6.圓臺(tái)課程：高中數(shù)學(xué)教材：高中數(shù)學(xué)人教A版必修第二冊(cè)章節(jié)：6.圓臺(tái)教材分析本節(jié)課通過(guò)實(shí)物圖形與幾何模型，引入圓臺(tái)的定義，明確其結(jié)構(gòu)特征及相關(guān)概念，并通過(guò)標(biāo)注軸、底面、側(cè)面、母線(xiàn)等要素加深對(duì)圓臺(tái)的理解。教學(xué)過(guò)程可從觀察生活實(shí)例出發(fā)，結(jié)合幾何圖形引導(dǎo)學(xué)生歸納圓臺(tái)的構(gòu)成要素和表示方法。本節(jié)內(nèi)容承接圓柱、圓錐的學(xué)習(xí)，延續(xù)了幾何體結(jié)構(gòu)分析的思路，有助于學(xué)生建立空間幾何體的整體認(rèn)知。理解圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征不僅有助于提升空間想象能力和幾何直觀能力，還為后續(xù)學(xué)習(xí)立體幾何中幾何體的表面積與體積計(jì)算奠定基礎(chǔ)，同時(shí)為解析幾何中旋轉(zhuǎn)體的研究提供直觀支撐。學(xué)情分析針對(duì)本節(jié)知識(shí)內(nèi)容和學(xué)生認(rèn)知水平而言，學(xué)生已在初中和高中的幾何學(xué)習(xí)中掌握了圓柱、圓錐的基本概念及其結(jié)構(gòu)特征，并具備了一定的空間想象能力和幾何直觀能力，能夠通過(guò)實(shí)物或圖形識(shí)別這些幾何體的軸、底面、側(cè)面和母線(xiàn)等要素，同時(shí)學(xué)生已經(jīng)初步具備了從平面圖形到空間幾何體的轉(zhuǎn)化思維，能夠理解截面與原幾何體之間的關(guān)系，這為學(xué)習(xí)圓臺(tái)的概念及其結(jié)構(gòu)特征奠定了知識(shí)基礎(chǔ)，本節(jié)課通過(guò)類(lèi)比圓錐的形成方式，引導(dǎo)學(xué)生理解圓臺(tái)的生成過(guò)程和表示方法，有助于提升學(xué)生的空間想象能力和幾何推理能力，同時(shí)也為后續(xù)學(xué)習(xí)旋轉(zhuǎn)體的相關(guān)知識(shí)提供了支撐。教學(xué)目標(biāo)理解圓臺(tái)的定義及其形成過(guò)程，能夠用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述圓臺(tái)的幾何特征，達(dá)到直觀想象核心素養(yǎng)水平一的要求。掌握?qǐng)A臺(tái)的基本要素（軸、底面、側(cè)面、母線(xiàn)），能夠在圖形中準(zhǔn)確識(shí)別并標(biāo)注這些要素，達(dá)到幾何直觀核心素養(yǎng)水平二的要求。理解圓臺(tái)的表示方法，能夠正確使用字母表示圓臺(tái)，達(dá)到數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)水平一的要求。能夠?qū)A臺(tái)的概念與實(shí)際生活中的物體（如紙杯）相聯(lián)系，建立數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系，達(dá)到數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)水平一的要求。重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：圓臺(tái)的定義、結(jié)構(gòu)特征及其軸、底面、側(cè)面、母線(xiàn)的概念。

