學(xué)生對利用棱錐體積差理解困難，講解深度不夠。2.留給學(xué)生自主練習(xí)時間不足，未能充分檢驗學(xué)生對公式的掌握程度。課堂練習(xí)第1題【題文】已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等且它們的高均為2，則圓錐的體積為（

）A．2B．3C．6D．9【答案】A第2題【題文】如圖是底面半徑為3的圓錐，將其放倒在一平面上，使圓錐在此平面內(nèi)繞圓錐頂點S滾動，當(dāng)這個圓錐在平面內(nèi)轉(zhuǎn)回原位置時，圓錐本身恰好滾動了3周，則（

）

A．圓錐的母線長為6B．圓錐的表面積為27C．圓錐的體積為18D．若一螞蟻從點A出發(fā)沿圓錐的側(cè)面爬行一周回到點A，則爬行的最短距離為9【答案】D第3題【題文】我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一種稱為“羨除”的幾何體，該幾何體的一種結(jié)構(gòu)是三個面均為梯形，其他兩面為三角形的五面體.如圖所示，四邊形ABCD,ABFE,CDEF均為等腰梯形，AB//C

A．