教學(xué)難點(diǎn)：理解圓臺(tái)由平行截圓錐形成的過(guò)程及其幾何性質(zhì)的運(yùn)用。課堂導(dǎo)入同學(xué)們，在生活中我們常常能看到一些特殊形狀的物體。比如，大家平時(shí)喝水用的紙杯，還有一些燈罩等。大家有沒(méi)有想過(guò)，這些物體從數(shù)學(xué)角度看，它們有著怎樣獨(dú)特的幾何結(jié)構(gòu)呢？之前我們學(xué)習(xí)了圓柱和圓錐，知道圓柱是由矩形旋轉(zhuǎn)得到，圓錐是由直角三角形繞直角邊旋轉(zhuǎn)而成。那像紙杯這種上、下底面都是圓形，但大小不同的物體，又該如何從數(shù)學(xué)角度去定義和研究呢？今天，就讓我們帶著這些疑問(wèn)，走進(jìn)圓臺(tái)的世界，去探索它獨(dú)特的幾何奧秘。圓臺(tái)探究新知（一）知識(shí)精講通過(guò)用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，可以得到一個(gè)新的幾何體——圓臺(tái)。圓臺(tái)是位于底面與截面之間的部分，其結(jié)構(gòu)特征與圓柱、圓錐類(lèi)似，但又具有自身的獨(dú)特性質(zhì)。如圖8.1-12所示，圓臺(tái)具有軸、底面、側(cè)面和母線(xiàn)等基本元素。其中，軸是連接圓臺(tái)上、下底面圓心的直線(xiàn)段，底面指的是圓臺(tái)的兩個(gè)平行圓形端面，側(cè)面是由母線(xiàn)繞軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面，而母線(xiàn)則是連接上底面與下底面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線(xiàn)段。圓臺(tái)的表示方法與圓柱、圓錐類(lèi)似，通常用表示其軸的字母來(lái)命名。例如，在圖8.1-12中，圓臺(tái)的軸為O′O，因此該圓臺(tái)記作圓臺(tái)（二）師生互動(dòng)教師提問(wèn)1：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓柱、圓錐的結(jié)構(gòu)特征，那么圓臺(tái)與它們之間是否存在某種聯(lián)系？你能從生成方式上進(jìn)行比較嗎？學(xué)生回答：圓柱是由矩形繞一邊旋轉(zhuǎn)形成的，圓錐是由直角三角形繞一直角邊旋轉(zhuǎn)形成的，而圓臺(tái)則是由圓錐被平行于底面的平面截去一部分后剩下的部分形成的。教師提問(wèn)2：如果我們將圓臺(tái)的母線(xiàn)延長(zhǎng)，是否可以還原出原來(lái)的圓錐？這說(shuō)明了圓臺(tái)與圓錐之間怎樣的關(guān)系？學(xué)生回答：是的，通過(guò)延長(zhǎng)母線(xiàn)可以還原出原來(lái)的圓錐，這說(shuō)明圓臺(tái)可以看作是圓錐的一部分。教師提問(wèn)3：你能?chē)L試在圖中指出圓臺(tái)的軸、底面、側(cè)面和母線(xiàn)嗎？并說(shuō)明它們各自的幾何意義。學(xué)生回答：軸是連接上下底面圓心的直線(xiàn)段，底面是兩個(gè)平行的圓形面，側(cè)面是由母線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面，母線(xiàn)是連接上下底面對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線(xiàn)段。（三）設(shè)計(jì)意圖通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生從圓錐的截取方式出發(fā)認(rèn)識(shí)圓臺(tái)，幫助學(xué)生建立空間幾何體之間的聯(lián)系，促進(jìn)知識(shí)的遷移與整合。通過(guò)觀察圖形、識(shí)別元素、比較結(jié)構(gòu)特征等活動(dòng)，發(fā)展學(xué)生的空間想象能力和幾何直觀能力。在師生互動(dòng)中，通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行類(lèi)比、歸納與推理，提升學(xué)生的邏輯思維能力和語(yǔ)言表達(dá)能力。同時(shí)，通過(guò)對(duì)圓臺(tái)結(jié)構(gòu)特征的探究，激發(fā)學(xué)生對(duì)幾何圖形的興趣，培養(yǎng)其嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維習(xí)慣和探究精神。新知應(yīng)用例題題目：如圖8.1-12，與圓臺(tái)類(lèi)似，用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺(tái)（circular

truncated

cone）。圖8.1-1中的紙杯就是具有圓臺(tái)結(jié)構(gòu)特征的物體。與圓柱和圓錐一樣，圓臺(tái)也有軸、底面、側(cè)面、母線(xiàn)。圓臺(tái)也用表示它的軸的字母表示，如圖8.1-12中的圓臺(tái)記作圓臺(tái)O′解答：本題主要是一個(gè)概念引入題，目的是幫助學(xué)生理解“圓臺(tái)”的定義及其幾何特征。1.圓臺(tái)的定義：

圓臺(tái)是由一個(gè)圓錐被一個(gè)平行于底面的平面截取后，底面與截面之間的部分所形成的幾何體。2.幾何特征分析：軸（Axis）：圓臺(tái)的軸是連接上下底面圓心的直線(xiàn)段，如圖中所示的O′底面（Base）：圓臺(tái)有兩個(gè)底面，分別是原來(lái)的圓錐底面（下底面）和截面（上底面），都是圓形。側(cè)面（LateralSurface）：側(cè)面是由圓臺(tái)母線(xiàn)繞軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面。母線(xiàn)（SlantHeight）：母線(xiàn)是連接兩個(gè)底面邊緣的斜線(xiàn)段，是側(cè)面的一部分。3.圓臺(tái)的表示方法：

圓臺(tái)通常用軸的兩個(gè)端點(diǎn)字母表示，例如圖中圓臺(tái)記作“圓臺(tái)O′O4.與圓柱、圓錐的關(guān)系：類(lèi)似于圓柱（兩個(gè)平行底面+側(cè)面），但底面大小不同；類(lèi)似于圓錐（有頂點(diǎn)），但頂點(diǎn)被截去，形成一個(gè)上底面。總結(jié)：1.題目考查內(nèi)容①圓臺(tái)的定義及其幾何構(gòu)成；

②圓臺(tái)與圓錐、圓柱之間的關(guān)系；

③圓臺(tái)的基本元素（軸、底面、側(cè)面、母線(xiàn)）的理解。2.題目求解要點(diǎn)①理解“用平行于圓錐底面的平面截圓錐”這一操作是形成圓臺(tái)的關(guān)鍵；

②能夠在圖中識(shí)別圓臺(tái)的各個(gè)組成部分（軸、底面、側(cè)面、母線(xiàn)）；

③掌握?qǐng)A臺(tái)的表示方法（如圓臺(tái)O′O）；

④新知鞏固題目：第1題：一圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是10cm和20cm，它的側(cè)面展開(kāi)圖扇環(huán)的圓心角為180°，下列說(shuō)法不正確的是（??）

A．圓臺(tái)的母線(xiàn)長(zhǎng)是20cm

B．圓臺(tái)的高是103cm

C．圓臺(tái)的表面積是1100πcm解答：我們逐項(xiàng)分析選項(xiàng)是否正確。已知條件：上底半徑r下底半徑r側(cè)面展開(kāi)圖是扇環(huán)，圓心角為180°，即半圓A．圓臺(tái)的母線(xiàn)長(zhǎng)是20cm側(cè)面展開(kāi)圖是扇環(huán)，其圓心角為180°，說(shuō)明展開(kāi)圖是半圓環(huán)。

設(shè)母線(xiàn)長(zhǎng)為l，則扇環(huán)的弧長(zhǎng)為半圓周長(zhǎng)，即：

上底弧長(zhǎng)=πl(wèi)1=π?10=10π

下底弧長(zhǎng)=設(shè)圓臺(tái)的母線(xiàn)為l，高為h，則由圓臺(tái)的母線(xiàn)、高、底面半徑差構(gòu)成直角三角形：

l=h2+(r2?r1)2

若B．圓臺(tái)的高是103由上題推導(dǎo)可知：

l=20,rC．圓臺(tái)的表面積是1100圓臺(tái)的表面積包括：側(cè)面積：S上底面積：π下底面積：π總表面積：

S=600π+D．圓臺(tái)的體積是7000圓臺(tái)體積公式為：

V=13πh(r12+r2總結(jié)：1.題目考查內(nèi)容圓臺(tái)的幾何性質(zhì)（母線(xiàn)、高、表面積、體積）圓臺(tái)的側(cè)面積與體積公式扇環(huán)展開(kāi)圖與圓心角的關(guān)系2.題目求解要點(diǎn)利用勾股定理求母線(xiàn)或高掌握?qǐng)A臺(tái)的表面積和體積公式注意單位和公式代入的準(zhǔn)確性識(shí)別扇環(huán)展開(kāi)圖中圓心角與母線(xiàn)的關(guān)系3.同類(lèi)型題目解題步驟明確已知條件（半徑、母線(xiàn)、高、圓心角等）利用勾股定理判斷母線(xiàn)或高套用表面積公式：S套用體積公式：V逐一驗(yàn)證選項(xiàng)是否成立，找出錯(cuò)誤項(xiàng)題目：第2題：下列正確的是（??）

A．過(guò)球面上兩點(diǎn)與球心有且只有一個(gè)平面

B．用一個(gè)平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺(tái)

C．正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形

D．有兩個(gè)面平行且相似，其他各個(gè)面都是梯形的多面體是棱臺(tái)解答：A．過(guò)球面上兩點(diǎn)與球心有且只有一個(gè)平面錯(cuò)誤。

過(guò)球面上任意兩點(diǎn)與球心可以確定一個(gè)平面，但如果這兩點(diǎn)是球的直徑端點(diǎn)，則有無(wú)數(shù)個(gè)平面都包含這條直徑。

錯(cuò)誤。B．用一個(gè)平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺(tái)錯(cuò)誤。

必須是平行于底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分才是圓臺(tái)。

若平面不平行于底面，截得的部分不是圓臺(tái)。

錯(cuò)誤。C．正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形正確。

正棱錐定義：底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面中心正上方。

因此每個(gè)側(cè)面都是全等的等腰三角形。

正確。D．有兩個(gè)面平行且相似，其他各個(gè)面都是梯形的多面體是棱臺(tái)錯(cuò)誤。

還需滿(mǎn)足：所有側(cè)棱延長(zhǎng)后交于一點(diǎn)，即原為一個(gè)棱錐被平行于底面的平面截得。

否則不能稱(chēng)為棱臺(tái)。

錯(cuò)誤。總結(jié)：1.題目考查內(nèi)容空間幾何體的定義與性質(zhì)（球、圓臺(tái)、正棱錐、棱臺(tái)）平面與幾何體的關(guān)系幾何體的判定條件2.題目求解要點(diǎn)理解幾何體的定義（如圓臺(tái)、棱臺(tái)、正棱錐）注意定義中的關(guān)鍵詞（如“平行于底面”、“全等”、“交于一點(diǎn)”）能夠判斷命題是否滿(mǎn)足定義條件3.同類(lèi)型題目解題步驟逐項(xiàng)分析命題是否符合幾何體的定義回憶相關(guān)幾何體的定義和性質(zhì)判斷是否存在反例或遺漏條件選出唯一正確的選項(xiàng)板書(shū)設(shè)計(jì)圓臺(tái)

├─定義

│├─由平行于圓錐底面的平面截得

│└─底面與截面之間的部分

├─結(jié)構(gòu)特征

│├─軸：O′O（連接上下底中心的直線(xiàn)）

│├─底面：兩個(gè)圓形面（上底、下底）

│├─側(cè)面：曲面（由母線(xiàn)旋轉(zhuǎn)而成）

│└─母線(xiàn)：連接上下底邊緣的斜線(xiàn)段

├─表示方法

│└─用軸的字母表示，如：圓臺(tái)O′O

└─教學(xué)反思本節(jié)課教學(xué)設(shè)計(jì)從樓臺(tái)引入，介紹用平行于圓錐底面的平面截圓錐得到圓臺(tái)，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，如軸、底面、側(cè)面、母線(xiàn)等，并讓學(xué)生標(biāo)注相關(guān)元素，還介紹圓臺(tái)的表示方法。通過(guò)教學(xué)，基本完成教學(xué)任務(wù)，多數(shù)學(xué)生能認(rèn)識(shí)圓臺(tái)結(jié)構(gòu)。成功之處在于借助樓臺(tái)類(lèi)比，讓學(xué)生易理解圓臺(tái)概念；引導(dǎo)學(xué)生自主標(biāo)注元素，提升自主學(xué)習(xí)能力。不足之處在于，對(duì)學(xué)生標(biāo)注過(guò)程的指導(dǎo)不夠細(xì)致，部分學(xué)生標(biāo)注可能不準(zhǔn)確；且在聯(lián)系生活實(shí)例時(shí)，不夠深入廣泛，未能充分挖掘圓臺(tái)在生活中的多樣應(yīng)用。課堂練習(xí)第1題【題文】圓臺(tái)的上底面半徑為2，下底面半徑為6，母線(xiàn)長(zhǎng)為16．已知P為該圓臺(tái)某條母線(xiàn)的中點(diǎn)，若一質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)P出發(fā)，繞著該圓臺(tái)的側(cè)面運(yùn)動(dòng)一圈后又回到點(diǎn)P，則該質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的最短路徑長(zhǎng)為（

）

A．16B．16C．8D．16【答案】B第2題【題文】如圖，已知球O內(nèi)切于圓臺(tái)O1O2（即球與該圓臺(tái)的上、下底面以及側(cè)面均相切），且圓臺(tái)的上、下底面半徑r1=1，r2A．8B．19C．8D．19【答案】B第3題【題文】一圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是10cm和20cm，它的側(cè)面展開(kāi)圖扇環(huán)的圓心角為180°，下列說(shuō)法不正確的是（

）A．圓臺(tái)的母線(xiàn)長(zhǎng)是20cmB．圓臺(tái)的高是103C．圓臺(tái)的表面積是1100D．圓臺(tái)的體積是7000【答案】D課前任務(wù)1.知識(shí)回顧

上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了圓錐的結(jié)構(gòu)特征，了解了其軸、底面、側(cè)面和母線(xiàn)等概念，并掌握了圓錐的截面性質(zhì)。請(qǐng)回顧圓錐的形成方式及其與平面截割后的幾何特征。2.預(yù)習(xí)教材

閱讀本節(jié)教材“圓臺(tái)”部分，理解圓臺(tái)的定義：用平行于圓錐底面的平面截去頂部后，底面與截面之間的部分稱(chēng)為圓臺(tái)。了解圓臺(tái)的軸、底面、側(cè)面、母線(xiàn)等概念，并嘗試在圖8.1-12中標(biāo)注這些結(jié)構(gòu)要素。注意圓臺(tái)的表